有理数知识总结有用.docx

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有理数知识总结有用

冀教版有理数复习

一、学习目标：

理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；

理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；

通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；

通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。

二、重点难点：

有理数的相关概念，如：

绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；

有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。

三、学习策略：

先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系统化和应用的灵活性。

四、知识框架：

5、知识梳理

1、知识点一：

有理数的概念

（一）有理数：

（1）整数与分数统称__________________

按定义分类：

按符号分类：

注：

①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________.

（2）认识正数与负数：

①正数：

像1，，

，2008等大于_______________的数，叫做_______________.

②负数：

像-1，，-

，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：

_________都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________.

（3）用正数、负数表示相反意义的量：

如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：

若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+

表示零上

，-

则表示____________.

（4）有理数“0”的作用：

作用

举例

表示数的性质

0是自然数、是有理数、是整数

表示没有

3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示

表示某种状态

表示冰点

表示正数与负数的界点

0非正非负，是一个中性数

（二）数轴

（1）概念：

规定了______________、______________和______________的直线

注：

①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可.

②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.

（2）数轴的画法及常见错误分析

①画一条水平的______________；

②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________：

③确定向右的方向为______________，用______________表示；

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.

⑤数轴画法的常见错误举例：

错例

原因

不统一

没有

（3）有理数与数轴的关系

一切有理数都可以用数轴上的表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.

注意：

数轴上的点不都是有理数，如

.

（三）相反数

（1）相反数：

只有的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是；若

，则

，反之亦然.

（2）相反数的性质：

①代数意义：

只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．相反数必须出现，不能单独存在．例如+5和互为相反数，或者说+5是的相反数，－5是的相反数，而单独的一个数不能说是．另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然不同，但它们不是相反数．

②几何意义：

一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的________相等．这两点是关于_____对称的．

③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数a的相反数是；这里以a表示任意一个数，可以为、、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是．

注意：

当a＞0时，－a0（正数的相反数是数）；

当a=0时，－aO（0的相反数是）；

当a＜0时，

aO（负数的相反数是）．

④互为相反数的两个数的和为，即若a与b互为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为．

⑤多重符号的化简：

一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部；一个正数前面有

个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的.

（四）绝对值

（1）绝对值的代数意义及几何意义

①绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是.

②绝对值的几何意义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的与_______的距离.数a的绝对值记作.

注意：

①取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号.

②绝对值具有性，取绝对值的结果总是.

③任何一个有理数都是由部分组成：

和它的，如：

－5，符号是，绝对值是.

（2）字母a的绝对值的分类

或

或

（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小

规则：

两个负数，绝对值大的反而.

步骤：

①计算两个负数的.

②比较这两个的大小.

③写出正确的判断结果.

④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为.

例如：

若

2、知识点二：

有理数运算

（一）有理数比较大小

（1）数轴上的数，右边的数总左边的数．

（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；

（3）两个负数，绝对值大的反而；

（4）两数比较大小，可按符号情况分类：

（二）有理数的加减法

（1）有理数加法法则

①同号两数相加，取相同的，并把绝对值.

②绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的减去较小的.

③一个数同0相加，仍得.

（2）有理数加法的运算步骤

法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：

①确定和的；

②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的.

（3）有理数加法的运算律

①两个加数相加，交换加数的位置，不变.即a+b=b+a（加法律）

②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变.即（a+b）+c=a+（b+c）（加法律）

（4）有理数加法的运算技巧

①分数与小数均有时，应先化为形式.

②带分数可分为与两部分参与运算.

③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得

④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合.

⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

⑥相同的数可以先结合在一起.

（5）有理数减法法则

减去一个数，等于，即a-b=a+（）

（6）有理数减法的运算步骤

①把减号变为加号（改变运算符号）

②把减数变为它的相反数（改变性质符号）

③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

（7）有理数加减混合运算的步骤

①把算式中的减法转化为加法；

②省略加号与括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：

根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：

（+3）+（）+（-9）+（+5）+（-11）=+5-11，它的含义是正3，负，负9，正5，负11的和。

（三）有理数的乘除法

（1）有理数乘法法则

两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.任何数同相乘，都得0.

（2）有理数乘法的运算律

①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab=（乘法结合律）

②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.

即abc=（乘法结合律）

③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即a（b+c）=

（乘法分配律）

（3）有理数乘法法则的推广

①几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；

的个数是奇数时，积为.

②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.

在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

（4）有理数除法法则：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的。

即a÷b=a·（b≠0）

两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，除以任何一个不等于0的数，都得0.

（5）倒数及有理数除法

①乘积为的两个数互为倒数。

倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；

没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为1的分数）。

注意：

互为倒数，则

；

互为负倒数，则

。

反之亦然.

②有理数除法的运算步骤：

首先确定商的，然后再求出商的绝对值.

（四）有理数的乘方

（1）概念：

求

个相同因数的积的运算，叫做，的结果叫做，在

中，

叫做，

叫做.

