勾股定理八个专题总结Word格式.docx

1、如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是1图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，14 ab2（ba）2c2，化简可证.方法四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 -ab c2 2ab c2大正方形面积为 S （a b）2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2方法三：S梯形2（a b）

2、（a b），S梯形2S ade Sabe 2 1 ab球，化简得证6:勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称 a, b , c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ;7,24,25 等2n 1,2n2 2n,2 n2 2n 1 （ n为正整数） m2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m , n 为正整数）二、 规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解

3、直角三角形边边关 系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯 的主要错误。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a, b, c有下列关系：a2+b2= c2, ?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.? 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算, 通过学习加深对“数形结合”的理解我们把题设、 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题, 那么另 一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定

4、理及逆定理例1 在 ABC 中， C 90 已知 AC 6 , BC 8 .求AB的长 已知 AB 17, AC 15，求BC的长分析:在AABC孔 4C-2. 1 Ctrl. BC-2-Sm（I）求3!虻的前机*（?）求斜边人隔练习：1、如图所示，在四边形 abcdK求海CDBAD=90 , DBC=90 , AD=3 AB=4, BC=12求CD3、已知：如图，/ B=Z D=90,Z A=60, AB=4, CD=2 求：四边形 ABCD勺面积。在 ABC中，AB=13, AC=15高AD=12,贝U BC的长为多少?例3： （1）.已知 ABC的三边a、b、c满足（a b）2 （b c

5、）2 0，则 ABC为 三角形（2）.在 ABC中,若a2 = （ b+c） （ b- c），则 ABC是 三角形，且 901、已知x 12 x y 25与z2 10z 25互为相反数，试判断以 x、y、z为三边的三角形的形状。2、.若 ABC的三边a、b、c满足条件a2 b2 c2 338 10a 24b 26c ,试判断 ABC的形状。如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D,设 AB=c AC=b, BC=a CD=h。b2（2） a b c h（3）以a b，h，c h为三边的三角形是直角三角形经典图形突破:练习1.如图， ABC中，AB=AC / A=45o

6、AC的垂直平分线分别交 AB AC于D、E,若CD=1,贝U BD等于（ ）A. 1C .4.如图，在正方形 ABCD中, F为DC的中点，E为BC上一点，且 ECBC,4猜想AF?与EF的位置关系，并说明理由.5.如图Rt ABC , C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积6.如图 2-10 , ABC中，AB=AC=20 BC=32 D是 BC上一点，且 AD丄 AC,求 BD 的长.7.如图 2-9 , ABC中，/ ACB=90 , AC=BC P是厶 ABC一点，满足 PA=3, PB=1, ?PC=2 求/ BPC的度数.8.已知 ABC中，/ ACB

7、=9 , AC=3,BC=4, （1） AD平分/ BAC,交 BC于 D 点。求 CD长（2） BE平分/ ABC交 AC于 E,求 CE长9.如图，在四边形 ABCD中，/ A= 60,Z B=Z D= 90, BC= 2, CD= 3,求 AB的长11、已知 ABC中，/ BAC= 75,/ C= 60, BC= 3 .3，求 AB AC的长。12、如图， ABC中，AD是高，CE是中线，DC= BE DGLCE于G。（1）求证：G是CE的中点；（2）/ B= 2 / BCE（3）若 AC=6,AB=8,求 DG的长。专题二勾股定理的证明1利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，

8、这个图形被称为弦图从图中可以看到：大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积因而c= + .化简后即为c=2、如图，是2002年8月第24届国际数学家大会会标， 由4个全等的直角三角形拼合而成,若图小正方形的面积分别为 52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别3、2002年8月2028日在召开了第24届国际数学家大会.大会会标如图所示，它是由四5、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法 如图,火柴盒的一个侧面 ABCD倒下到ABCD的位置，连结CC，设AB a, BC b,AC c ,第4题图请利用四边形 BCCD的面积证明勾股定理： a2 b2 c2.和

9、EF都是正方形证： ABFA DAE 7、（ 2010年省市）图是一个边长为（m n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（ ）1、如图1,在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）B5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为 3、的三角形.所画的三角形是直角三角形吗 ？说明理由.6、如图，每个小正方形的边长是 1，在图中画出面积为 2的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四 实际应用建模测长0.5米，

10、把芦苇拉到岸边，它 的顶端B恰好落到D点，并求 水池的深度AC.2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚 好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米围形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心 20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15千米/时的速度沿北偏东 30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或 走过四级，则称为受台风影响（1 ）该城市

