勾股定理八个专题总结Word格式.docx
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如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5:
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
1图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
2根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：
4S
S正方形EFGH
S正方形ABCD，
1
4ab
2
（b
a）2
c2，化简可证.
方法
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4-abc22abc2
大正方形面积为S（ab）2a22abb2
所以a2b2c2
方法三：
S梯形2（ab）（ab），S梯形
2SadeSabe21ab
球，化
简得证
6:
勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5;
6,8,10;
5,12,13;
7,24,25等
2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m,n为正整数）
二、规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系：
a2+b2=c2,?
那么这个
三角形是直角三角形；
该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.?
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解．
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）
勾股定理典型例题及专项训练
专题一：
直接考查勾股定理及逆定理
例1•在ABC中，C90•
⑴已知AC6,BC8.求AB的长⑵已知AB17,AC15，求BC的长分析:
在AABC孔4C-2.1Ctrl.BC-2-Sm
（I）求3!
虻的前机*
（?
）求斜边人隔
练习：
1、如图所示，在四边形abcdK
⑶求海CD
BAD=90,DBC=90,AD=3AB=4,BC=12
求CD
3、已知：
如图，/B=ZD=90°
ZA=60°
AB=4,CD=2求：
四边形ABCD勺面积。
在ABC中，AB=13,AC=15高AD=12,贝UBC的长为多少?
例3：
（1）.已知ABC的三边a、b、c满足（ab）2（bc）20，则ABC为三
角形
（2）.在ABC中,若a2=（b+c）（b-c），则ABC是三角形，且90
1、已知x12xy25与z210z25互为相反数，试判断以x、y、z为
三边的三角形的形状。
2、.若ABC的三边a、b、c满足条件a2b2c233810a24b26c,试判断ABC
的形状。
如图，在Rt△ABC中，/ACB=90,CDLAB于D,设AB=cAC=b,BC=aCD=h。
b2
（2）abch
（3）以ab，h，ch为三边的三角形是直角三角形
经典图形突破:
练习1.如图，△ABC中，AB=AC/A=45oAC的垂直平分线分别交ABAC于D、E,若CD=
1,贝UBD等于（）
A.1
C.
4.如图，在正方形ABCD中,F为DC的中点，E为BC上一点，且EC—BC,
4
猜想AF?
与EF的位置关系，并说明理由.
5.
如图RtABC,C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
6.如图2-10,△ABC中，AB=AC=20BC=32D是BC上一点，且AD丄AC,求BD的长.
7.如图2-9,△ABC中，/ACB=90,AC=BCP是厶ABC一点，满足PA=3,PB=1,?
PC=2求/BPC的度数.
8.已知△ABC中，‘
/ACB=9°
AC=3,BC=4,
（1）AD平分/BAC,交BC于D点。
求CD长
（2）BE平分/ABC交AC于E,求CE长
9.如图，在四边形ABCD中，/A=60°
ZB=ZD=90°
BC=2,CD=3,求AB的长
11、已知△ABC中，/BAC=75°
/C=60°
BC=3.3，求ABAC的长。
12、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BEDGLCE于G。
（1）求证：
G是CE的中点；
（2）
/B=2/BCE
（3）若AC=6,AB=8,求DG的长。
专题二勾股定理的证明
1利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图•从图中可
以看到：
大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积•因而
c=+.化简后即为c=
2、如图，是2002年8月第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成,
若图小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别
3、2002年8月20〜28日在召开了第24届国际数学家大会.大会会标如图所示，它是由四
5、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法•如图,
火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABCD的位置，连结CC，设ABa,BCb,ACc,
第4题图
请利用四边形BCCD的面积证明勾股定理：
a2b2c2.
和EF都是正方形•证：
△ABF^ADAE7、（2010年省市）图①是一个边长为（mn）的正方形，小颖将
图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②
能验证的式子是（）
1、如图1,在单位正方形组成的网格图中标有ABCDEF、GH四条线段，其中能构成一个
直角三角形三边的线段是（）
B
5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图
中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形.所画的三角形是直角三角形吗？
说明理由.
6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求
顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）
专题四实际应用建模测长
0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何
东西只要移至5米以，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米围形成气旋风暴，有极强的
破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中
心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15
千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？
请说明理由
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?
专题五梯子问题
1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?
2、一架方梯长
距地面有多高？
3、如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC丄BC,AC=BC,当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，贝Ux与y的大小关系是（）
A.xyB.xyC.xyD.不能确定
专题六最短路线
1如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺
走出了一条"
路”.他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.
A6B5C、4D3
2、如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为10cm,BC是上底面的直径。
一蚂蚁从点A出发，沿
着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程。
3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20cm,高AB为10cm,在圆柱的下底面A点处有一只蚂蚁，它
想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C点处，那么它所行走的路程是多少？
从外部点A处爬到杯子的壁到达高CD的中点E处，最短该走多远呢？
（杯子的厚度不计）
5、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，
如图，已知圆筒高108cm,其圆筒底面周长为36cm,如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸？
6、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1米，且封闭的正方体盒子外部的顶点
蚁爬行的最短路程为多少米？
7、（2004?
）如图是一块长，宽，高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长
方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么
它需要爬行的最短路径的长是（）
A、（3+2）cmBcm
C、cmDcm
8、如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离为5cm,—只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
9、如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每
秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
10、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m0.3m、0.2m,A和B是
台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行
到B点的最短路程是多少？
11、（2010市惠安县）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.
专题七折叠三角形
1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8c血。
现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.
2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE若已知AC=10cmBC=6cm你能求出CE的长吗?
3、三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13BC=1Q将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA
边上，折痕CE,求三角形ACE的面积
4、如图，△ABC的三边BC=3AC=4AB=5,把厶ABC沿最长边AB翻折后得到
A.6
5
B.
