最新北师大版九年级数学上总复习Word格式.docx

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（2）有三个角是直角的___________是矩形；

（3）对角线相等的______________是矩形．

6．正方形的性质

（1）正方形的对边_________；

（2）正方形的四边_________；

（3）正方形的四个角都是________；

（4）正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角线平分一组对角；

（5）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有_________条，对称中心是对角线的交点．

7．正方形的判定

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；

（2）有一组邻边相等的________是正方形；

（3）有一个角是直角的________是正方形．

[注意]矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；

菱形是有一组邻边相等的平行四边形；

正方形既是矩形，又是菱形．

8．中点四边形

中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们可以得到下面的结论：

（1）顺次连接四边形四边中点所得的四边形是____________．

（2）顺次连接矩形四边中点所得的四边形是________．

（3）顺次连接菱形四边中点所得的四边形是________．

（4）顺次连接正方形四边中点所得的四边形是__________．

（5）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是________．

[总结]顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是________；

顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是________．

►考点一　菱形的性质和判定

例1　如图S1－2，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，

AD的中点，连接EF，OE，OF.求证：

四边形AEOF是菱形．

方法技巧

在证明一个四边形是菱形时，要注意：

首先判断是平行四边形还是任意四边形.若是任意四边形，则需证四条边都相等；

若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明.

例2　如图S1－3，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F点处．

已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．

方法技巧

矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力.解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来

考点3;

和正方形有关的探索性问题

例3　如图S1－4，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE＝3，CE＝2，点P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值．

上册第二章复习

1．一元二次方程

只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．

[注意]定义应注意四点：

（1）含有一个未知数；

（2）未知数的最高次数为2；

（3）二次项系数不为0；

（4）整式方程．

2．一元二次方程的一般形式

ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为　　、　　和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．

3．直接开平方法

直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如（x＋a）2＝b（b≥0）的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝　　；

当b＜0时，方程没有实数根．

4．配方法

（1）配方法的基本思想：

转化思想，把方程转化成（x＋a）2＝b（b≥0）的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．

（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①化二次项系数为1；

②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；

③配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，并写成（x＋a）2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根．

5．公式法

（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（b2－4ac≥0）的求根公式：

x＝　

（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤：

①把一元二次方程化成一般形式：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；

②确定a，b，c的值；

③求b2－4ac的值；

④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．

6．用分解因式法解一元二次方程的一般步骤

（1）将方程变形为右边是0的形式；

（2）将方程左边分解因式；

（3）令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程；

（4）分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．

7．一元二次方程根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当Δ＝b2－4ac>

0时，方程有两个不相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac<

0时，方程没有实数根．

反之，结论也成立．

8．一元二次方程根与系数的关系

若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，则

9．列方程解应用题的一般步骤

（1）审题：

通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．

（2）设元：

就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．

（3）列方程：

就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．

（4）解方程：

正确求出方程的解并注意检验其合理性．

（5）作答：

即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．

考点一　用配方法解方程例

1　用配方法解方程：

3x2＋4x－4＝0.

考点二　用分解因式法解方程例

2　用分解因式法解方程：

（x－3）2＋3－x＝0.

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以利用因式分解法解一元二次方程．用式子表示：

若a·

b＝0，则a＝0或b＝0，反之也成立．有时遇到解高次方程时，也可以利用这种方式降次．如x4－16＝0，则（x2＋4）（x＋2）（x－2）＝0，其左边是三个因式，其中有一个二次的因式，其余两个是一次的因式．分解因式法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”的思想．

考点三　用公式法解方程

例3　用公式法解方程：

x2＋x－1＝0.

根据公式法，我们可以利用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况：

当b2－4ac>

当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

当b2－4ac＜0时，方程无实数根．反之，知道一元二次方程根的情况，也可以判断b2－4ac的符号．

考点四　增长率问题

例4　某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

列一元二次方程解应用题的关键是：

找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等．思想方法整体思想，分类讨论思想

第三章：

知识归纳：

1．频率与概率

（1）当试验次数很大时，试验频率稳定在相应的　　附近．因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的　　来估计这一事件发生的　.

（2）涉及两步试验的随机事件发生的概率，有两种基本的计算方法，它们分别是　　、　　.

[注意]用列表法或树状图法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同．

2．试验估算

估计复杂的随机事件发生的概率常用的方法是实验估算，但有时试验和调查既费时又费力，个别的试验和调查根本无法进行．此时我们可采用模拟实验的方法．

3．池塘里有多少条鱼

一个口袋中有m个黑球（已知）和若干个白球，如果不许将球倒出来数，则有两种方法可以估计出其中的白球数x：

法一：

从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，通过多次试验，我们可以估计出从口袋中随机摸出一球，它为黑球的概率，而这个概率应等于　　.据此可估计出白球数x.

