多元函数微积分复习试题.docx
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多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题
一、单项选择题
1．函数在点处连续是函数在该点可微分的（B）
（A）充分而不必要条件;（B）必要而不充分条件;
（C）必要而且充分条件;（D）既不必要也不充分条件.
2．设函数在点处连续是函数在该点可偏导的（D）
（A）充分而不必要条件;（B）必要而不充分条件;
（C）必要而且充分条件;（D）既不必要也不充分条件.
3．函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分的（B）.
（A）充分而不必要条件;（B）必要而不充分条件;
（C）必要而且充分条件;（D）既不必要也不充分条件.
4．对于二元函数,下列结论正确的是（C）.
A.若,则必有且有;
B.若在处和都存在,则在点处可微;
C.若在处和存在且连续,则在点处可微;
D.若和都存在,则..
5．二元函数在点处满足关系（C）.
A.可微（指全微分存在）可导（指偏导数存在）连续;
B.可微可导连续;
C.可微可导,或可微连续,但可导不一定连续;
D.可导连续,但可导不一定可微.
6.向量，则（A）
（A）3（B）
（C）（D）2
5．已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），则=（C）
（A）-1；（B）1；
（C）0；（D）2；
6．已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3），则=（B）
（A）（B）;
（C）;（D）-2;
7．设为园域,化积分为二次积分的正确方法
是_____D____.
A.B.
C.
D.
8．设,改变积分次序,则B
A.B.
C.D.
9．二次积分可以写成___________.D
A.B.
C.D.
10．设是由曲面及所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分
表示为三次积分，C
A．
B.
C．
D．
11．设为面直线段，其方程为，
则（C）
（A）（B）
（C）0（D）
12．设为面直线段，其方程为，则（C）
（A）（B）
（C）0（D）
13．设有级数,则是级数收敛的（D）
（A）充分条件；（B）充分必要条件；
（C）既不充分也不必要条件；（D）必要条件;
14．幂级数的收径半径R=（D）
（A）3（B）0
（C）2（D）1
15．幂级数的收敛半径（A）
（A）1（B）0
（C）2（D）3
16．若幂级数的收敛半径为，则的收敛半径为（A）
（A）（B）
（C）（D）无法求得
17.若,则级数（）D
A.收敛且和为B.收敛但和不一定为
C.发散D.可能收敛也可能发散
18.若为正项级数,则（B）
A.若,则收敛B.若收敛,则收敛
C.若,则也收敛D.若发散,则
19.设幂级数在点处收敛,则该级数在点处（A）
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定
20.级数,则该级数（B）
A.是发散级数B.是绝对收敛级数
C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散
二、填空题
1．设，则___1___.
2．设，则=____0______.
3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是
4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是
5．柱面坐标下的体积元素
6．设积分区域,且,则3。
7．设由曲线所围成,则
8．设积分区域为,
9．设在[0，1]上连续，如果，
则=_____9________.
10．设为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则
.
11．设为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，
则0
12．等比级数当时，等比级数收敛.
13．当____时，级数是收敛的.
14．当_________时,级数是绝对收敛的.
15．若,则,
16．若,则
17．设,则
18．设,则
19.积分的值等于,
20.设为园域,若,则2
21.设,其中,则
三、计算题
1.求过点且与平面平行的平面方程.
解:
已知平面的法向量n=（2，-5，4），
所求平面的方程为
2（x+2）-5（y-0）+4（z-1）=0
即2x-75y+4z=0
2．求经过两点M1（，，2）和M2（3，0，1）的直线方程。
.解:
=（4,2,）
所求直线方程为
3．求过点（0,-3,2）且以n=（3,-2,1）为法线向量的平面方程.
解:
所求的平面方程为
即
4．设，其中具有二阶连续偏导数，求
解:
5．设,求
解:
方程两边对求导得
由此得
6．设，其中具有二阶连续偏阶导数，求。
解:
7．设,求
解:
方程两边同时对求导得
8．设，其中具有连续的二阶偏导数，求
解:
9．设
解:
方程两边对同时求导得
由此得
10．计算二重积分,其中是由直线
所围成的闭区域。
解:
=
11．改变二次积分的积分次序。
解:
积分区域为
也可表示为
12．计算二重积分,其中是由直线
所围成的闭区域。
解:
=
13．改变二次积分的积分次序。
解:
积分区域为
也可表示为
有
14．计算二重积分其中D:
解:
=
15．改变二次积分的积分次序。
解:
积分区域为
也可表示为
16．利用格林公式计算曲线积分I=
其中L为三顶点分别为（0,0）,（3,0）,（3,2）的三角形正向边界.
解:
由格林公式
I=
==
=12
17．利用格林公式计算曲线积分,
其中L为正向的圆周.
解：
由格林公式
I=
=
=
18．利用格林公式计算曲线积分I=
其中L为三顶点分别为（0,0）,（3,0）,（0,3）的三角形正向边界.
解:
由格林公式
I=
=
=
=18.
19．判别级数的收敛性。
解:
由比值判别法知级数收敛
20．求幂级数的收敛区间。
解:
，
收敛区间为
21．求幂级数的收敛区间。
解:
收敛区间为（-3,3）
四、解下列各题题
1．利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面
与平面所围成的闭区域。
解:
=
=
2．利用柱面坐标计算三重积分，
其中闭区域为半球体.
解:
在平面的投影区域为，
用柱面坐标可表示为
3．．利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面
与平面所围成的闭区域。
解:
=
4．计算曲线积分，其中是在圆周上由
点O（0，0）到点A（1，1）的一段弧。
解:
曲线积分与路径无关，
=（y=x,）
==-1
5．计算曲线积分，其中是在圆周上由
点O（0，0）到点A（2，0）的一段弧。
解：
曲线积分与路径无关，
=（y=0,）
6．计算曲线积分，其中是在圆周上由
点A（2，0）到点0（0，0）的一段弧。
解:
曲线积分与路径无关，
=（y=0,x由2到0）
=.
7．判别级数是否收敛？
如果收敛，是绝对收还是条件收敛？
解:
记,则
且
由莱布尼兹定理,级数收敛
又,而级数发散,由比较判别法可知
级数发散,从而级数为条件收敛
8．判别级数是否收敛？
如果收敛，是绝对收还是条件收敛？
解：
记，
而发散，所以发散
又
且，
由莱布尼兹定理知
收敛且为条件收敛.
9．判别级数是否收敛？
如果收敛，是绝对收还是条件收敛？
解:
级数收收敛，
从而级数为绝对收敛.
10计算,其中.
11.计算,其中
12.求由锥面与圆柱面所围成的立体的体积.
五．应用题
1．将周长为的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的
边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？
解.目标函数：
，附加条件：
解方程组：
得唯一可能极值点：
故当矩形的边长分别为和时，绕短边旋转所得到园柱
体的体积最大，且其体积为
2．从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的
直角三角形.
解：
设直角三角形的两直角边分别为和，问题化为求
在条件下的最大值问题。
设…………………...2分
解方程组
得……………………………….5分
故可知当两直角边都等于时直角三角形的周长最大。
…………………………………..7分
3..求原点到曲面上点的最短距离.
4.证明:
曲面上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积
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