概率论与数理统计复习要点知识点docWord下载.docx

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P（A）=1-P（A）

3若dc5,则P（A）<

P⑼，U.P（B-A）=P（B）~P（A）

4P（Au5）=P（A）+P（B）-P（AB）

P（AuBuC）=P（A）+P（5）+P（C）-P（AB）—P、BC、一P（AC）+P（ABC）

性质的逆命题不一定成立的.如

若P（A）幺P（S），则Ac召。

（X）

若尸04）=0,则」=0。

三、古典概型的概率计算

古典概型：

若随机试验满足两个条件：

1只宥宥限个样木点，

2每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型，P（A）丄

典型例题：

设~批产品共yV件，其中有件次^从这批产品屮随机抽取/7件样品，则

（1）在放冋抽样的方式下，取!

li的77件样品中恰好宥件次品（不妨设事件外）

的概率为

尸⑷=

（2）在不放回抽样的方式下，取出的77件样品屮恰好有/〃件次品（不妨设事件為）的概率为

iniin一”i广tn厂n—”i

P（A2）

A/N-M

四、条件概率及其三大公式

1.条件概率：

P（B|A）=f^l9p（A15）=

P（A）尸（5）

2.乘法公式：

P（AB）=P（A）P（B\A）=P（B）P（A\B）

八4為…4j=p（a'

）p（為14）p（為14為）…八4,14…4,4）

4.全概率公式：

_n、

若B'

B2，…，满足|J5Z=Q=0，*J•，贝|JP（A）=YP（A）P（AI5,）。

•=/=1

5.贝叶斯公式:

若事件我，久，…，氏和」如全概率公式所述,且尸（A）〉0,

则聊）=，科）.

玄尸（5,）尸⑷5,）

/=!

五、事件的独立

1.定义：

若P（/I5）=P（4P（5），则称A,B独立.

推广:

若4,為，…，4,相互独立,P（4…4,）=尸⑷…尸⑷

2.在｛4叫，｛4巧，p,5｝，｛U｝四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也

独立。

3.三个事件A,B,C两两独立：

P（AB）=P（A）P（B）

P（BC）=P（B）P（C）

P（AC）=P（A）P（C）

/7个事件的两两独立与相互独立的区别。

（相互独立=>

两两独立，反之不成立。

4.伯努利概型：

P,人k）=CW'

k=0人2,•u=\-p.

练习：

一、判断正误

1.事件的对立与互不相容是等价的。

2•若P（/（）=0,则J=0。

3.若尸⑶=0.1，P（B）=0.5,则尸⑽）=0.05o（X）

4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为A妃+

5.n个事件若满足VZ,人/>

（44）=P（4）P（4）,则n个事件相互独立。

6.当吋，有P（B-A）=P（B）-P（A）。

（V）

二、选择题

1.设A,B为两事件，则P（A-B）等于（C）

A.P（A）-P（B）B.P（A）-P（B）+P（AB）

C.P（A）-P（AB）D.P（A）+P（B）-P（AB）

2.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件3为（D

A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”

B.“甲乙W种产品均畅销”

C.“甲种产品滞销”

D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”

3.若A,B为两随机事件，且则下列式子正确的是（A）

A.P（AUB）=P（A）B.P（AB）=P（A）

C.P（B|A）=P（B）D.P（B-A）=P（B）-P（A）

4.设=a，P

（2）=b，P（S）=c，则尸04及）等于（B）

A.（a+c）eB.a+e-l

C.a+b-cD.（1-Z?

）c

三、解答题

1.^P（A）=0.5,P（AuB）=0.8,在下列情况下⑴浼5不相容;

（2）及5相互独立;

（3）AcB.求P（B）.

解••

（1）因为A,B不相容，有P（AuB）=P（A）+P（B）

所以P（B）=P（A^B）-P（A）=0.8-0.5=0.3

（2）因为A,B独立，所以

P（B）=P（AuB）-P（A）+P（A）P（£

）二0.8—0.5+0.5x尸（5）

...P（B）=0.6.

（3）因为c5,所以du5=5，P（5）=P（Au5）=0.8

2.已知/V）=0.1，P（B）=0.4,且尸（J丨5）=0.2,求P（AuB）的值.

解：

由概率乘法公式得P（AB）=P（B）P（A15）=0.4X0.2=0.08,

•••P（AuB）=PG4）+P（B）-P（AB）

=0.1+0.4-0.08=0.42

3.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.

