有理数运算 因式分解知识点总结Word格式.docx

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的值为　　．

8．若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是　　．

9．已知|x|=4，|y|=2，且xy＜0，则x﹣y的值等于　　．

10．一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是　　元．

11．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处总人数为在乙处总人数的2倍，则应调到甲处　　人．

三．解答题（共8小题）

13．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：

b﹣c　　0，a+b　　0，c﹣a　　0．

（2）化简：

|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．

14．去括号，合并同类项

（1）﹣3（2s﹣5）+6s；

（2）3x﹣[5x﹣（

x﹣4）]；

（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+

ab）；

（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）

15．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，

c﹣b　　0，a+b　　0，a﹣c　　0．

|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|．

16．化简

（1）3（2x2﹣y2）﹣2（3y2﹣2x2）

（2）2（3x2y+5xy2）﹣9x2y﹣（6x2y+2xy2﹣12x2y）

17．世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．

18．某超市用6800元购进A、B两种计算器共120只，这两种计算器的进价、标价如表．

价格\类型

A型

B型

进价（元/只）

30

70

标价（元/只）

50

100

（1）这两种计算器各购进多少只？

（2）若A型计算器按标价的9折出售，B型计算器按标价的8折出售，那么这批计算器全部售出后，超市共获利多少元？

19．

（1）数学实验室：

若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即AB=|a﹣b|．

利用数轴回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是　　，

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　　．

③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|=　　．

④若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围　　．

（2）三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x=

，则ax3+bx2+cx﹣5的值是　　．

（3）定义一种对正整数n的“F运算”：

①当n为奇数时，结果为3n+5；

②当n为偶数时，结果为

（其中k是使

为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n=26，则：

若n=449，则第2016次“F运算”的结果是　　．

20．计算：

（1）﹣3﹣（﹣4）+2；

（2）（﹣6）÷

2×

（﹣

）；

（3）（﹣

﹣

）×

（﹣24）；

（4）﹣14﹣7÷

[2﹣（﹣3）2]．

薛富成期末前总结复习

参考答案与试题解析

1．（2016秋•马鞍山期中）下列说法不正确的是（　　）

【分析】根据正负数的定义，绝对值的性质、平方的性质即可判断．

【解答】解：

A、B、D均正确，绝对值等于它自身的数是所有非负数，所以C错误，

故选C．

【点评】本题考查了正负数的定义，绝对值的性质、平方的性质，熟练掌握性质是解答此题的关键．

2．（2009秋•和平区校级期中）设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（　　）

【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．

由题意得：

当x＜﹣1时，y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；

当﹣1≤x≤1时，y=﹣x+1+1+x=2；

当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；

故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；

故选D．

【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．

3．（2016•河北）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．对于以下结论：

【分析】根据有理数的加法法则判断两数的和、差及积的符号，用两个负数比较大小的方法判断．

由数轴有，0＜a＜3，b＜﹣3，

∴b﹣a＜0，

甲的说法正确，

∵0＜a＜3，b＜﹣3，

∴a+b＜0

乙的说法错误，

∴|a|＜|b|，

丙的说法正确，

∴

＜0，

丁的说法错误．

故选C

【点评】此题考查了绝对值意义，比较两个负数大小的方法，有理数的运算，解本题的关键是掌握有理数的运算．

4．（2016•大庆校级自主招生）如图所示，a，b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b﹣a|化简的结果为（　　）

【分析】由图知，﹣1＜a＜0，b＞1，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案．

由数轴得，﹣1＜a＜0，b＞1，

∴a+b＞0，b﹣a＞0，

∴|a|+|b|+|a+b|+|b﹣a|=﹣a+b+a+b+b﹣a=3b﹣a．

【点评】本题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．本题中要注意根据点离原点距离的大小关系确定绝对值的大小，离原点距离越远的数绝对值越大．

5．（2016•邵阳校级模拟）数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，且|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．若下列选项中，有一个表示A、B、C三点在数轴上的位置关系，则此选项为（　　）