法二：

利用抽样调查方法，通过多次抽样调查，求出样本中黑球数与总球数比值的“　　”，这个“　　”应近似于　，据此，我们也可以估计出x的值．

►考点一　利用频率估计概率

例1　为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼可估计为（　　）

A．3000条　　　　　　B．2200条C．1200条D．600条

这个问题可以转化为一般问题：

为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为

.

考点二　利用概率帮助说理

例2　甲袋中放有21只红球和9只黑球，乙袋中放有190只红球，90只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已搅匀，随机从袋子中取出一只球，如果你想取出1只黑球，选择________袋成功的机会大．

第四章：

知识点归纳：

1．线段的比的定义

在同一单位长度下，两条线段______________的比叫做这两条线段的比．

2．成比例线段

四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即

______________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段。

3．比例的性质

（1）比例的基本性质：

如果a∶b＝c∶d，那么__________．

（2）合（分）比性质：

若

＝

，则_______________．

（3）等比性质：

＝…＝

，且（b＋d＋f＋…＋n≠0），则

4．平行线分线段成比例定理及推论

定理：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

推论：

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段_____________．

5．相似多边形的定义

对应角________，对应边____________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形_________________叫做相似比．

注意：

判定两个多边形相似，对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可．

6．相似多边形的性质

相似多边形的对应角__________，对应边____________．周长的比等于___________，面积的比等于__________________．

7．相似三角形的定义

对应角_________，对应边______________的8．相似三角形判定方法

①__________________；

②__________________；

③____________________________．

两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种情形之一：

两个三角形叫做相似三角形．相似三角形_________________叫做相似比．

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，问题即可得以解决．

9．黄金分割

黄金分割的意义：

如图S4－4，点C把线段AB分成两条线段AC和

BC，如果_____________，那么称线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做____________，黄金分割的比值是一个定值，即AC∶AB＝______________≈0.618.

10．相似三角形的性质

相似三角形的对应角________，对应边__________．相似三角形的对应中线的比等于__________，对应高的比等于_________，对应角对应角平分线的比等于_________，周长之比等于_________，相似三角形面积之比等于____________________．

11．测量物体的高度

（1）利用_____________的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度；

（2）测量的方法有三种：

利用_________，利用__________，利用_________．

考点攻略考点一　三角形相似的判定

例1　[2013·

六盘水]如图S4－5，添加一个条件：

______________________________，

使△ADE∽△ACB.（写出一个即可）

要证三角形相似，当两个三角形有一组角相等时，可想办法证另一组角相等，利用两角法证三角形相似；

或想办法证角的夹边对应成比例，利用两边及其夹角法证三角形相似；

当两边对应成比例时，可想办法证第三边的比等于这两边的比，利用三边法证明三角形相似

考点二　相似三角形的判定和性质

例2　如图S4－6，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH＝3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积．

考点三　相似三角形的判定与分类讨论

例3　[2013·

淄博]在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，

使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．

如图S4－7，∠A＝36°

，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有____条．

当两个相似三角形没有明确对应关系时，注意要分类讨论，不能仅仅考虑有一边平行情况，还有可能不平行的情况.分类讨论思想是中学阶段一种重要的数学思想.

考点四　构造相似三角形测量物体的高度（宽度或深度）

例4　一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图S4－9是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：

①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；

②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线）．经测量AB＝1.2米，BC＝1.6米．

根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）．

（π取3.14，结果精确到0.1米）

实际生活中需要测量一些隧道的长度、河流的宽度、电线杆的高度、烟囱的高度等，而这些数据往往不可能直接测量，或直接测量有危险，怎么办？

这时可在安全区测量能够测量的物体长度，构造相似三角形，计算不能直接测量的物体高度等.可以培养学生运用数学的意识和能力.