求先抽到的一份是女生表的概率

设人表示“第Y次取出的报名表是女生表”，7=1,2

公7表示“报名表是取自第J区的考生”，>

1,2,3.

根据题意得P（B,）=P（B2）=P（B3）=l/3

P（415,）=3/10,\B2）=7/15,P（4I53）=5/25.

3137520

第二章随机变量及其分布

一、随机变量的定义

设样木空间为变量1=⑼为定义在Q上的单值实伯:

函数，则称X为随

机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。

二、分布函数及其性质

1.记义••设随机变量X，对于任意实数xe/?

，函数=称为随机

变量X的概率分布函数，简称分布函数。

当々<

x2时，P（xx<

x2）=F（x2）-F（xj）

（1）/是离散随机变量，并有概率函数/X\）d=l，2，-，则有

F（x）=^p（xi）.

xt<

（2）X连续随机变量，并有概率密度f（x）,则F（x）=P（X<

%）=ff（t）dt.

J—oo

2.分布函数性质：

（1）AO）是单调非减函数，即对于任意A<

x2，有

（2）0<

F（x）<

且F（-oo）=limF（x）=0,F（+<

）=limF（x）=1;

（3）离散随机变量XF⑴是右连续函数，即F（x）=Hx+0）;

连续随机变景X，F（%）在（-co,+oo）上处处连续。

一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。

三、离散随机变量及其分布

1.定义.设随机变量J只能取得有限个数值;

q，;

v2，…,久，或可列无穷多个数值

•^，•^，…，•^，…，且八％:

;

^）:

（/=1，2，"

.），则称J为离散随机变景，A（7=1,2,...）

为J的概率分布，或概率函数（分布律）.

概率函数A的性质：

（1）Pi>

0,/=1,2,…；

⑵=1

參

2.几种常见的离散随机变量的分布：

（1）超几何分布，X〜H（N,M，n），P{X=k、=ClC:

卜、A=0,1,2,•••,/?

（2）二项分布，X〜B（n.，p），P（X=k）=Cknpk{\-Pr-k々=0，1，…，/7当n=l时称X服从参数为p的两点分布（或0—1分布）。

gXf（i=l，2，...，n）服从同一两点分布且独立，=服从二项分布。

（3）泊松（Poisson）分布,Z〜尸

（2），

P{X=k}=

（2>

0）^=0,1,2,...

四、连续随机变量及其分布

1.记义.若随机变量T的取值范围是某个实数区间A且存在非负函数f（x）,使得对于任意区间（〃，/）』<

=/，有/^<

^/0=£

/（幻办，则称|为连续随机变量；

函数

f么?

称为连续随机变量/的概率密度函数，简称概率密度。

注1:

连续随机变量J任取某一确记值的X。

概率等于0，即==

注2:

P（x}<

x2）=P（xl<

x2）=P（x,<

x2）=P（x}<

x2）=Pf（x）dx

2.概率密度rrk；

的性质：

性质1••/（X）》0;

性质2:

ff（x）dx=1.

一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。

注2:

当义卜巧时，P（x}<

x2）=F（x2）-F（x,）=fj\x）dx

且在f（X）的连续点又处，有F\x）=/（x）.

3.几种常见的连续随机变量的分布：

（1）均匀分布X〜U（a，b），

fM=

b其它

F（x）=

x-a

b-a

（2）指数分布〜e

（2）,/l〉0

0,x<

（3）正态分布Z〜;

V（/A<

J2），<

y/27T（7

—°

+°

第三章随机变量的数字特征

一、期望（或均值）

Yxkpk,离散型

EX,EX=\a-=i

连续型

X离散型

五［gW］叫广1

j+:

g（x）f（x）dx，X连续型

4.计算数学期望的方法

（1）利用数学期望的定义；

（2）利用数学期望的性质；

常见的基本方法：

将一个比较复杂的随机变量Z拆成有限多个比较简申的随机变量X之和，再利用期單性质求得T的期槊.

（3）利用常见分布的期望；

二、方差

1.方差D（X）=E[X-E（X）]2

•+OO

[x-£

GY）J2/（xWx，连续型

-oo

M=M/-M］2^o；

它反映了随机变量/取值分散的程度，如果A⑶值越大（小），表示7取值越分散（集中）。

2.方差的性质

（1）0（0=0,（C为常数）

（2）D（CX）=C2D（X）

（3）若X与Y相互独立，则D（X土Y）=D⑻+D（Y）

（4）对丁•任意实数CG/?

有E（X-C）2^D（X）

当II仅当C=£

（JV）时，£

（%-<

7）2取得最小值2）（^0.