11、是否会受到这交台风的影响？请说明理由（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?专题五梯子问题1如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?2、一架方梯长距地面有多高？3、如图，梯子 AB斜靠在墙面上，AC丄BC, AC=BC,当梯子的顶端 A沿AC方向下滑x米 时，梯足B沿CB方向滑动y米，贝U x与y的大小关系是（ ）A. x y B. x y C. x y D.不能确定专题六最短路线1如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺走出了一条路”.他们仅仅少走了（ ）步路

12、（假设2步为1米），却踩伤了花草.A 6 B 5 C 、4 D 32、如图，一圆柱体的底面周长为 20 cm,高AB为10 cm, BC是上底面的直径。一蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程。3、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20 cm,高AB为10 cm,在圆柱的下底面 A点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端 C点处，那么它所行走的路程是多少？从外部点A处爬到杯子的壁到达高 CD的中点E处，最短该走多远呢？（杯子的厚度不计）5、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色， 然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm,其圆筒底面周

13、长为 36cm,如果在表面缠绕油纸 4圈，应裁剪 多长油纸？6、如图，一只蚂蚁从一个棱长为 1米，且封闭的正方体盒子外部的顶点蚁爬行的最短路程为多少米？7、（ 2004?）如图是一块长，宽，高分别是 6cm, 4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A处，沿着长方体的表面到长方体上和 A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A、（ 3+2） cm B cmC、cm D cm8、如图，长方体的长为 15cm,宽为10cm,高 为20cm,点B到点C的距离为5cm, 只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从 A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？9、如图为一棱长为

14、 3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟？10、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 2m 0.3m、0.2m , A和B是台阶上两个相对的顶点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？11、（2010市惠安县）如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm,高为6cm.专题七折叠三角形1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6cm, BC=8c血。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，

15、求CD的长.2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使 A与B重合，折痕为 DE若已知AC=10cm BC=6cm你能求出CE的长吗?3、三角形 ABC是等腰三角形 AB=AC=13 BC=1Q将AB向AC方向对折，再将 CD折叠到CA边上，折痕CE,求三角形ACE的面积4、如图， ABC的三边BC=3 AC=4 AB=5,把厶ABC沿最长边AB翻折后得到A. 65B.12C.13D.2410.如在:ft形纸片 ABC 4 ZACB=90sBC7AB 7 在 AC t取一点以BE为折痕使AB的一部分与BC重合点A与 BC延K线上的点D重缶则CE的长度刘 ）-AJ H6c的 n 2爲专题八折

16、叠四边形1、折叠矩形 ABCD勺一边 AD,点D落在BC边上的点 F处，已知AB=8CM,BC=10CM求 （ 1） CF的长 （2）EC的长.2、在矩形纸片 ABCD中, AD=4cm AB=10cm按图所示方式折叠，使点为丘巳求（1）DE的长；（2）EF的长。B与点D重合，折痕3.（2010市惠安县）矩形纸片ABCD勺边长AB=4, AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为 .4、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=?3, BC=7,重合部分厶EBD的面积为 5、如图5,将正方形 ABCD折叠，

17、使顶点 A与CD边上的点M重合，折痕交 AD于 E,交BC 于F，边AB折叠后与BC边交于点 G如果M为CD边的中点，且 DE=6求正方形ABCD勺面 积6、矩形ABCD中, AB=6 BC=8先把它对折，折痕为 EF,展开后再沿 BG折叠，使A落在EF上的A1,求第二次折痕 BG的长。7、如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。；（2 ）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明.8、如图，/ B=90 , AB=BC=4, AD=2 , CD=6（1 ） ACD是什么三角形？为什么？（2）把厶ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E, 若重叠部分面积为 4，求DE的长。9、边长

18、为8和4的矩形OAB（的两边分别在直角坐标系的 x轴和y轴上，若沿对角线 AC折 叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点。，求（1）三角形ADC的面积，（2） 点B1的坐标，（3）ABI所在的直线解析式10、（ 2010年省市）如图所示，四边形 OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），_ 1 （0, 1 ），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y = x+ b交折线OAB于点E.（1 ）记厶ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形试探究OAiBiG与矩形OABC的重叠部分的面积是否发

19、生变化， 若不变,OAiBiCi,求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由 专题九旋转问题:1、如图， ABC是直角三角形，BC是斜边，将厶ABP绕点A逆时针旋转后，能与 ACP重合，若AP=3 求PP的长。2、如图，P是等边三角形 ABC 点，PA=2,PB=2 J3 ,PC=4,求厶ABC的边长.3、如图， ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90 , E、F是BCk的点，且/ EAF=45 ,2 2 2试探究BE、CF、EF间的关系，并说明理由4、如图所示，P为正方形ABCD一点，将 ABP绕B顺时针旋转90至U CBE的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形的面积5、如图所示， A

