12 命题及其关系充分条件与必要条件同名4654Word文档下载推荐.docx
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解析 解法一:
∵数列{an}是公差为d的等差数列,
∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,
∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d.
若d>
0,则21d>
20d,10a1+21d>
10a1+20d,
即S4+S6>
2S5.
若S4+S6>
2S5,则10a1+21d>
10a1+20d,即21d>
20d,
∴d>
0.∴“d>
0”是“S4+S6>
2S5”的充分必要条件.
故选C.
解法二:
∵S4+S6>
2S5⇔S4+S4+a5+a6>
2(S4+a5)⇔a6>
a5⇔a5+d>
a5⇔d>
0,∴“d>
2S5”的充分必要条件.故选C.
(2)(2017·
山东潍坊高三期末)命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 B
解析 原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或5.
故其逆命题:
“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题.故选B.
题型1 四种命题的关系及真假判断
已知:
命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>
1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C.逆否命题是“若m>
1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>
1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断.
答案 D
解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1.
因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>
1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.故选D.
(2018·
黄梅期末)给出下列命题:
①命题“若b2-4ac<
0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题;
②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题;
③命题“若a>
b>
0,则
>
0”的逆否命题;
④“若m>
1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>
0的解集为R”的逆命题.
其中真命题的序号为________.
分清原命题的条件与结论写出所要命题,进行判断.
答案 ①②③
解析 ①命题“若b2-4ac<
0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题是“若b2-4ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”,是真命题;
②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形,则AB=BC=CA”,是真命题;
0”是真命题,∴它的逆否命题也是真命题;
④命题“若m>
0的解集为R”的逆命题是“若mx2-2(m+1)x+(m-3)>
0的解集为R,则m>
1”是假命题,
∵不等式的解集为R时,
的解集为∅,∴逆命题是假命题;
∴真命题有①②③.
方法技巧
四种命题关系及真假判断的方法
1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;
如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.例如典例2.
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;
判断一个命题为假命题,只需举出反例.见教材衍化2.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.例如冲关针对训练2.
冲关针对训练
1.(2018·
陕西模拟)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
解析 先证原命题为真:
当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=
,∴原命题为真,故逆否命题为真;
再证逆命题为假:
取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴逆命题为假,故否命题也为假.故选B.
2.(2017·
沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有________(填序号).
①命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题;
③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
答案 ①②
解析 对于①,命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,它是真命题;
对于②,命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”,它是真命题;
对于③,命题“若A∩B=B,则A⊆B”是假命题,∴它的逆否命题也是假命题;
综上,正确的命题是①②.
题型2 充分条件与必要条件的判定
角度1 利用定义判断充分、必要条件
赣中南五校联考)已知α,β均为第一象限角,那么α>
β是sinα>
sinβ的( )
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
利用定义结合特殊值法进行判断.
解析 由α,β均为第一象限角,可取α=2π+
,β=
,有α>
β,但sinα=sinβ,即α>
β不是sinα>
sinβ的充分条件;
又由α,β均为第一象限角,可取α=
,β=2π+
,有sinα>
sinβ成立,但α<
β,即α>
sinβ的必要条件,综上所述,α>
sinβ的既不充分也不必要条件.故选D.
角度2 等价转化法判断充分、必要条件
阳山模拟)“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的( )
A.必要不充分条件B.既不充分也不必要条件
C.充要条件D.充分不必要条件
用等价转化法.
答案 A
解析 由题意得:
∵命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”与命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题.
∴判断命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”的真假只要判断命题“若a+b=3,则a=1且b=2”的真假即可.
因为命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题.
所以命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”是假命题,
∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3.
同理“若a=1且b=2,则a+b=3”是真命题,
∴命题“若a+b≠3,则a≠1或b≠2”是真命题.
∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2.
∴“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件.故选A.
角度3 集合法判断充分、必要条件
(2017·
天津高考)设θ∈R,则“
<
”是“sinθ
”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
用集合法.
解析 ∵
⇔-
<θ-
⇔0<θ<
,sinθ<
⇔θ∈
,k∈Z,
∴“
<
”是“sinθ<
”的充分而不必要条件.故选A.
角度4 探求结论成立的充分、必要条件
延安质检)函数f(x)=
有且只有一
个零点的充分不必要条件是( )
A.a<
0B.0<
a<
C.
<
1D.a≤0或a>
1
用数形结合法.
解析 因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>
1.
观察选项,根据集合间关系{a|a<
0}{a|a≤0或a>
1}.故选A.
充分条件和必要条件的三种判断方法
1.定义法:
可按照以下三个步骤进行
(1)确定条件p是什么,结论q是什么;
(2)尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;
(3)确定条件p和结论q的关系.见角度1典例.
2.等价转化法:
对于含否定形式的命题,如綈p是綈q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件.见角度2典例.
3.集合法:
根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;
若AB,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件.见角度3典例.
石家庄模拟)命题p:
|x|<
1,命题q:
x2+x-6<
0,则綈p是綈q成立的( )
解析 由|x|<
1得-1<
x<
1,由x2+x-6<
0得-3<
2,即p:
-1<
1,q:
-3<
2,则p是q的充分不必要条件,故答案为綈p是綈q的必要不充分条件.故选B.
