88、球的体积、表面积及球面距离.doc
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第87课时球的表面积、体积及球面距离
【教学目标】
1．认识球的基本特征，会用球的表面积和体积公式进行有关的度量计算．
2．知道球面距离和经度、纬度等概念，会计算同经度或同纬度情况下两点间的球面距离．
3．类比于圆的研究，对球及有关截面的性质进行探究．
【教学重点】
球的表面积和体积的计算．
【教学难点】
球的截面的性质，球面距离．
【教学过程】
一．知识整理
1．球的概念：
将圆心为的半圆（及其内部）绕其直径所在直线旋转一周所形成的几何体叫做球．半圆的圆弧旋转形成的曲面叫做球面，点叫做球心，原来半圆的半径和直径分别称为球的半径和直径．
2．球的截面：
一个平面截球，平面与球面的交线是一个圆，当平面经过球心时，这个圆叫做球的大圆，当平面不过球心时，这个圆叫做球的小圆．
3．球的度量计算：
若球的半径为，则球面面积，球的体积．
4．球面距离：
球面上两点间的球面距离是指经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．
二．例题解析
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的体积，填空题，易，运算
【题目】
若圆锥、圆柱的底面直径高都等于球的直径，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，球的体积为，则_______________．
【解答】
解：
设球的半径为，则，，，所以．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的表面积和体积，填空题，中，运算
【题目】
A
B
C
O1
O
已知过球面上三点、、三点的截面与球心的距离等于球半径的一半，且，求该球的球面面积和体积．
【解答】
解：
如图，设过、、三点的小圆圆心是，则，
且平面，因为，所以是正三角形
的中心，故，设球半径为，则，
所以，解得，因此，
球的体积．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，圆锥和球的表面积和体积，解答题，中，运算
【题目】
如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且．将阴影部分（两个弓形）以直线为轴旋转一周形成一个几何体，求这个几何体的表面积和体积．
C
B
A
O
【解答】
解析：
这个几何体由一个球中间去掉两个圆锥全的剩余部分，其表面
积为由线段、旋转形成的两个圆锥侧面面积与半圆旋转形成
的球面面积之和，体积为球的体积减去两个圆锥的体积
作，则
．
所以
．
．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球面距离，解答题，中，运算
【题目】
在半纬圈上有、两地，且分别在东经和东经处．若地球半径为，求、两地的球面距离．
【解答】
O
AO
BAO
O1
NAO
SNAO
解：
如图，设北纬圈的圆心为，则，
所以，
又，所以，
因为，所以△是等边三角形，
所以，故、两点的球面距离为．
三．课堂反馈
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，易，逻辑思维
【题目】
与球的一条直线垂直的大圆有_______个；过球面上一点的大圆有________个；过球面上不同的两点、（线段不是球的直径）的大圆有___________个．
【解答】
答案：
；无数；．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，易，运算
【题目】
已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，满足的等量关系是____________________．
【解答】
答案：
．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球面距离，选择题，中，运算
【题目】
如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，,
球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是
A.B.
C.D.2
【解答】
答案：
B
四．课堂小结
1．球的表面积与体积如何计算？
如何区分球的大圆与小圆？
2．解决与球的截面有关的问题，可作球的截面大圆，类比圆的性质，在大圆中把空间问题转化为平面问题．
五．课后作业
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，易，运算
【题目】
球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的________倍．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，易，运算
【题目】
已知是球的直径，，、是上两点，平面、分别过点、，且垂直于，、截球面得圆和圆，若圆和的半径分别为和，则的长为_________________．
【解答】
答案：
或．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，易，运算
【题目】
如果把地球看作一个球体，则地球上北纬的纬线长和赤道长的比值为___________．
【解答】
答案：
．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，选择题，中，运算
【题目】
已知在半径为的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为（）
A．B．C．D．
【解答】
答案：
B
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的体积，选择题，中，运算
【题目】
把一个半径为的实心铁球熔化后铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之经为，则其中较小的铁球的半径为（）
（A）（B）（C）（D）
【解答】
答案：
B．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球面距离，选择题，中，运算
【题目】
在北纬圈上有、两地，它们的纬度圈上的劣弧长等于（为地球半径），则、两地的球面距离等于（）
（A）（B）（C）（D）
【解答】
答案：
C．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质和表面积，解答题，中，分析问题解决问题
【题目】
如图，直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若，，求此球的表面积．
C1
B1
A1
B
C
A
【解答】
A
B
C
A1
B1
C1
O
O1
解：
由在△中，因为，，
由余弦定理，得．
设△的外接圆半径为，由正弦定理得，
故．设△的外接圆圆心为，球心为，连结，，，
在△中，，，故，．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，解答题，难，分析问题解决问题
【题目】
M
如图，是球的半径，是的中点，过且与成角的平面截球的表面得到圆．若圆的面积，求球的半径．
【解答】
C
O
M
P
Q
A
解：
过、、三点作球的截面，得到球的一个大圆．
连结，则，．
设球的半径为，则，
因为圆的面积为，故圆的半径为，
所以，解得．
【题目资源】
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的体积，填空题，易，运算
【题目】
个球的半径之比为，那么，最大球的体积是另外两个球体积和的________倍．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的体积，填空题，易，运算
【题目】
把半径分别为，，的三个铁球，熔化后铸成一个大球，则大球半径为_________．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的表面积，选择题，易，运算
【题目】
已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（）
A．B．C．D．
【解答】
答案：
A
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的体积，填空题，易，运算
【题目】
4．若体积为的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为____（结果保留）．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，易，运算
【题目】
棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，E、F分别是棱、的中点，则直线EF被球截得的线段长是__________.
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的体积，填空题，易，分析问题解决问题
【题目】
圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径
与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的
半径是___________．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，易，运算
【题目】
一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为，则球的表面积为_________．
【解答】
答案：
8π
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，易，运算
【题目】
若两球O1、O2的表面积之比为，则它们的半径之比=_____________．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的体积，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】
由曲线，，，围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，，的点组成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为，试写出与的一个关系式．
【解答】
答案：
=
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】
一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是.
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，选择题，中，分析问题解决问题
【题目】
已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆，若该球面半径为，则圆的面积为（）
A．B．C．D．
【解答】
答案：
D
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，选择题，中，逻辑思维
【题目】
已知球半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得到两个圆，若两圆公共弦长为，则两圆圆心的距离为（）
A．B．C．D．
【解答】
答案：
C
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，中，运算
【题目】
已知球半径为，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心距______________．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，中，运算
【题目】
球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆周长为，则球的半径等于__________________．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的性质，填空题，中，运算
【题目】
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为___________________．
【解答】
答案：
．
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的表面积，填空题，中，运算
【题目】
已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．
【解答】
答案：
【属性】高三，空间图形与简单几何体，球的体积，填空题，中，运算
【题目】
已知三个球的半径，，满足，则它们的体积，，满足的等量关系是_____________________
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