1、不等式的典型例题解析 【例1】 解不等式:(1)2x3-x2-15x0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积,则一元高次不等式f(x)0(或f(x)0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况解:(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0顺轴然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(51)的阴影部分(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30原不等式解集为x|x-5或-5x-4或x2【说明】 用“区间法”解不等式时应注意:各一次项中x的系数必为正;对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式,也可
2、直接用“区间法”,但注意“奇穿偶不穿”其法如图(52)【例2】 解下列不等式:变形解:(1)原不等式等价于用“区间法”原不等式解集为(-,-2)-1,2)6,+)用“区间法”【例3】 解下列不等式:【分析】 无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解,但要注意变换的等价性解:(1)原不等式等价于(2)原不等式等价于原不等式解集为x|x5(3)原不等式等价于【说明】 解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变此外,有的还有其他解法,如上例(3)原不等式化为t2-2t-30(t0)解得0t3
3、【说明】 有些题目若用数形结合的方法将更简便【例4】 解下列不等式:解:(1)原不等式等价于令2x=t(t0),则原不等式可化为(2)原不等式等价于原不等式解集为(-1,23,6)【说明】 解对数不等式需注意各真数必为正数在利用对数性质价性,否则会出现增解或漏解【例5】 解不等式|x2-4|x+2【分析】 解此题关键是去绝对值符号,而去绝对值符号主要利用解:原不等式等价于-(x+2)x2-4x+2故原不等式解集为(1,3)这是解含绝对值不等式常用方法【例6】 解下列不等式:换底公式先化为同底对数不等式(2)中先解绝对值不等式,再解无理不等式解:(1)原不等式等价于log2(2x-1)-log2
4、(2x-1)-2令log2(2x-1)=t,则上述不等式变为t(-1-t)-2即 t2+t-20解之,得 -2t1,从而-2log2(2x-1)1【例7】 解不等式log2x2-1(3x2+2x-1)1【分析】 题目中未知数出现在底数部分,就必须对底数大于零还是位于零与1之间进行讨论解:原不等式等价于【说明】 当时数底数含有字母或未知数时,应对其进行分类讨论【例8】 解关于x不等式a2x+1ax+2+ax-2,其中a0且a1【分析】 题目通过变形可看作是关于ax的二次不等式对于底数a分a1或0a1两种情况讨论解:原不等式等价于(ax)2-(a2+a-2)ax+10(*)当a1时,a2a-2,于是(*)式得a-2axa2,即-2x2当0a1时,a-2a2,于是(*)式得a2axa-2,即-2x2综上所述,原不等式解集为(-2,2)【说明】 本题在化成关于ax的二次不等式后,解题关键是利用a2a-2=1进行因式分解【例9】 设a0;a1解关于x的不等式xlogaxa3x2【分析】 这是指数与对数的混合型不等式,可采用“取对数法”在两边取对数的时候用到对数函数的单调性,因此必须对a进行讨论后再取对数解:当a1时,原不等式两边取对数,得当0a1时,原不等式等价于(1)当a1时,式等价于(2)当0a1时,等价于