12
C.
13
D.
24
10.如・在:
ft形纸片ABC4ZACB=90s・BC7AB7在ACt取一点「以BE为折痕•使AB的一部分与BC重合点A与BC延K线上的点D重缶则CE的长度刘）-
AJH6
c的n2爲
专题八折叠四边形
1、折叠矩形ABCD勺一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM求
（1）CF
的长
（2）EC的长.
2、在矩形纸片ABCD中,AD=4cmAB=10cm按图所示方式折叠，使点
为
丘巳求
（1）DE的长；
（2）EF的长。
B与点D重合，折痕
3.（2010市惠安县）矩形纸片ABCD勺边长AB=4,AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点
C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为.
4、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C'
的位置上，已知AB=?
3,BC=7,
重合部分厶EBD的面积为
5、如图5,将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E,交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G如果M为CD边的中点，且DE=6求正方形ABCD勺面积
6、矩形ABCD中,AB=6BC=8先把它对折，折痕为EF,展开后再沿BG折叠，使A落在E
F上的A1,求第二次折痕BG的长。
7、如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。
；
（2）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明.
8、如图，/B=90°
AB=BC=4,AD=2,CD=6
（1）△ACD是什么三角形？
为什么？
（2）把厶ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E,若重叠部分面积为4，求D'
E的长。
9、边长为8和4的矩形OAB（的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点。
，求
（1）三角形ADC的面积，
（2）点B1的坐标，（3）ABI所在的直线解析式•
10、（2010年省市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），
_1（0,1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=——x
+b交折线OAB于点E.
（1）记厶ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形
试探究OAiBiG与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变,
OAiBiCi,
求出该重
叠部分的面积；
若改变，请说明理由•
专题九旋转问题:
1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将厶ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP重合，若AP=3求PP'
的长。
2、如图，P是等边三角形ABC—点，PA=2,PB=2J3,PC=4,求厶ABC的边长.
3、如图，△ABC为等腰直角三角形，/BAC=90,E、F是BCk的点，且/EAF=45,
222
试探究BE、CF、EF间的关系，并说明理由
4、如图所示，P为正方形ABCD一点，将ABP绕B顺时针旋转90至UCBE的位置，若
BP=a，求：
以PE为边长的正方形的面积
5、如图所示，△AB（是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC勺中点，E、F分别是ABAC边上
的点，且DELDF,若BE=12CF=5.求线段EF的长。
6、如图所示，已知在ABC中，AB=AC,BAC=90,D是BC上任一点，求证:
BD2CD22AD2。
7、如图，有一块塑料矩形模板ABCD长为8cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P:
能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能，⑴求BP+CP的值
（2）请你求出这时AP的
长。
&
已知/AOB=90°
，在/AOB的平分线0M上有一点C,将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与0A、0B（或它们的反向延长线）相交于点D、E。
当三角板绕点C旋转到CD与0A垂直时，如图①，易证：
ODOE20C;
当三角板绕点C旋转到CD与0A不垂直时，如图②、③这两种情况下，上述结论还是否成立？
若成立，请给与证明；
若不成立，线段OE、OC、0D之间有怎样的等量关系？
请写出你的猜想，不需证明。
EI1
9、（2010年市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，
M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。
得到BN连接EN
AMCM.
⑴求证：
△AMB^AENB
⑵①当M点在何处时，AMFCM的值最小；
②当M点在何处时，AMFBMFCM的值最小，并说明理由；
⑶当AMFBMFCM的最小值为.31时，求正方形的边长.
E
、选择题
【答案】B
2.（2009年达州）图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形•若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是
A.13B.26C.47D.94
【答案】C
3.（2009年市）如图，已知RtAABC中，/ACB=90°
AC=4,BC=3,以AB边
所在的直线为轴，将AABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）.
4.（2009年）如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC,则ADEF的面积与AABC的面积之比等于（）
D...3:
3
A.1:
3B.2:
3C.,3:
2
5.（2009年广西）如图，AC=AD,BC=BD,则有（）
A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分ZACB
【答案】A
6.（2009年市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文
化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在
（）
D.ZC的平分线与AB的交点
A.AB中点B.BC中点
C.AC中点
7•（省市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5,
上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（）
A.5.21B.25C.10.5+5D.35
8.（省市）如图，已知△ABC中，/ABC=90°
AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三
条直线11,12,13上，且11,12之间的距离为2,12,13之间的距离为3，则AC的长是（A）
A.217B.2.5C.4..2D.7
9.（2009市）如图，OO的弦AB=6,M是AB上任意一点，且OM最小值为4,
则OO的半径为（）
10.（2009年市）“爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大
正方形.如图，是一“爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2
和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是
10
11.（2009市）如图，四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°
BE丄AD
于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=（）
13.（2009
AC上一点,
年市）如图，等边△ABC的边长为3,P为BC上一点，且BP=1,D为APD=60。
，贝VCD的长为（
【答案】
A
14.（2009）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分/ABC,交DE于点F,若BC=6，则DF的长是
（A）2（B）3（C）-（D）4
15.（2009市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是
（）
A.5一21B.25C.10.55D.35
2C
厂■■■■
—15
16.（2009市）16.如图6,OO的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,
CD=6cm，则直径AB的长是（）
A.23cmB.3、2cmC.4-2cmD.4,3cm
【答案】D
17.（2009市）如图，已知△ABC中，/ABC=90°
AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线11，12，13上，且11，12之间的距离为2,12,13之间的距离为3则AC的长是（）
A.2.17B.2..5C.4.2D.7
18..（2009年市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
19.（2009年滨州）如图3，已知△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,
则边BC的长为（）
A.21B.15C.6D.以上答案都不对
20
.（2009）9.如图，已知O是四边形ABCD一点，OA=OB
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