有理数的知识归纳点有理数知识点总结.docx

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有理数的知识归纳点有理数知识点总结

有理数的知识归纳点有理数知识点总结

七年级代数知识点（上册）

第一章有理数

1.1正数和负数

一、概念

1、正数：

大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号）

2、负数：

在正数前面加上“—”（负号）的数

说明：

一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。

3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。

说明：

关于0的——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界

二、实际应用

在解决一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。

例如：

收入为正，支出为负，收支平衡为0

零上为正，零下为负，分界为0

向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0

加分为正，扣分为负，不加不扣为0

逆时针为正，顺时针为负

超标为正，低标为负，标准为0

地上为正，地下为负，地面基准为0

盈余为正，亏空为负，收支平衡为0

水位上升为正，水位下降为负，水平面为0

高于平均分为正，低于平均分为负

增加为正，减少为负，不增不减为0

海平面以上为正，以下为负，海平面记为0

三、易错易误点

1、-a一定是负数么？

答案：

不一定，需要分类分析

解析：

当a大于0时，-a就是负数；当a等于0时，-a为0；当a小于0时，-a是正数因此，a不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。

2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。

3、非正数：

0和负数

非负数：

0和正数

1.2有理数

一、概念

1、有理数：

正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。

2、无理数：

既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。

如无限不循环小数π=3.1415926…

它不能化成分数形式。

二、分类

1、按定义分：

有理数：

正数——正整数，0，负整数

分数——正分数、负分数

2、按性质符号分：

有理数：

正有理数——正整数、正分数

负有理数——负整数、负分数

综上，有理数共分为5类：

正整数、正分数、0、负整数、负分数。

*易错易混点（选择题常考）：

非负整数（自然数）：

正整数、0

非正正数：

负整数、0

非负有理数：

正整数、0、正分数

非正有理数：

负整数、0、负分数

关于文字概念的判断题（难点，重点）

一个有理数不是整数就是分数——对！

（从有理数概念可知）

正整数和负整数统称为整数——错！

（还有0）

0不是有理数——错！

（从性质符号分，有理数包括整数和分数，而0是整数）

正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数——错！

（忽略了0）

三、数轴

1、定义：

数轴是一条可以向两端无限延伸的直线

规定三要素——原点，正方向，长度

注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。

2、画法：

（必须用直尺！

）

（1）先画一条直线

（2）在直线上任取一点，作为原点，记为0

（3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。

3、与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间”；

但数轴上的点不都来表示有理数。

四、相反数（重点）

1、概念

（1）几何定义：

在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

（2）代数定义：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

例如，2和-2；0的相反数是0。

2、表示以及多重符号的简化

（1）a的相反数是-a，这里a是任意有理数（即正数、负数、0）

当a大于0时，-a小于0（正数的相反数是负数）

当a小于0时，-a大于0（负数的相反数是正数）

当a等于0时，-a等于0（0的相反数是0）

（2）多重符号化简方法：

正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉

正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—”

0前无论有多少个“—”，化简后仍是0

五、绝对值

1、概念

（1）几何定义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。

（2）代数定义：

正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

2、做题时需要慎重考虑0的情况。

六、有理数大小比较

1、具体方法：

将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0＜正数。

2、两个负数，绝对值大的反而小。

3两数大小：

同号——同正，绝对值大的数大

同负，绝对值大的反而小

异号——正数大于负数

一数为零——正数＞0，负数＜0

1.3有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

一、法则

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2、绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3、互为相反数的两个数相加得0；

4、一个数同0相加，仍得这个数。

二、运算律

1、加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a

2、加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

（a+b）+c=（a+c）+b

1.3.2有理数的减法

法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数。

a-b=a+（-b）

注意两变：

减法变加法，减数变为它的相反数

1.4有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

一、法则

1、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。

2、任何数同0相乘，都得0。

二、推广

1、几个不是0的数相乘，负因数的个数的偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

2、几个数相乘，有一个因数为0，则乘积为0。

三、运算律

1、乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

ab=ba

2、乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

（ab）c=（ac）b

3、乘法分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a（b+c）=ab+ac

四、倒数

1、乘积是1的两个数互为倒数。

当a≠0时，与1/a互为倒数；当m≠0，n≠0时n/m与m/n互为倒数

2、注意：

0没有倒数，做题时应当注意分母不为0

3、-1的倒数是-1；0~-1之间的数的倒数比本身小；小于-1的数的倒数比本身大。

1.4.2有理数的除法

一、法则

1、除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0，0不能做除数。

二、化简

1、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。

2、0除以任何一个不等于0的数，都得0。

三、混合运算

1、乘除混合运算

（1）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分，则将这个带分数写成证书部分与分数部分的和，再利用分配律运算

（2）运算时应该从左至右，并将除法化成乘法再进行运算。

（3）除法化乘法，算式化连乘，小数化分数，带分数化假分数，负因数的个数确定符号的

正负。

2、加减、乘除混合运算

遵循原则：

先乘除，后加减；按小括号、中括号、大括号依次计算；灵活运用分配律。

1.5有理数的乘方

1.5.1乘方

一、乘方的意义

1、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，

乘方的结果叫做幂。

在中，a叫做底数，n叫做指数。

2、一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。

3、因为就是n个a相乘，所以可以利用乘法运算计算乘方运算。

二、乘方运算的性质

1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数，

2、正数的任何次幂都是正数，

3、0的任何正整数次幂都是0。

三、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

1.5.2科学记数法。

一、概念

把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，即1≤｜a｜＜10，n是正整数），这种计数方法叫做科学记数法。

1.5.3近似数

一、概念

四舍五入的近似数，从左边第一个非0的数字起，到精确到的数位止，所有的数都叫做这个数的有效数字。

二、说明

一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。

近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。

内容仅供参考