二元一次方程简单的线性规划文档格式.docx
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第二类：
x-y=6上的点；
x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：
在直线x-y=6右下方的区域内的点.
设点P（x,y1）是直线x-y=6上的点，选取点
A（x,y2），使它的坐标满足不等式
xy
6，
请同学们完成以下的表格，
横坐标
-3
-2
-1
1
3
点P的纵
坐标y1
点A的纵
坐标y2
并思考：
当点A与点根据此说说，直线
P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
_______________
x-y=6左上方的坐标与不等式xy6有什么关系？
______________
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式xy6的解为坐标的点都在直线
_____；
反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式xy6.
因此，在平面直角坐标系中，不等式xy6表示直线
方的平面区域；
如图:
x-y=6的
x-y=6左上
类似的：
x-y>
6
表示
直线
x-y=6
右下方的区域；
如图
:
直线叫做这两个区域的
边界
结论：
1.二元一次不等式
Ax
By
c
0在平面直角坐标系中表示直线
0某一侧所有
点组成的平面区域
2.不等式中仅
.（虚线表示区域不包括边界直线）或不包括；
但含“”“
”包括
；
同侧同号，异侧异号
※典型例题
例1画出不等式x4y4表示的平面区域.
分析：
先画___________（用线表示），再取_______判断区域，即可画出．
归纳：
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“
直线定界，特殊点定域
”的方法.特殊地，
当C0时，常把原点作为此特殊点.
变式：
画出不等式x2y4
0表示的平面区域.
例2用平面区域表示不等式组
y
3x12
的解集
2y
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式
所表示的平面区域的公共部分.
变式1：
画出不等式（x2y1）（xy4）0表示的平面区域.
变式2：
由直线x
y20，x2y1
0和2x
y10围成的三角形区域（包括边界）
用不等式可表示为
※动手试试
练1.不等式x2y
60表示的区域在直线
x2y60的
__
练2.画出不等式组
3y
三、总结提升
※学习小结
由于对在直线AxBy
C0同一侧的所有点（x,y），把它的坐标（x,y）代入
AxBy
C
（x,y）
，
，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点
00
从Ax0
By0C的正负即可判断
AxByC0表示直线哪一侧的平面区域
.（特殊地，当C
≠0时，常把原点作为此特殊点）
※知识拓展
含绝对值不等式表示的平面区域的作法：
（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式．
（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号．
（3）采用对称性可避免绝对值的讨论．
（4）在方程f（xy）0或不等式f（xy）0中，若将xy换成（x）（y），方程或不等式不变，
则这个方程或不等式所表示的图形就关于y（x）轴对称．
学习评价
※自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差
※当堂检测
（时量：
5分钟满分：
10分）计分：
1.
不等式x
2y6
0表示的区域在直线
2y60的（
）.
A．右上方
B．右下方C．左上方
D．左下方
2.
不等式3x
2y6
0表示的区域是（
3.不等式组
0表示的平面区域是（
4.
已知点（3,
1）和（4,
6）在直线
3x2ya0的两侧，则
的取值范围是
5.
画出
表示的平面区域为：
课后作业
x3
1.用平面区域表示不等式组2yx的解集.
3x2y6
xy60
2.求不等式组xy0表示平面区域的面积.
平面区域
（2）
1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.
画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.
2x
3y
12
画出不等式组2x
6所示平面区域.
例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
A规格
B规格
C规格
钢板类型
第一种钢板2
第二种钢板1
今需要三种规格的成品分别为
11
23
12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求
例2一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；
生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸
盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
（x
y5）（x
y）
练
不等式组
所表示的平面区域是什么图形？
0x
练2.某人准备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段
班级学
配备教
硬件建
教师年
生人数
师数
设（万元）
薪（万元）
初中
45
26/班
2/人
高中
40
54/班
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.
根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数
反复的读题，读懂已知条件和问
题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意
然后根据题中的已知条件，找出约
束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化
求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，
它为线性规划中求最优整数解作
铺垫.常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；
另一种是先确定区域内点的横坐标
的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定
的所有整数值，即先固定x，再用x制约y.