（5）（切比雪夫不等式b设/的数学期望^0）与方差存在，对于任意的正数&

有

或戶（IX-E（X）|<

^）>

3.计算

（1）利用方差定义；

（2）常用计算公式

D（X）=E（X2）-[E（X）]2.

（3）方差的性质；

（4）常见分布的方差.

常见分布的期望与方差

1.若J〜"

（/7，p）,贝ljR（A）=np,二npq\

2.若义〜P（A），则£

0¥

）=/）0¥

）=乂；

3若X〜H则E⑻

4.若〜e

（2），则£

（1）=4,Z）G¥

）=^;

zA~

5.若义〜;

VW2），则£

（X）=//，D（X）=a2.

三、原点矩与中心矩

（总体）X的k阶原点矩：

vk（X）=E（Xk）

（总体）X的k阶中心矩：

uk（X）=E[X-E（X）]k练习

一、判断正误：

1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。

（X）

2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散

程度。

3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。

4.方差的实质是随机变量函数的期望。

（＞/）

5•对于任意的X,Y,都有=d+成立。

二、选择题

A.4,0.6；

X-B（n,p\EX=2.4,DX=1.44,则n，/?

的值为（B）

B.6,0.4;

C.8,0.3;

D.24,0.1

2.随机变量Z的数字期望为2,方差等于4,则过7?

],此力]的值分别为（D）

A.J,J；

B.2,4；

C.4,2；

D.4,0.

3.两个独立的随机变量2；

7的方差分别为4和2,则随机变量义-27的方差等于：

（C）

A.0；

B.8；

C.12；

D.无法计算.

4.设Z是随机变量，£

（幻=//，/?

）=（72,则对于任意的常数c,有（D）

A.E（X-c）2=E（X2）-c2；

B.E（X-c）2=E（X-jC/）2

C.E（X-c）2<

E（X-jU）2；

D.E{X-cf>

E{X-/j）2

5.设U2,X3相互独立，£

（冬）=1，Z）（Xz）=1,（/=1,2,3），则对于任意给定的

〉0,有0）

A.P（\Xxi-\\<

e）>

\-e-2

C.尸（IE-31〈幻21-f2D.P（|^Xz-3|<

r）>

l-3r-2

/=1

三、填空题

1.设X〜P（A），则y=3I2+2X-1的数学期望为J22+5A-1_。

四、计算题

1.设X的概率密度为

./•W

cosX,0<

0，其他

试求ECY）,D（X）.

、KJTK71

角平•：

（A"

）=Jxf（x）rfy=pxcosxdx=J2xdsinx=xsinx|^-JJsinxdx1

7T'

000

（X2）=Jx2f（x）dx=x2cosxdx

D（X）=E（X2）-［E（X）］2=7T-3

2.游客乘屯梯从底层到屯视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行。

一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在［0,60］上服从均匀分布，求该游客等候吋间Y的数学期望.

因X〜［/（0,60），故其概率密度为

/（X）=

0^60

0，其它

由题意得

5-^,0<

25-X,5<

25;

55—X，25<

55;

60—%+5,55<

60;

f+OO

所以£

（/）=E[g（X）]=\gMf（x）dx

•ou

、g（x）dx

1c5f25f55f60

=—[£

（5-x）dx+J5（25—x）dx+J（55—x）dx+（65—x）dx]

25dx^

r55r60p60

55dx+65dx-xdx]

J25J55JO

第四章正态分布

一、正态分布的定义

1.正态分布

WX〜NQu，cf-），其概率密度为

i（卜A）2

/（X）=y——e2a'

-oo<

+oo,yj27T（J

其分布函数为F（x）=-^L-

yl27rcT

F（a）=|.

正态密度函数的几何特性：

（1）曲线关于％=//对称；

⑦当1="

时，<

（■¥

）取得最大值人-;

y/2^（J

⑶当X4±

oo时，/⑴4（），以X轴为渐近线；

⑷

6）当固定<

7,改％的大小时，f（x）的图形不变，只是沿着y轴作平移变化.

（6）当同定//,改变<

7的人小时，/（X）对称轴不变而形状在改变，n越小，图形越高越瘦；

7越人,

图形越矮越胖.

2.标准正态分布

当//=0,o•二1吋，义〜#（0，1），其密度函数为

（p（x）=;

——e2,-oo<

+oo.