（2）含义：

中，

为底数，

为指数，即表示

的个数，

表示有相乘.例如：

表示3×3×3×3×3，（-3）

表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.如（-2）

表示相乘，而-2

则表示7个2相乘的积的。

当n为奇数时，（-a）

=；而当n为偶数时，（-a）

=.

注意：

负数的奇次幂是，负数的幂是正数。

正数的任何次幂都是，0的任何次幂都是，任何不为0的数的0次幂都是.

（3）“奇负偶正”口诀的应用

口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：

①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：

－[－（－3）]=，－[+（－3）]=.

②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：

（－3）×（－2）×（－6）=，而（－3）×（－2）×6=.

③有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：

（－3）

=，（－3）

=.

（4）有理数混合运算的运算顺序：

①先乘方，再乘除，最后加减；

②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算

级运算，然后级，最后级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算___括号里的，再算括号里的，最后算括号里的.以上运算顺序可以简记为：

“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.

6、经典例题

1、类型一：

正数与负数的意义

例1．一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km，走，走0km的意义各是什么

思路点拨：

正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示运动.0表示原地不动，0表示正数与的分界，在实际问题中也有确定的意义.

解析：

总结：

举一反三：

【变式1】博然的父母6月份共收入4800元，可以将这笔收入记作+4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢

解析：

☆【变式2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：

＋10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分

解析：

2、类型二：

有理数的分类

例2．把下列各数填入相应的括号内：

+6，，

，-1，，0，97，

.

整数集合：

｛…｝；

非负集合：

｛…｝；

分数集合：

｛…｝；

负数集合：

｛…｝.

思路点拨：

根据有理数的分类标准，将所给数进行分类．填整数集合时，不能漏掉“”；填集合时，最后要加“…”，“非负数”不要仅理解为正数，既不是正数，也不是负数，属于“非负”范围内的数；负数包括和.

解析：

举一反三：

【变式】

（1）最小的正整数是：

最大的负整数是；最小的整数是；最小的正数是；最大的负数是；最小的有理数；绝对值最小的有理数是。

（2）一个数的相反数等于它本身，这个数是；一个数的绝对值等于它本身，这个数是；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是；一个数的倒数等于它本身，这个数是；一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的平方等于它的绝对值，这个数是；一个数的平方等于它的相反数，这个数是；一个数的立方等于它本身，这个数是。

解析：

3、类型三：

多重符号的化简

例3、化简下列各数：

思路点拨：

多重符号的化简是由“”的个数来定，若“-”个数是个时，化简结果为正；若“-”个数是奇数个时，化简结果为。

解析：

举一反三：

【变式1】

【变式2】说出下列各式的意义，然后化简：

（1）-[-（-3）]

（2）+{-[-（+5）]}；

（3）-{-{-…-（-6）}}（共n个负号）．

4、类型四：

有理数的大小比较

例4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；

思路点拨：

首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“<”连接起来.

解析：

举一反三：

【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小用＞、＜号连接.

（1），-60

（2）

思路点拨：

比较负数的大小，先求出各数的，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而，比较分数大小，一般要化成同的分数来比较.

解析

5、类型五：

绝对值的概念

例5．若

+|2b+5|=0,计算2a-b的值.

思路点拨：

从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b值。

解析：

举一反三：

【变式1】若

，化简：

解析：

【变式2】代数式

的最小值为。

解析：

【变式3】a，b在数轴上的位置如图

（1）化简：

。

（2）比较大小：

；

。

解析：

5、类型六：

相反数，倒数的概念

☆例6．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，

且

，那么

的值为。

思路点拨：

根据相反数与倒数的意义可得：

互为相反数的两数的和为，

互为倒数的两数之积为.

举一反三：

☆☆【变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，

，b的形式，且x的绝对值为2，

求

的值

解析：

7、类型七：

有理数的混合运算

例7、计算

思路点拨：

本题有五种运算，．因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算________，接着算_________法，再算_______法．注意除法运算，要把除法转化为__________．

解：

总结升华：

举一反三：

【变式】计算下列各式的值：

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

解析：

8、类型八：

规律探索

例8．观察下列式子：

请你将猜想到的规律用自然数n表示出来

思路点拨：

发现已给出的几个式子的规律：

等号左边是，右边是.本题考查的知识点是有理数的乘方运算能力及归纳的思想方法。

解：

举一反三：

【变式1】观察下列等式：

9-1=8

16-4=12

25-9=16

36-16=20

……

这些等式反映自然数间的某种规律，设

表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为．

解析：

【变式2】

（1）在一列数：

2，

，

，

，

…中，第n个数（n为正整数）是。

（2）观察一列有规律的数2，4，8，16，32，…，它的第2009个数是（）

A．

B．

C．

D．

【变式3】观察下列各式：

……

猜想：

。

【变式4】小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：

输入

1

2

3

4

5

…

输出

…

那么，当输入数据是8时，输出的数据是；当输入数据是n（n是正整数）时，输出的数据是。

【变式5】观察：

，

，

将以上三个等式两边分别相加得：

。

①猜想并写出：

。

②直接写出下列各式的计算结果：

。

。

③探究计算：

。