三角函数的诱导公式教案Word文档格式.docx
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（
到2π）范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.
新知探究
提出问题
由公式一把任意角α转化为［0°
360°
）内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?
活动:
在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:
0°
到90°
的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?
90°
的角β能否与锐角α相联系?
通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:
若能把求［90°
）内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.
图1
讨论结果:
通过分析,归纳得出:
如图1.
β=
①锐角α的终边与180°
+α角的终边位置关系如何?
②它们与单位圆的交点的位置关系如何?
③任意角α与180°
+α呢?
分α为锐角和任意角作图分析:
如图2.
图2
引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.
无论α为锐角还是任意角,180°
+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°
+α为研究对象.
利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P（x,y）和P′（-x,-y）.
指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:
sin（180°
+α）=-sinα,cos（180°
+α）=-cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式:
sin（π+α）=-sinα,cos（π+α）=-cosα,tan（π+α）=tanα.
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.
讨论结果:
+α角的终边互为反向延长线.
②它们与单位圆的交点关于原点对称.
③任意角α与180°
+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.
①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?
②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:
让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:
任意角α和-α的终边的位置关系;
它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:
sin（-α）=-sinα,cos（-α）=cosα,tan（-α）=-tanα.
教师点拨学生注意:
无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:
可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.
①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.
②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.
①下一步的研究对象是什么?
②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:
任意角α和π-α的终边的位置关系;
它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:
sin（π-α）=sinα,cos（π-α）=-cosα,tan（π-α）=-tanα.
强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.
引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:
可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.
让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.
我们可以用下面一段话来概括公式一—四:
α+k·
2π（k∈Z）,-α,π±
α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步简记为:
“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.
①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;
②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.
示例应用
例1利用公式求下列三角函数值:
（1）cos225°
;
（2）sin
（3）sin（
）;
（4）cos（-2040°
）.
这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.
解：
=cos（180°
+45°
）=-cos45°
=
=sin（4π
）=-sin
=-sin（5π+
）
=-（-sin
）=
）=cos2040°
=cos（6×
360°
-120°
=cos120°
-60°
=-cos60°
.
点评:
利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:
上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.
变式训练
利用公式求下列三角函数值:
（1）cos（-510°
15′）;
（2）sin（
π）.
解:
15′）=cos510°
15′
=cos（360°
+150°
15′）
=cos150°
15′=cos（180°
-29°
45′）
=-cos29°
45′=-0.8682;
π）=sin（
-3×
2π）=sin
例22007全国高考,1
cos330°
等于（）
A.
B.
C.
D.
答案:
C
化简:
例3化简cos315°
+sin（-30°
）+sin225°
+cos480°
这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.
cos315°
-45°
）-sin30°
+sin（180°
）+cos（360°
+120°
=cos（-45°
-sin45°
+cos120°
=cos45°
+cos（180°
-cos60°
=-1.
利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.
求证:
分析:
利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.
证明:
左边=
=tanθ=右边.
所以原式成立.
规律总结:
证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.
知能训练
课本本节练习1—3.
解答:
1.
（1）-cos
（2）-sin1;
（3）-sin
（4）cos70°
6′.
点评：
利用诱导公式转化为锐角三角函数.
2.
（1）
（2）
（3）0.6428;
（4）
先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.
3.
（1）-sin2αcosα;
（2）sin4α.
先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.
课堂小结
本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.
作业
课本习题1.3A组2、3、4.
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