二次函数知识点及练习.doc

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二次函数综合

一、二次函数的定义

定义：

形如（，a，b，c为常数）的函数称为二次函数。

注意点：

1、二次项系数不等于零；2、强调未知数最高次幂为2；3、先化简成一般式，再判断是否为二次函数。

练习：

1.下列各式中，y是的二次函数的是（）

A.B.C.D..

2.当函数为二次函数，则的值为，的取值范围为.

二、二次函数的图像与性质

【1】函数四要素

1、开口：

①，开口向上；，开口向下；②越大开口越小；③相等：

开口大小、形状都相同。

2、对称轴：

，是一条平行于轴的直线。

3、顶点坐标。

4、（用于判断二次函数与轴交点的个数）。

，抛物线与x轴有两个交点；，抛物线与x轴有一个交点，即顶点在x轴上；

，抛物线与x轴没有交点。

练习：

1.抛物线的开口方向是，顶点坐标是对称轴是；

2.若抛物线的顶点坐标为（1，4），且与的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。

若抛物线的顶点在轴的负半轴上，则＝；

3.（2013•烟台）已知二次函数，下列说法：

①其图象的开口向下；②其图象顶点坐标为（3，﹣1）；③其图象的对称轴为直线x=﹣3；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　）

　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个

4.抛物线的顶点在轴上，则＝；

【2】函数平移

方法一：

顶点式平移:

方法二：

一般式平移:

（1）沿轴平移:

向上（下）平移个单位：

变成（或）；

（2）沿x轴平移：

向左（右）平移个单位：

变成（或）

平移规律：

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

练习：

1.将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）

　　A．　　B．　　C．　　D．

2.若抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线，

则＝，＝；

【3】，，符号判断及相关代数式与0的大小比较

看开口方向：

向上向下越大，开口越小

对称轴在轴左侧同号，在右侧异号

看与轴交点：

交于上半轴，下半轴

与1比较

与-1比较

与x轴交点个数：

没交点，两交点，一个交点

令x=1，看纵坐标

令x=-1，看纵坐标

令x=2，看纵坐标

令x=-2，看纵坐标

令x=m，看纵坐标

练习：

1.二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限　D．第一、三、四象限

2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：

；方程的两根之和大于0；随的增大而增大；④，其中正确的个数（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5

题1题2题3

4.抛物线的图角如图，则下列结论：

①＞0；②；

③＞；④＜1.其中正确的结论是（    ）.

（A）①②  （B）②③  （C）②④  （D）③④

5.设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）

A．　　B．　　C．　　D．

6.已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（　　）

A.B.C.D.

7.设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（　　）

A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3

三、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：

（，，为常数，）；

2.顶点式：

（，，为常数，）；

*3.交点式：

（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

练习：

1.已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（-1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，-4），且经过点（2，-8），求该二次函数的解析式。

四、函数与方程

注意点：

二次函数的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解

练习：

1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是m。

2.已知方程（）的两个根为和，那么可知抛物线（A≠0）的对称轴为　。

3.已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）

A． B．且≠0C． D．且≠0

4.若一元二次方程有两个实数根，则抛物线与x轴（）

A．有两个交点 B．只有一个交点

C．至少有一个交点　　D．至多有一个交点

5.根据下列表格的对应值：

x

3.23

3.24

3.25

3.26

-0.02

0.03

0.06

0.09

判断方程一个解x的范围是（）

A．B．C．D．

6.已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）A．2　B．3　　C．4　　D．5

7.二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（　　）

　A．　B．3　　C．　　D．9

8．如下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为

A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.

题7题8

五、最值问题

（1）当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限伸展；

在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；

当时，y有最小值为.

（2）当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下无限伸展；

在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；

当时，y有最大值为.

练习

1.已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围是___________.

2.二次函数配方成的形式是________________.

3.二次函数的最小值是____________.

4.已知抛物线，根据下列条件，求的值

（1）顶点在x轴上，____.

（2）抛物线过点（-1，-1），=____.

（3）当时，函数有最小值，_____.（4）抛物线的最小值为-1,.

5.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________．

6.如图，点A、B的坐标分别是（1，4）和（4，4），一条抛物线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），它的顶点可在线段AB上运动，在运动过程中点C的横坐标最小值是-3，则点D的横坐标最大值是（）

A．-3B．1C．5D．8

7.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过_____________秒，四边形的面积最小．

题5题6题7

六、综合应用

已知，二次函数

（1）当时，求函数图象与轴的交点坐标

（2）命题“函数的图象一定与轴有两个交点”。

是否正确，若正确请说明，若不正确，请举反例说明。