完整版线性代数复习计算或应用题.docx
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完整版线性代数复习计算或应用题
一
21.设
线性无关，证明
，
，
也线性无关。
22.计算行列式
。
23.利用逆矩阵解矩阵方程
。
24.已知
，求a的值，使得
2。
25.求向量组
，
，
，
的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
26.求矩阵A=
的特征值与特征向量。
27.讨论当取何值时，齐次线性方程组
有非零解，并在有非零解时求其通解。
参考答案：
21.如果
，
，
于是
，
由
线性无关知
此方程组只有零解
，因此
线性无关。
22.
=
=
=
=-
=-3
23.
故
24.
当a=0时，
2。
25.记
，
向量组的秩
．所以
是向量组的一个极大线性无关组，且
=
+
，
=
－
。
26.由特征方程
=0
得A的特征值
。
对于特征值
，解方程组
，
求得一个基础解系
，故A的属于
的全部特征向量为
，
为任意非零数。
对于特征值
，解方程组
，即
，
求得一个基础解系
，故A的属于
的全部特征向量为
，
为任意非零
数。
27.对增广矩阵作初等行变换得
当3时r（A）23方程组有非零解。
此时对应方程组为
，基础解系为
=（111）T，所求通解为
，k为任意常数。
二
21.设12为n阶方阵A的两个互不相等的特征值与之对应的特征向量分别为X1X2证明X1X2不是矩阵A的特征向量。
22.设函数
求方程f（x）=0的根。
23.解矩阵方程
。
24.若向量组
1（111）T
2（123）T
3（13t）T线性相关求
（1）t的值；
（2）将
3表示为
1和
2的线性组合。
25.求方程组
的一个基础解系和通解。
26.已知二次型f=2x1x2+2x2x3+2x3x1.
（1）求出二次型f的矩阵A的特征值;
（2）写出二次型f的标准形。
27.当取何值时方程组
有唯一解，并求解。
参考答案:
21.假设X1X2是矩阵A的属于特征向量，即A（X1X2）（X1X2）
因为AX1=1X1，AX22X2，
所以A（X1X2）AX1AX21X12X2，
消减（-1）X1（-2）X2=O
因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以X1，X2线性无关，
得-1=-2=0既=1=2，矛盾。
22.
，
得方程f（x）=0的根为x=±1,x=±2。
23.因为
所以
=
24.
（1）记
，因为
因为向量组
线性相关充分必要条件是
，所以当t5时向量组
线性相关）
（2）由x1
1x2
2
3因为增广矩阵
=
得方程组的解为x11x22从而
3
12
2。
25.
方程组的一个基础解系为X1（-7/21/21）T
方程组的通解XkX1（k为任意常数）。
26.
（1）二次型f的矩阵为
因为
所以A的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=2。
（2）二次型f化为标准形为
27.对增广矩阵进行初等行变换得
当3或1时r（Ab）r（A）3方程组有唯一解；
当3时，解为
；当1时，解为
。
三
21.若Ak=O（k是正整数）,求证:
（E-A）-1=E+A+A2+++++Ak-1。
22.计算行列式
。
23.
。
24.已知（123）
设AT求A及An
25.求向量组
，
，
，
的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
26.求解线性方程组
的通解。
27.判断矩阵
是否可对角化？
若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。
参考答案:
21.由Ak=O,得E-Ak=E-O=E,
而E-Ak=（E-A）（E+A+A2+++++Ak-1）,
所以（E-A）（E+A+A2+++++Ak-1）=E,
因此（E-A）可逆,且（E-A）-1=E+A+A2+++++Ak-1
22.
=
=
=
=-
23.
=
=
24.T3（T是个数）
An（T）（T）（T）T（T）（T）（T）T（T）n1
25.记
，
=C，
所以向量组的秩
；
因为
是列向量组
的一个极大线性无关组，所以
是向量组
的一个极大线性无关组，（2分）
并且
，
。
26.对增广矩阵作初等行变换得
对应的方程组为
取x30，得方程组的一个特解为
（81302）T
取x31，得导出组
的一个基础解系
（1110）T，
所求方程组的通解为
，其中
为任意常数。
27.由
=0，
得A的特征值
，
。
对
，解方程组
，得其一个基础解系
；
对
，解方程组
，得其一个基础解系
；
因为矩阵A有两个线性无关的特征向量，所以A可相似对角化．
取
，则
=
=
。
四
21.设方程组：
，
，
，
，
．
证明方程组有解的充分必要条件是
。
22.计算行列式
。
23.设
满足AX=2X+B求X。
24.设
，
，
，
，
（1）验证
线性无关；
（2）将
用
线性表示。
26.求矩阵
的特征值和特征向量。
27.设
试讨论k为何值时,
（1））r（A）=1；
（2）r（A）=2；（3）r（A）=3。
参考答案:
21.方程组的增广矩阵
因为方程组有解的充分必要条件是r（Ab）r（A）。
所以方程组有解的充分必要条件是
。
22.