2.(2016·
四川高考)设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:
实数x,y满足
则p是q的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
解析 如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.故选A.
题型3 充分、必要条件的应用
石家庄模拟)设命题p:
|4x-3|≤1;
命题q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
本题用集合法.
答案
解析
根据充要条件求解参数范围的常用方法
充分、必要条件的应用,一般体现在参数范围的求解上,其常用方法和注意事项为:
1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.见典例.
2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
已知p:
|x-a|<
4;
q:
(x-2)(3-x)>
0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.
答案 [-1,6]
解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件.
对于p,|x-a|<
4,∴a-4<
a+4,
对于q,2<
3,∴(2,3)(a-4,a+4),
∴
(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.
1.(2017·
北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
n<0”的( )
由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ,使得m=λn,
则m与n反向共线,θ=180°
,
∴m·
n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.
当90°
<θ<180°
时,m·
n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
n<0”的充分而不必要条件.故选A.
∵m=λn,∴m·
n=λn·
n=λ|n|2.
∴当λ<0,n≠0时,m·
n<0.
反之,由m·
n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0
⇔〈m,n〉∈
当〈m,n〉∈
时,m,n不共线.
2.(2015·
北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;
而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.
3.(2017·
南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.
4.(2018·
豫南九校联考)已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>
0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.
答案 [9,+∞)
由
≤2,得-2≤x≤10,
∴綈p对应的集合为{x|x>
10或x<
-2},
设A={x|x>
-2}.
由x2-2x+1-m2≤0(m>
0),得1-m≤x≤1+m(m>
0),
∴綈q对应的集合为{x|x>
m+1或x<
1-m,m>
0},
设B={x|x>
0}.
∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,
且不能同时取得等号.
解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).
∵綈p是綈q必要而不充分条件,
∴q是p的必要而不充分条件,
即p是q的充分而不必要条件,
0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>
设M={x|1-m≤x≤1+m,m>
又由
∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,
且不能同时取等号,解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9,+∞).
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一、选择题
1.下列命题中是真命题的是( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若x-3
是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;
对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;
对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.
2.(2018·
河南八市联考)命题“若a>
b,则a+c>
b+c”的否命题是( )
A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤b
C.若a+c>
b+c,则a>
bD.若a>
b,则a+c≤b+c
解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>
b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.
3.(2018·
曲阜模拟)已知p:
函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:
函数g(x)=loga(x+1)(a>
0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )
解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>
1,所以綈p成立⇔a>
1,则綈p是q的充要条件.故选C.
4.下列命题正确的是( )
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“a>
0,b>
0”是“
+
≥2”的充分必要条件
C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”
D.命题p:
∃x∈R,x2+x-1<
0,则綈p:
∀x∈R,x2+x-1≥0
解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;
若a>
≥2,又当a<
0,b<
0时,也有
≥2,所以“a>
≥2”的充分不必要条件,故B错误;
命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,易知D正确.故选D.
5.“a<
-1”是“∃x0∈R,asinx0+1<
0”的( )
解析 由题意知“∃x0∈R,asinx0+1<
0”等价于“(asinx+1)min<
0”,即“当a>
0时,-a+1<
0,即a>
1;
当a<
0时,a+1<
0,即a<
-1”,所以“a<
0”的充分不必要条件,故选B.
6.(2018·
合肥模拟)祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:
A,B的体积不相等,q:
A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )
解析 设命题a:
“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:
“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.
7.(2017·
衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数”的( )
解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-
,f(-x)=sin(-x)-
=-sinx+
=-
=-f(x),故f(x)为奇函数;
反之,当f(x)=sinx-
+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,
又f(-x)+f(x)=sin(-x)-
+a+sinx-
+a=2a,故a=0,
所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数”的充要条件.故选C.
8.(2018·
天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<
a的必要条件是|x+1|<
b(a,b>
0),则a,b之间的关系是( )
A.b≥
B.b<
C.a≤
D.a>
解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|<
a,
∴|2x+2|<
a.∴-a<
2x+2<
.
∵|x+1|<
b,∴-b<
x+1<
b,
∴-b-1<
b-1.
∵|f(x)-1|<
⊆(-b-1,b-1),
解得b≥
.故选A.
9.(2018·
江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>
0”是“点M在第四象限”的( )
解析 复数z=(1-2i)(a+i)=a+2-2ai+i=a+2+(1-2a)i在复平面内对应的点为M(a+2,1-2a).若a>
0,则a+2>
0,但1-2a的正负不确定,所以点M是否在第四象限也是不确定的;
若点M在第四象限,则
解得a>
,此时可推出a>
0.所以“a>
0”是“点M在第四象限”的必要不充分条件.故选B.
10.(2017·
湖北七市联考)已知圆C:
(x-1)2+y2=r2(r>
0).设p:
0<
r<
3,q:
圆C上至多有2个点到直线x-
y+3=0的距离为1,则p是q的( )
解析 圆C:
(x-1)2+y2=r2的圆心(1,0)到直线x-
y+3=0的距离d=
=2.当r∈(0,1)时,直线与圆相离,圆上没有到直线的距离为1的点;
当r=1时,直线与圆相离,圆上只有一个点到直线的距离