且其分布函数为O（x）=-^[XeL2dL

yj27TJ-°

O（x）的性质：

（1）0（0）=|;

X*X"

^+oo1一-——^+oo

（2）0（+oo）=.——e2dx=[=>

\e2dx=42兀

J—OOO7TJ—OO

（3）O（-x）=1-O（x）.

3.正态分布与标准正态分布的关系

定理：

若％〜聊，ex2），则r=〜戰1）.

设I〜;

V（/AC72），则P（x,<

x2）=<

D（^^）-a>

（^^-）.

（J（7

正态分布的数字特征

设X〜7V（/z，er2）,则

1.期望£

0）=//

D（x）

•+OO

（x-pYe2crdx=（74

3.标准差a（X）=a

三、正态分布的性质

1.线性性.设％〜jvw2），则y=“+狄〜）,（z^o）;

2.可加性.设Z〜Wv^xXy-#（//、，，4），且X和Y相互独立，则

Z=X+Y-N（px+/Zv,<

j2+a2y）\

3.线性组合性後X：

〜*，<

），i=\工…，n，且相互独立，则

n/7n

艺c,%,.〜叭艺娜艺赫.

/=1/=1/=1

四、中心极限定理

1.独立同分布的屮心极限定理

设随机变量冬，X2，…，Z,,，…相互独立，服从相同的分布，且

）=//，D（Xt）=（T2,/=1，2，...，h，…;

则对于任何实数;

G有

limP

Zf—>

h-即

2=1

（卜A）2

y/27T（J

2（7:

定理解释：

若冬，x2，…，X,,满足上述条件，当77充分大吋，有

（1）Y；

=^-y=yjn（7

〜KO，1）;

⑵〜AN（ng,n（j2）；

（3）又=—Di〜AN（JU，n

（J

2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

/f—>

y,-np

^Jnp（l-p）

芳1〜5（/7，；

），当77充分大吋，有

（1）Y”_np〜週（0，1）;

如（1-厂）

（2）Y„〜AN（np，np（[-P））

一、判断题

1•若义〜7V（O，1），y〜7V（2，1），则义-y〜；

V（-2,2）.（X）

2.若义〜TV（/Z，C72），则P（I^SO）=丄.（V）

（72

1.若义〜7V（1，5），则厶（X2）=（B）

A.1B.6C.5D.无法计算

2.若X〜;

V（O，1）,:

K〜7V（2，1），且相互独立，贝ij2X-3r服从（C）分布.

A.N（0,1）B.N（-6,-l）C.N（-6,13）D.N（-6,-5）

3.设随机变量X与Y均服从正态分布：

火〜；

V（/z，42），X〜7V（/z，52）

=P（%<

//-4）；

j92=P（r>

//+5）,WiJ（C）.

A对任何实数//，都有;

5.对任何实数//，都有=/?

C.只对//的个别值，才有A=A;

D.对任何实数//,都有A〉/V

1.（2知连续随机变量/的概率密度函数为

f（x）=^=ey/TT

-x‘+2x-l

则T的数学期望为_1四、计算题

T的方差为1/2

100

1.设4,…，X10。

相互独立，.HJV,.〜叭0,20），/=1，."

，100，令1=［义,.，/=!

求P（X〉1100）.（查表=0.9582）

由冬，…，Xl00相互独立，且~t/（0,20），得==

10（）

（ZA；

）:

1000,Z）（X^）

1002、100’中）=万

由独立同分布的屮心极限定理,

P（Z>

1100）=1-P（X<

1100）

=1-P（

X-1000

=1-尸（

J100-1000

-Too}

V3）«

1-O（V3）=0.0418.

第五章数理统计的基本知识

一、总体个体样本

1.总体：

把研究对象的全体称为总体（或母体）.它是一个随机变量，记尤

2.个体：

总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.

3.样本：

从总体7中，随机地抽取77个个体称为总体/的容量为

/7的样本。

（1）样本（％,，％2是一个n维的随机变量；

（2）木书中提到的样木都是指简单随机样木，其满足2个特性：

1代表性：

…，义\中每一个与总体J有相同的分布.

2独立性：

是相互独立的随机变量.

4.样木CY,，X2，…，Z，,）的联合分布

设总体/的分布函数为F（x）,则样本（4,4,…，'

）的联合分布函数为

，…，x„）=P[F（xi）;

/=1

（1）设总体I的概率密度函数为，00,则样本的联合密度函数为

/（W"

，x„）=J"

J/（'

•）;

（2）设总体J的概率函数为;

^v）,U=0，l，2,…），则样本的联合概率函数为

p（xl,x2,---,xw）=||p

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