20、B（是等腰直角三角形， AB=AC D是斜边BC勺中点，E、F分别是AB AC边上的点，且DEL DF,若 BE=12 CF=5.求线段EF的长。6、如图所示，已知在 ABC中，AB=AC, BAC=90 , D是BC上任一点，求证:BD2 CD 2 2AD2。7、如图，有一块塑料矩形模板 ABCD长为8cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点 P:能否使你 的三角板两直角边分别通过点 B与点C?若能， 求BP+CP的值（2）请你求出这时 AP的长。& 已知/ AOB=90 ，在/ AOB的平分线 0M上有一点

21、C,将一个三角板的直角顶点与点 C 重合，它的两条直角边分别与 0A、0B （或它们的反向延长线）相交于点 D、E。当三角板绕点C旋转到CD与0A垂直时，如图，易证： OD OE 20C ;当三角板 绕点C旋转到CD与0A不垂直时，如图、这两种情况下，上述结论还是否成立？若成 立，请给与证明；若不成立，线段 OE、OC、0D之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想， 不需证明。EI19、（ 2010年市）（本题满分 13分）如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN连接ENAM CM.求证： AMBA ENB当M

22、点在何处时，AMF CM的值最小；当M点在何处时，AMF BMF CM的值最小，并说明理由； 当AMF BMF CM的最小值为.3 1时，求正方形的边长.E、选择题【答案】B2 . （2009年达州）图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方 形E的面积是A. 13 B. 26 C. 47 D. 94【答案】C3 . （ 2009 年市）如图，已知 RtA ABC 中，/ ACB= 90 , AC= 4, BC= 3,以 AB 边所在的直线为轴，将A ABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）.4

23、.（2009年）如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别是BC, AC, AB上的点，DE丄 AC,EF丄AB,FD丄BC,则A DEF的面积与A ABC的面积之比等于（ ）D. . 3 : 3A. 1 : 3 B. 2 : 3 C. ,3 : 25. （ 2009 年广西）如图， AC= AD, BC= BD,则有（ ）A. AB垂直平分 CD B. CD垂直平分 ABC. AB与CD互相垂直平分 D. CD平分ZACB【答案】A6. （ 2009年市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄， AB = 1000米，BC= 600 米，AC= 800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富

24、群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在（）D.Z C的平分线与AB的交点A. AB中点 B. BC中点C. AC中点7（省市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5,上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B,需要爬行的最短距离是（ ）A. 5 .21 B. 25 C. 10.5 +5 D. 358.（省市）如图，已知 ABC中，/ABC= 90 AB= BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线11 ,12,13上，且11 ,12之间的距离为2 ,12,13之间的距离为3，则AC的长是（A ）A. 2 17

25、 B. 2.5 C. 4.2 D. 79. （ 2009市）如图，O O的弦AB= 6, M是AB上任意一点，且 OM最小值为4 ,则O O的半径为（ ）10. （ 2009年市）“爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是 2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖 板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是1011.（ 2009 市）如图，四边形 ABCD中，AB= BC,Z ABC=Z CDA= 90 , BE丄AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则B

26、E=（ ）13 . （2009AC上一点,年市）如图，等边 ABC的边长为3, P为BC上一点，且BP= 1, D为 APD= 60。，贝V CD的长为（【答案】A14.（2009 ）如图， ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分/ ABC,交DE 于点F,若BC= 6，则DF的长是（A）2 （ B）3 （ C）- （ D）415. （2009市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）A. 5一21 B. 25 C. 10.5 5 D. 352C厂1516. （2009市）16 .

27、如图6, OO的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,CD= 6cm，则直径AB的长是（ ）A. 2 3cm B. 3、2cm C. 4- 2cm D. 4,3cm【答案】D17.（2009市）如图，已知 ABC中，/ABC= 90 AB = BC,三角形的顶点在相互平行 的三条直线11，12，13上，且11，12之间的距离为2,12, 13之间的距离为3则AC的 长是（ ）A. 2.17 B. 2 . 5 C. 4.2 D. 718. .（ 2009年市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 19. （2009年滨州）如图3，已知 ABC中，AB= 17 , AC= 10 , BC边上的高 AD= 8 ,则边BC的长为（ ）A. 21 B. 15 C. 6 D.以上答案都不对20.（2009） 9 .如图，已知 O 是四边形 ABCD 一点，OA= OB