C．

D．

【分析】分别由四个选项的数轴上判断出a，c，1的大小关系，然后化简，等式成立，故正确．

A，由数轴得，1＜a＜c，左边=|c﹣1|﹣|a﹣1|=c﹣1﹣a+1=c﹣a，右边=|a﹣c|=c﹣a，所以等式成立．故A正确；

B，由数轴得，1＜c＜a，左边=|c﹣1|﹣|a﹣1|=c﹣1﹣a+1=c﹣a，右边=|a﹣c|=a﹣c，所以等式不成立．故B错误；

C、由数轴得，c＜1＜a，左边=|c﹣1|﹣|a﹣1|=1﹣c﹣a+1=2﹣c﹣a，右边=|a﹣c|=a﹣c，所以等式不成立．故C错误；

D、由数轴得，a＜c＜1，左边=|c﹣1|﹣|a﹣1|=1﹣c﹣1+a=a﹣c，右边=|a﹣c|=c﹣a，所以等式不成立．故D错误；

故选A．

【点评】此题是绝对值题，主要考查绝对值的意义，分情况讨论是解本题的关键．

6．（2013•攀枝花模拟）现规定一种运算：

【分析】先根据新定义得到2×

3+2﹣3+m×

1+m﹣1=6，解得m=1，则不等式化为

＜1，然后通过去分母、移项可得到不等式的解集．

∵2※3+m※1=6，

∴2×

1+m﹣1=6，

∴m=1，

＜1，

去分母得3x+2＜2，

移项得3x＜0，

系数化为1得x＜0．

【点评】本题考查了解一元一次不等式：

先去分母和括号，再移项、合并，然后把未知数的系数化为1得到不等式的解集．也考查了阅读理解能力．

7．（2013•永州）已知

的值为　﹣1　．

【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．

∵

=0，

∴a、b异号，

∴ab＜0，

=

=﹣1．

故答案为：

﹣1．

【点评】本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键．

8．（2002•常州）若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是　x≤0　．

【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析．

①当x≥3时，原式可化为：

x+3=x﹣3，无解；

②当0＜x＜3时，原式可化为：

x+3=3﹣x，此时x=0；

③当x≤0时，原式可化为：

﹣x+3=3﹣x，等式恒成立．

综上所述，则x≤0．

【点评】此题主要是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断．

9．（2009•鹤岗模拟）已知|x|=4，|y|=2，且xy＜0，则x﹣y的值等于　6或﹣6　．

【分析】绝对值的性质：

一个正数的绝对值是它本身；

一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0．

有理数的乘法法则：

同号得正，异号得负．

∵|x|=4，|y|=2，

∴x=±

4，y=±

2．

又xy＜0，∴x=4，y=﹣2或x=﹣4，y=2．

当x=4，y=﹣2时，

x﹣y=4﹣（﹣2）=6，

当x=﹣4，y=2时，

x﹣y=﹣4﹣2=﹣6．

6或﹣6．

【点评】本题考查绝对值的性质：

互为相反数的绝对值相等．能够根据两个数的乘积的符号判断两个数的符号的关系．

10．（2016•龙东地区）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是　180　元．

【分析】设该件服装的成本价是x元．根据“利润=标价×

折扣﹣进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

设该件服装的成本价是x元，

依题意得：

300×

﹣x=60，

解得：

x=180．

∴该件服装的成本价是180元．

180．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程300×

﹣x=60．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．

11．（2016•道里区模拟）在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处总人数为在乙处总人数的2倍，则应调到甲处　17　人．

【分析】设调到甲处x人，则调到乙处20﹣x人，根据在甲处总人数为在乙处总人数的2倍可以列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

设调到甲处x人，则调到乙处20﹣x人，

根据已知得：

27+x=2×

（19+20﹣x），

x=17．

17．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据在甲处总人数为在乙处总人数的2倍列出关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，在解决该类型题目时，根据数量间的关系列对方程（或方程组）即可．

12．（2011•江西）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=　90　度．

【分析】根据对顶角相等得到∠1=∠3，∠2=∠4，而三角形尺为直尺，即可得到∠1+∠2=90°

．

如图，

∵∠1=∠3，∠2=∠4，

而∠3+∠4=90°

，

∴∠1+∠2=90°

90．

【点评】本题考查了对顶角的性质：

对顶角相等．

13．（2016秋•东台市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

b﹣c　＜　0，

a+b　＜　0，c﹣a　＞　0．

【分析】

（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；

（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．

（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，

所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；

＜，＜，＞；

（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|

=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）

=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a

=﹣2b．

【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．

14．（2013秋•滨湖区校级期末）去括号，合并同类项

（2）3x﹣[5x﹣（

（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）

（1）先去括号，再合并同类项即可；

（2）先去小括号，再去中括号，再合并同类项即可；

（3）先去括号，再合并同类项即可；

（4）先去括号，再合并同类项即可．

（1）﹣3（2s﹣5）+6s

=﹣6s+15+6s

=15；

x﹣4）]

