导数及其应用教案Word文档下载推荐.docx

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h（0.5）h（0）4.05（m/s）；

0.50

h⑵h（i）8.2（m/s）

探究:

计算运动员在0t

2i

65、-,、s十山、、，一、

——这段时间里的平均速度，并思考以下问题:

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：

如图是函数

h

o

65

h（-）h（0）,所以v

2

h（t）=-4.9t+6.5t+i0的图像，结合图形可知,

h（--）h（0）

-^490（s/m），虽然运动员在0

65c——049

65、一、，，——这段时间里的49

平均速度为0（s/m）,但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能

精确描述运动员的运动状态。

探究（三）：

平均变化率

1、平均变化率概念：

上述问题中的变化率可用式子

f（X2）f（Xi）

表小,

X2Xi

称为函数f（x）从xi到X2的平均变化率

2.若设xx2xi,

yf（x2）f（xi）（这里x看作是对于xi的一个增量"

可用

X1+X代替X2,同样

yf（X2）

f（Xi））

则平均变化率为—

x

f（Xix）f（Xi）

思考：

观察函数Hx）的图象：

直线AB的斜率

WS表示什么?

3、函数f（x）从xo到xo+Ax的平均变化率怎么表示?

f（X0+Vx）-f（x0）

Vx

1,

2）及临近一点B（1x,2y）,

三、典例分析

例1.已知函数f（x）=xx的图象上的一点A（

解:

（1x）23（1x）,

2_

x）（1x）2

3

例2、求

xo附近的平均变化率。

（xo

、22~y

x）xo,所以——

、22

x）xo

xo2xoxxxoc

2xoxx

一.2•

所以yx在xxo附近的平均变化率为2xox

例3、求函数y=5x+6在区间［2,2+^x］内的平均变化率

例4、某盏路灯距离地面高8m,一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的

四.课堂练习

速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率解：

略

1.质点运动规律为st3,则在时间（3,3t）中相应的平均速度为.

课题:

导数的概念

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;

3.会求函数在某点的导数

瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

导数的概念.

一、复习引入

1、函数平均变化率:

yf（x2）f（为）f（xix）f（xj

xx2x.

2、函数平均变化率的几何意义：

表示曲线上两点连线（割线）的斜率

.因为运动员从高

3、在高台跳水运动中，平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。

二、知识探究

…一…工65、-,、s十山、、，一、

1、引例：

计算运动员在0t——这段时间里的平均速度，并思考以下问题:

49

h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知,65

h（元）h（0）

-^90（s/m）,

h"

（0）,所以

探究过程：

虽然运动员在0t

65、一、……、，,……

——这段时间里的平均速度为0（s/m）,但实际情49

况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

2、.瞬时速度：

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他

在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？

比如，t2时的瞬时速度是

多少？

考察t2附近的情况：

金5时,在［2十白人2

这段时1旬内』

时.在［2,2+上］这飙间内-

-力

（2）—方（2+Af）4.9A『+13.1&

^（2-bA/）-A

（2）-4.9A?

-13.1AZ

2-3&

）京

=T,9&

-13.1

（2+也）-2Mq

=-4.9A£

当时，也£

=—13.051；

墓

当瓦=001时，Az=-13.05bq

当AE二「0。

。

1时，四f二「13.0951：

丁

当&

二0。

01时，A2=-13.0951；

♦

当A;

=-0001时，Af=-13.09951?

『

当A』=0.001时，A/=-130^51；

点

当位=-0.0001时,曷=-13099951：

―

当AN=0。

001时，=-13.09995b

当Az=-0,00001时，=-13.09995b*

当&

=000001时，Az=-13.099951；

一

■»

■

……

1、思考：

当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

2、结论：

当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时,

平均速度V都趋近于一个确定的值13.1.

3、从物理的角度看，时间|t间隔无限变小时，平均速度V就无限趋近于史的瞬时速度，

因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

4、为了表述方便，我们用「m。

一t）h

（2）13.1表示“42,t趋近于0时,

平均速度v趋近于定值13.1

⑤、小结：

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度

的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3、导数的概念：

函数y=f（x）^x=xo处的瞬时变化率是：

lim少一位0）lim—¥

x0xx0x

我们称它为函数yf（x）在xx°

出的导数，记作f'

（x。

）或y'

|xx0,

即f（x0）顷。

*x；

泌）

说明：

（1）导数即为函数y=f（x）在x=x。

处的瞬时变化率

f（x）f（x0）

（2）xxx0，当x。

时，xx°

所以f（x°

）lim

x0xx0

4、一般地，求函数f（x）在x=x0处的导数有哪几个基本步骤？

第一步，求函数值增量：

△y=f（x+Ax）—f（x。

）；

Vyf（x+Vx）-f（x。

）

第二步，求平均变化率：

—=0-

VxVx

第三步，取极限，求导数：

f恢0）=lim处

vx?