=
=10
=10
=20
=20
=160
23.（A2E）XB,因为
所以X（A2E）1B
24.记
，
因为
，或者
只有零解，所以
线性无关。
或因为
，所以
线性无关。
由
，
即
=
，
得惟一解：
．故
2
。
25.
方程组的一个基础解系为X1（1/2,0,-1/2,1）T
方程组的通解XkX1（k为任意常数）。
26.由
=0，
得A的特征值
（二重），
。
对
，将方程组
化简为
，
它的一个基础解系为
，
。
A的属于
的全部特征向量为
+
（
不全为零）。
对
，解方程组
，即
它的一个基础解系为
。
A的属于
的全部特征向量为
（
）。
27.
=B。
（1）当k=1时，B=
1;
（2）当k=-2时，B=
2;
（3）当
时，
，
3。
五
21.如果方阵A满足
，则A的特征值只有0或者1。
22.计算行列式
。
23.已知
其中
求
，A11。
24.设3阶方阵ABC满足方程C（2AB）A求矩阵A其中
。
25.求向量组
1（114）T
2（215）T
3（4，210）T
4（101）T的一个极大无关组并把其余向量用极大无关组线性表示。
26.已知二次型
.
（1）求出二次型f的
矩阵A的特征值;
（2）写出二次型f的标准形。
27.讨论a、b为何值时非齐次线性方程组
有无穷多解并求其通解。
参考答案:
21.设
为A的任一特征值，
为A的属于
的特征向量，即
，
所以
，
，而
，故
，得
=0或1，因此A的特征值只有0或者.
2
23.
，A=
A2.=PΛ2P-1=
=
A11=
=
=
=
24.（2CE）ACBCB=
，（2CE）可逆并且（2CE）1=
得A（2CE）1（CB）=
25.因为
所以向量组的秩r（
）2．因为
线性无关所以
是一个极大无关组
并且
32
2，
4
1
2。
26.二次型的矩阵为
因为
所以A的特征值为λ1=2,λ2=5,λ3=-1.
（2）二次型f的标准形为
27.对增广矩阵进行初等行变换得
当a2且b1时r（A）r（Ab）23方程组有无穷多组解
此时
对应的方程组为
取x30，得方程组的一个特解为
（310）T
取x31，得导出组
的一个基础解系
（211）T，
所求方程组的通解为
，其中
为任意常数。
六
21.设方阵A满足A2-3A+E=O,证明（A-2E）可逆,并求（A-2E）-1。
22.计算n阶行列式
。
23.解矩阵方程AXBX其中
。
24.求一个非零向量
，使得
与向量
，
都正交。
25.确定
的值，使方程组
有无穷多个解，求出它的通解。
26.求矩阵
的特征值及特征向量。
27.设
，
，
，
，
能否用
线性表示？
若能，表示法是否惟一？
参考答案:
21.由A2-3A+E=O可知A2-3A+2E=E,
即（A-2E）（A-E）=E,所以（A-2E）可逆,且（A-2E）-1=A-E
22.把第二列加到第一列，再把第三列加到第一列一直到把第n列加到第一列，得
=
=
23.由AXBX得（EA）XB
因为
所以
24.设
=
，由题意
，
，
即
方程组的基础解系为
．（2分）取
即可。
25.
当a=1时，R（A）R（A,b）1<3方程组有无穷多解。
当a=1时，（A,b）
取x2x30，得方程组的一个特解为
（100）T分别取x21，x30，和x20，x31，得导出组的一个基础解系
（-110）T，
（-101）T.方程组的通解为
，其中
为任意常数。
26.由特征方程
=0
得A的特征值
．
对于特征值
，解方程组
，即-
求得一个基础解系
，故A的属于
的全部特征向量为
，
为任意非零数。
对于特征值
，解方程组
，即-2
，
求得一个基础解系
，故A的属于
的全部特征向量为
，
为任意非零数。
27.由
，
即
=
，
得惟一解：
．
故
2
，（1分）且表示法惟一。
七
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