=3x﹣[5x﹣

x+4]

=3x﹣5x+

x﹣4

=﹣

x﹣4；

ab）

=6a2﹣4ab﹣8a2﹣2ab

=﹣2a2﹣6ab；

=﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24

=﹣2x2+7xy﹣24．

【点评】此题考查了整式的运算，用到的知识点是去括号、合并同类项，在去括号时要注意符号的变化和去括号的顺序．

15．（2016秋•东台市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，

c﹣b　＞　0，a+b　＜　0，a﹣c　＜　0．

（1）根据数轴确定出a、b、c的正负情况解答即可；

（2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可．

（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，

c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0；

＞，＜，＜；

（2）原式=c﹣b+[﹣（a+b）]﹣[﹣（a﹣c）]

=c﹣b﹣a﹣b+a﹣c

【点评】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定出a、b、c的正负情况和绝对值的大小是解题的关键．

16．（2016秋•邹城市校级期中）化简

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．

（1）原式=6x2﹣3y2﹣6y2+4x2=10x2﹣9y2

（2）原式=6x2y+10xy2﹣9x2y﹣6x2y﹣2xy2+12x2y=3x2y+8xy2

【点评】本题考查整式的加减，属于基础题型．

17．（2016•海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．

【分析】设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元．根据“购书价格=《汉语成语大词典》的标价×

折率+《中华上下五千年》的标价×

折率”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元，

50%x+60%（150﹣x）=80，

x=100，

150﹣100=50（元）．

答：

《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x+60%（150﹣x）=80．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．

18．（2013秋•锡山区期末）某超市用6800元购进A、B两种计算器共120只，这两种计算器的进价、标价如表．

（1）设A种计算器购进x台，则购进B种计算机（120﹣x）台，根据总进价为6800元，列方程求解；

（2）用总售价﹣总进价即可求出获利．

（1）设A种计算器购进x台，则购进B种计算机（120﹣x）台，

30x+70（120﹣x）=6800，

x=40，

则120﹣x=80，

购进甲种计算器40只，购进乙种计算器80只；

（2）总获利为：

（50×

90%）×

40+（100×

80%）×

80﹣6800=1400，

这批计算器全部售出后，超市共获利1400元．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．

19．（2016秋•无锡校级月考）

（1）数学实验室：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是　3　，

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　|x+2|　．

③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|=　4　．

④若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围　x＜﹣3或x＞1　．

，则ax3+bx2+cx﹣5的值是　﹣5　．

若n=449，则第2016次“F运算”的结果是　1　．

（1）①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；

③根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；

④由于|x﹣1|+|x+3|＞4，可得有理数x的取值范围是﹣3的左边，1的右边；

（2）由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；

又三数的和为正，故a、b、c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，求x的值即可；

（3）由于n=449是奇数，所以第一次利用①进行计算，得到结果1352，此时是偶数，利用②进行计算，除以8，才能成为奇数，然后再利用①计算得到结果是512，接着利用②除以512才能成为奇数，结果为1，再利用①结果为8，以后结果就出现循环，利用这个规律即可求出结果．

（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3；

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|；

③∵﹣3＜x＜1，

∴|x﹣1|+|x+3|

=﹣x+1+x+3

=4；

④∵|x﹣1|+|x+3|＞4，

∴有理数x的取值范围x＜﹣3或x＞1；

（2）∵abc＜0，

∴a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数；

又∵a+b+c＞0，

∴a、b、c中只有一个是负数．

不妨设a＜0，b＞0，c＞0，

则ab＜0，ac＜0，bc＞0，

x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0，

当x=0时，

ax3+bx2+cx﹣5=0+0+0﹣5=﹣5；

（3）第一次：

3×

449+5=1352，

第二次：

，根据题意k=3时结果为169；

第三次：

169+5=512，

第四次：

因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；

第五次：

1×

3+5=8；

第六次：

，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．

因为2016是偶数，所以第2016次“F运算”结果是1．

3；

|x+2|；

4；

x＜﹣3或x＞1；

﹣5；

1．

【点评】此题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用．同时考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（2016秋•南京期中）计算：

（2）（﹣6）÷

（4）﹣14﹣7÷

（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；

（2）原式从左到右依次计算即可得到结果；

（3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；

（4）原式先计算乘方运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可得到结果．

（1）原式=﹣3+4+2=3；

（2）原式=6×

×

；

（3）原式=12﹣20+14=6；

（4）原式=﹣1﹣7÷

（﹣7）=﹣1+1=0．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．