0Vx

lim四-*）-f（x0）

Vx?

0Vx

f（x）-f（x0）万

5、常见结论：

（1）lim=fG0）

（2）

x?

x0x-x0

（3）欢0心+2：

?

-心0）=2®

）（4）Vim

f（x0+mVx）-f（x0）m刀

-^-0-=—f^0）

0nVxn

、典例分析例1.

（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

2分析：

先求Ay=f（1+Ax）-f

（1）=6&

+（Ax）

yf

再求二6x再求lim——6

xx0x

解：

法一（略）

法二：

y|xi

lim

x1

22

3x31

..3（x1）

lim

x1x1

lim3（x1）6

（2）求函数f（x）=x2x在x

1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

—

（1x）2（1x）2

f

（1）lim旦——x）―x^-2lim（3x）3

x0xxx0

例2.（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却

和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：

°

C）为f（x）x27x15（0x8）,计算

第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'

（2）和f'

（6）

根据导数定义,

ff（2x）f（x°

xx

（2x）27（2x）15（227215）x3

所以f

（2）lim里lim（x3）3

xx人u

同理可得:

f（6）5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为

3和5,说明在2h附近，原油温度大

约以3°

C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5°

C/h的速率上升.

注：

一般地，f（x°

）反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.

4.课堂练习

1.质点您动规律为st3,求质点在t3的瞬时速度为.

3,

2.求曲线y=f（x）=x在x1时的导数.

3•例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

5.回顾总结

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念

2.导数的概念

6.布置作业

导数的几何意义

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2.理解曲线的切线的概念；

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题;

曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

导数的几何意义.

一.复习引入

1、函数f（x）在x=X。

处的导数的含义是什么？

少Vyf（x+Vx）-f（x。

f（xn）=limy=lim。

0

Vx0VxVx0

2、求函数f（x）在x=x。

处的导数有哪几个基本步骤？

3、导数f'

）表示函数f（x）在x=xo处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某

种几何意义，是一个需要探究的问题.

二.知识探究

1、曲线的切线及切线的斜率：

如图3.1-2，当Pn（xn,f（xn））（n1,2,3,4）沿着曲线f（x）趋

近于点P（xo,f（x。

））时，割线PPn的变化趋势是什么?

图3.1-2

我们发现，当点Pn沿着曲线无限接近点P即J0时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：

⑴割线PPn的斜率、与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是、f（Xn）f（X0），当点R沿着曲线无限接近点P时，灯无XnXo

f（XoX）f（Xo）

限趋近于切线PT的斜率k,即klimf（Xo）

X0X

⑴、设切线的倾斜角为0,那么当0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念：

①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在XXo处的导数.

⑵、曲线在某点处的切线：

①、与该点的位置有关；

②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。

如有极限，则在此

点有切线，且切线是唯一的；

如不存在，则在此点处无切线；

③、曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.

2、导数的几何意义：

函数y=f（X）在x=x°

处的导数等于在该点

（Xo，f（X。

））处的切线的斜率,

f（XoX）f（Xo）.

即：

f（xo）limk

XoX

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤

①、求出P点的坐标；

②、求出函数在点Xo处的变化率f（Xo）

limf（XoX）f（Xo）

k,得到曲线在点

（Xo,f（Xo））的切线的斜率;

③、利用点斜式求切线方程.

探究二；

导函数概念：

1、导函数定义：

个确定的数，那么，

由函数f（X）在X=Xo处求导数的过程可以看到，当X=Xo时，f（Xo）是

当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数.记作：

f（X）或y,

f（x）yimf（xX）f（x）

在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

2、函数f（x）在点Xo处的导数f（Xo）、导函数f（X）、导数之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数f（Xo）,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点X而言的，就是函数f（x）的导函数

一一一・・-'

.-...

3）函数f（x）在点Xo处的导数f（Xo）就是导函数f（X）在XXo处的函数值，这也是求函数在点Xo处的导数的方法之一。

例1:

（1）求曲线

y=f（x）=x2+1在点P（1,2）处的切线方程.

（2）求函数

y=3x2在点（1,3）处的导数.