第五章：

1．画三视图的原则

画三视图时，应注意主、俯视图要“　　”，主、左视图要“　　”，左、俯视图要“　”．

[注意]在画圆锥的俯视图时，要注意不要漏掉圆心处的实点．

2．三视图的画法

首先观察物体的几何构成，确定主视图的位置，依次画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线．

[总结]三视图中的方位与物体上的方位的对应关系：

（1）主视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；

（2）俯视图中的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；

（3）左视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前．

3．画三视图的顺序

三种视图中首先应确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图下面画出俯视图，在主视图右面画出左视图．

4．平行投影

太阳光线可以看成是平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．

[点拨]平行投影与视图的联系：

事实上，在特殊位置下（投影线与投影面垂直时）物体的平行投影就是物体的三种视图．物体的主视图是一束平行光线从正前方照射时形成的平行投影；

左视图是一束平行光线从左前方照射形成的平行投影；

俯视图是一束平行光线从正上方照射形成的平行投影．

5．中心投影：

探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成由一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．

[点拨]中心投影与平行投影的区别：

太阳光线是平行的光线，灯光的光线是从一点发出的．

考点一　确定物体的三视图

例1　如图S5－1（a）所示几何体的主（正）视图是（　　）

三个视图是分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体所得到的平面图形，要注意用平行光去看．画三个视图时应注意尺寸的大小，即三个视图的特征：

主视图（从正面看）体现物体的长和高，左视图体现物体的高和宽，俯视图体现物体的长和宽．

考点二　由视图确定物体

例2　由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图S5－2所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（　　）

A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6

从俯视图可以看出行数与列数，再由各个位置上小正方体的个数确定每行每列的最高层数，从而确定出小正方体的个数．另外，在根据三个视图确定立体图形时，一定要充分发挥自己的空间想象力，并且要注意由三个视图想象实物时可能不唯一．建议同学们在俯视图的各个位置上写上该位置上小正方体的个数，然后把各个位置上的小正方体的个数相加即可

考点三　平行投影问题

例3　小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）

A．0.5mB．0.55m

C．0.6mD．2.2m

方法技巧：

物体在太阳光下所形成的影子大小和形状随着物体与投影面的位置关系的改变而改．特别地，当物体与投影面平行时，所形成的影子与物体全等；

同一物体在不同时刻的影长和方向不同；

同一时刻物高与影长成比例．

1．反比例函数

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成　　（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．反比例函数的自变量x不能为零．

2．反比例函数表达式的确定

确定反比例函数表达式的方法，是用待定系数法．由于反比例函数y＝

（k≠0）中只有一个待定系数k，所以只需一对满足表达式的对应值，即可求得k值，进而确定其函数表达式．

[总结]当确定了反比例函数表达式后，便可求出当自变量x（x≠0）取其他值时，所对应的函数值；

同样当已知该函数的值时，也可求出相对应的自变量x的值．

3．反比例函数y＝

（k≠0）的图象和性质

（1）反比例函数的图象

反比例函数y＝

（k≠0）的图象是由两支曲线组成，叫做双曲线．当k>

0时，两支曲线分别位于第　　象限内；

当k<

0时，两支曲线分别位于第　象限内．

[注意]双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．

（2）反比例函数的性质

（k≠0）的图象，当k>

0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而　　；

0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而　　.

4．反比例函数的应用

应用反比例函数知识解决实际生活中的问题，关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的函数表达式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解．要特别注意结合实际情况确定自变量的取值范围．

考点一　反比例函数的图象和性质

例1　如图S6－1，反比例函数y＝

的图象经过点A（－1，－2），则当x＞1时，函数值y

的取值范围是（　　）A．y＞1B．0＜y＜1

C．y＞2D．0＜y＜2

考点二　反比例函数的表达式

例2　某闭合电路中，电源电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，如图表示的是该电路中电流

I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　）

A．I＝

B．I＝－

C．I＝

D．I＝

考点三　反比例函数图象中的图形面积

例3　在反比例函数y＝

（x＞0）的图象上，有一系列点A1、A2、A3、…、An、An＋1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1、A2、A3…、An、An＋1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形,如图S5－3所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，S1＝________，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝________.（用n的代数式表示）．

考点四　反比例函数与一次函数

例4　如图S6－4，一次函数y＝kx－1的图象与反比例函数y＝

的图象交于A，B两点，其中A点坐标为（2,1）．

（1）试确定k，m的值；

（2）求B点的坐标．

注意利用“数形结合”思想来解决反比例函数与一次函数的综合运用问题．一般经历如下过程：

通过图象特点得出交点坐标→求得表达式→得出性质→结合几何知识解决问题．

考点五　反比例函数在生活中的应用

例5　病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药

后2小时，每毫升血液中的含量达到最大值为4毫克．已知服药2小时前每毫升血液中的含量y（毫克）与时间x（小时）成正比例；

2小时后y与x成反比例（如图S6－5所示）．根据以上信息解答下列问题：

（1）求当0≤x≤2时，y与x的函数表达式；

（2）求当x>

2时，y与x的函数表达式；

（3）若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病

的有效时间是多长？

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC