上海市高三数学竞赛试题.docx

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2018年上海市高三数学竞赛试题

时间：

2小时，满分：

120分姓名

一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1．集合且的元素个数是．

2．设函数是的函数，满足对一切，都有，则的解析式为=．

3．已知椭圆，为椭圆的右焦点，为过中心的弦，则面积的最大值为．

4．设集合的非空子集为，记集合中的所有元素的积为（单元数集的元素积是这个元素本身），则=．

5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是．

6．设实数满足，记的最大值和最小值分别为和，则=．

7．在三棱锥中，已知，则的取值范围是．

8．在平面直角坐标系中，有2018个圆：

⊙，⊙，…，⊙其中⊙的圆心为，半径为，这里，且⊙与⊙外切，则=．

二、解答题（本大题满分60分，每小题15分）

9．已知三个有限集合满足．

（1）求证：

（这里，表示有限集合的元素个数）；

（2）举例说明

（1）中的等号可能成立．

10．求不定方程的满足的正整数解的组数．

11．设是实数，求的最小值．

12．设为给定的正整数，考虑平面直角坐标系中的点集对中的两点，当且仅当或与两条坐标轴之一平行时，称是“相邻的”，将中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目．