※当堂检测（时量：
5
分钟满分：
不在3x2y
表示的平面区域内的点是（
A．（0，0）
B．（1，1）
C．（0，2）
Ｄ．（2，0）
5
0表示的平面区域是一个（
A．三角形
Ｂ．直角梯形
Ｃ．梯形Ｄ．矩形
3.
1表示的区域为Ｄ，点P1（0,
2），点P2（0,0），则（
PD,PD
A．1
B．1
C．1
D．12
0,x
2y10
和2xy1
0的平围成的三角形区域
（不包括边界）用
不等式可表示为
8
表示的平面区域内的整点坐标是
1.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三
道工序.桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；
桌子B需要5min打磨，12min着
色，9min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作
450min，着色每天至多
480min，
请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域
2.某服装制造商现有10m2的棉布料，10m2的羊毛料，6m2的丝绸料.做一条裤子需要棉
布料1m2，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料，一条裙子需要棉布料1m2，1m2的羊毛料，2
需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形
3.3.2简单的线性规划问题
（1）
①巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
②能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.
阅读课本Ｐ８７至Ｐ８８的探究
找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用
4个A配件耗时
1h，每生产一件乙产品使用
和12个B配件，按每天
4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得
8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
16个
A配件
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
注意：
在平面区域内的必须是整数点．
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
（5）获得结果：
新知：
线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量
线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，
问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
x、y的解析式，叫
统称为线性规划
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
例1在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生
产才能获得最大利润？
yx
练1.求z2xy的最大值，其中x、y满足约束条件xy1
y1
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
寻找整点最优解的方法：
1.平移找解法：
先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点
解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限
区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.
2.调整优值法：
先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.
3.由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（
A.很好B.较好
5分钟满分：
10分）计分：
1.目标函数
z
3x
，将其看成直线方程时，
z的意义是（
A．该直线的横截距
B．该直线的纵截距
D．该直线的纵截距的两倍的相反数
2.已知x、y满足约束条件x
，则
2x4y的最小值为（
A．6
B．6
C．10
D．10
在如图所示的可行域内，目标函数
zxay取得最小值的最优解有无数个，则
a的一个
可能值是（
C（4，2）
A（1，1）
B（5，1）
O
A.
B.3
C.1
D.1
4.有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函
数为.
5.已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围
是.
1.在ABC中，A（3，1），B（1，1），C（1，3），写出ABC区域所表示的二元一次不等式组.
5x3y15
2.求z3x5y的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件yx1.
x5y3
3.3.2简单的线性规划问题
（2）
1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；
2.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
4y
已知变量
x,y
满足约束条件
3x
5y
25，设z
2xy，取点（，）可求得
32
取点（5，2）可求得zmax
12，取点（1，1）可求得zmin
取点（0，0）可求得z0
，取点（3，2）叫做_________
点（0，0）叫做_____________，点（5，2）和点（1，1）__________________
阅读课本Ｐ
８8至Ｐ91
线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，
一是在人力、物力、资金等资源一
定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，
能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
例1营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供
0.075kg的碳水化合物，
0.06kg的
蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；
而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21
元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物
B多少
kg？
例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
第一种钢板21
第二种钢板12
今需要三种规格的成品分别为12块、15
C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需
A、B、
第一种钢板为1m2，第二种为2m2，各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的成品且所用钢板面积最小？
例3一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产
盐18t；
生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐
盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.若生
生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元.
能够产生最大的利润？
1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸
1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸
1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；
那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，
练1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元.甲、乙产品
都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h、
2h，加工1件乙和设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为
400h和500h.如何安排生产可使收入最大？
练2.某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周
（按40个工时
计算）生产空调器、彩电、冰箱共
120台，且冰箱至少生20台.已知生产这些家电产品每台
所需工时和每台产值如下表
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
4
产值/千元
问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台，
才能使产值最高？
最高产值是多少？
（以千元
为单位）
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类
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