（1）ylx1

22-

[（1x）1]（11）「2x

limlim

xoxxox

2,

所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为

22（x1）即2xy0

（2）因为y|x1lim3^——31lim3（^——1^lim3（

x1x1x1x1x1

1）6

所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为

6（x1）即6xy30

练习：

求函数

f（x）=x2x在x1附近的平均变化率,

并求出在该点处的导数.

f

（1）加

y（1x）2（1x）2

炉。

（3

x）3

例2.（课本例2）如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间

_2__

变化的函数h（x）4.9x6.5x1o,根据图像，请描述、

比较曲线h（t）在to、t〔、t2附近的变化情况.

我们用曲线h（t）在to、&

、t2处的切线，刻画曲线h（t）在

上述三个时刻附近的变化情况.

（1）

当tto时，曲线h（t）在to处的切线lo平行于

x轴，所

以，在tto附近曲线比较平坦，几乎没有升降.

（2）当tt1时，曲线h（t）在t1处的切线1i的斜率h（t〔）0,所以，在tt1附近曲线下

降，即函数h（x）4.9x26.5x10在t&

附近单调递减.

（3）当tt2时，曲线h（t）在t2处的切线12的斜率h（t2）0，所以，在tt2附近曲线下

降，即函数h（x）4.9x26.5x10在tt2附近单调递减.

从图3.1-3可以看出，直线li的倾斜程度小于直线12的倾斜程度，这说明曲线在ti附近比

在t2附近下降的缓慢.

例3.（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度cf（t）（单位：

mg/mL）随时

间t（单位：

min）变化的图象.根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.

血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f（t）在此时刻的导数，从图

像上看，它表示曲线f（t）在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,则它的斜率为：

0.480.91,

k1.4

1.00.7

所以f（0.8）1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

1.求曲线y=f（x）=x在点（1,1）处的切线;

2.求曲线yJX在点（4,2）处的切线.

1.曲线的切线及切线的斜率；

2.导数的几何意义

课后记

几个常用函数的导数

教学目标:

1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数

的导数公式；

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

四种常见函数

y

c、y

x、y

x、

1

的导数公式及应用

的导数公式

教学过程:

.复习引入

1、导数f（X0）的几何意义是什么?

2、如何求函数f（x）的导函数？

3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一

时刻的瞬时速度.那么，对于函数yf（x）,如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出

了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这

在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将

研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.

2.知识探究

1.函数yf（x）c的导数

rm日毋d成岂yf（xx）f（x）cc

⑴根据导数正义，因为——0,

xxx

所以ylim旦lim00

x0xx0

⑵y0表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0.若yc表示路

程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度为0，即物体一直处于静止状态.

2.函数yf（x）x的导数

，、…yf（xx）f（x）xxx

⑴因为业

所以ylim旦lim11

⑵y1表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1.若yx表示路

程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.

2.

3.函数yf（x）x的导数

函数

导数

2yx

y2x

/myf（xx）f（x）（xx）2x2c

⑴因为翌2x

所以yli^-yl[m（2xx）2x

⑵y2x表示函数yx2图像（图3.2-3）上点（x,y）处的切线的斜率都为2x,说明随着

x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表

_2

明：

当x0时，随着x的增加，函数yx减少得越来越慢；

当x0时，随着x的增加,

则y2x可以解释为某

函数yx2增加得越来越快.若yx2表示路程关于时间的函数,

物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

1，…

4.函数yf（x）-的导数

11

因为迪f（xx）f（x）xxkx（xx）

xxxx（xx）x

所以y

limy

x0

x2xx）

1yx

1y

2x

（2）推广：

若yf（x）xn（nQ*）,则f（x）nxn1

3.课堂练习

1.课本P13探究1;

2.课本P13探究2；

3.求函数yjx的导数

4.回顾总结

5.布置作业

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；

掌握导数的四则运算法则；

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

1.复习引入

一，21

1、四种常见函数yc、yx、yx、y-的导数公式及应用

基本初等函数的导数公式表

yc

y0

-n_*

yf（x）x（nQ）

'

n1

ynx

ysinx

ycosx

.

yf（x）ax

x./—\

yalna（a0）

一一x

yf（x）e

x

ye

f（x）logax

'

1l

f（x）（a0且a1）

xlna

f（x）lnx

'

1

f（x）

导数的运算法则

导数运算法则

1.

f（x）

g（x）

f（x）g（x）

2.

f（x）g（x）f（x）g（x）

特别：

cf（x）

cf（x）

3.

f（x）g（x）f2（x）g（x）（g（x）0）

例1.假设某国家在20年