二次函数压轴题角的存在性文档格式.docx

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（1）求D点的坐标；

（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；

（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．

点评：

本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第

（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；

第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．

2．（2012•惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．

考点：

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分析：

（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，列方程组求a、b的值即可；

（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入

（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'

的坐标；

（3）当∠PCB=∠CBD时，可知CP∥BD，根据三角形的全等关系确定P点坐标．

解答：

解：

（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，

得

，

解得

∴y=x2﹣2x﹣3；

（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得

m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，

解得m=2或﹣1，

∵点D（m，﹣m﹣1）在第四象限，

∴D（2，﹣3），

∵直线BC解析式为y=x﹣3，

∴∠BCD=∠BCO=45°

，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，

∴点D关于直线BC对称的点D'

（0，﹣1）；

（3）存在．

过D点作DE⊥x轴，垂足为E，交直线BC于F点（如图），

∵∠PCB=∠CBD，

∴CP∥BD，

又∵CD∥x轴，四边形PCDB为平行四边形，

∴△OCP≌△EDB，

∴OP=BE=1，

设CP与BD相交于M点（m，3m﹣9），

易求BD解析式为：

y=3x﹣9，

由BM=CM，得到关于m的方程，解方程后，得m=

；

于是，M点坐标为：

M（

，﹣

）；

于是CM解析式为：

y=

x﹣3，

令CM方程中，y=0，则x=9，

所以，P点坐标为：

P（9，0），

∴P（1，0），或（9，0）．

本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标．

3．（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=

专题：

几何综合题；

压轴题．

（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；

②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；

（2）根据矩形的各角为90°

可以求得△ABO∽△OBC即

=

，再根据勾股定理可得OC=

BC，AC=

OC，可求得横坐标为±

c，纵坐标为c．

（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．

∴点C的坐标是（0，4）

把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，

②四边形AOBD是平行四边形；

理由如下：

由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4，

∴顶点D的坐标为（﹣2，8），

过D点作DE⊥AB于点E，

则DE=OC=4，AE=2，

∵AC=4，

∴BC=

AC=2，

∴AE=BC．

∵AC∥x轴，

∴∠AED=∠BCO=90°

∴△AED≌△BCO，

∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，

∴AD∥BO，

∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2

，2）或（2

，2）

要使四边形AOBD是矩形；

则需∠AOB=∠BCO=90°

∵∠ABO=∠OBC，

∴△ABO∽△OBC，

∴

又∵AB=AC+BC=3BC，

∴OB=

BC，

∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：

OC=

OC，

∵C点是抛物线与y轴交点，

∴OC=c，

∴A点坐标为（﹣

c，c），

∴顶点横坐标

c，b=

c，

∵将A点代入可得c=﹣（﹣

c）2+

c•

c+c，

∴横坐标为±

c，纵坐标为c即可，

令c=2，

∴A点坐标可以为（2

，2）或者（﹣2

，2）．

本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．

4．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；

（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°

（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，得到△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在y=x2﹣2x﹣3上，得到﹣

m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．

（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：

1+2+c=0

∴c=﹣3

∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4

∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，

由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3

∴B（3，0）

当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3

∴C（0，﹣3）

∴OB=OC=3

∵∠BOC=90°

∴∠OCB=45°

BC=3

又∵DF=CF=1，∠CFD=90°

∴∠FCD=45°

，CD=

∴∠BCD=180°

﹣∠OCB﹣∠FCD=90°

．

∴∠BCD=∠COA

又∵

∴△DCB∽△AOC，

∴∠CBD=∠OCA

又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB

∴∠E=∠OCB=45°

（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点

∵∠PMA=45°

∴∠EMH=45°

∴∠MHE=90°

∴∠PHB=90°

∴∠DBG+∠OPN=90°

又∴∠ONP+∠OPN=90°

∴∠DBG=∠ONP

∴∠DGB=∠PON=90°

∴△DGB∽△PON

即：

∴ON=2，

∴N（0，﹣2）

设直线PQ的解析式为y=kx+b

则

解得：

∴y=﹣

x﹣2

设Q（m，n）且n＜0，

∴n=﹣

m﹣2

又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，

∴n=m2﹣2m﹣3

∴﹣

m﹣2=m2﹣2m﹣3

m=2或m=﹣

∴n=﹣3或n=﹣

∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣

）．

本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．

5．（2012•合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求直线BC及二次函数的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；

（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

代数几何综合题．

（1）根据待定系数法求直线BC的解析式即可；

把点B、C的坐标代入二次函数，利用待定系数法求函数解析式解答；

（2）根据抛物线解析式求出顶点D的坐标，再根据二次函数的对称性求出点A的坐标，连接AD，然后求出∠ADP=∠ABC=45°

，然后证明△ADP和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PD的长度，从而得解；

（3）连接BD，利用勾股定理求出BD、BC的长度，再求出∠CBD=90°

，然后根据∠BCD与∠ACO的正切值相等可得∠BCD=∠ACO，从而得到∠OCA与∠OCD的和等于∠BCO，是45°

（1）设直线BC的解析式为y=kx+m，

∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），

所以，直线BC的解析式为y=﹣x﹣3，

∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），

∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3；

（2）∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，

∴抛物线的顶点D（﹣2，1），对称轴为x=﹣2，

∵A、B关于对称轴对称，点B（﹣3，0），

∴点A的坐标为（﹣1，0），

AB=﹣1﹣（﹣3）=﹣1+3=2，

BC=

=3

连接AD，则AD=

tan∠ADP=

=1，

∴∠ADP=45°

又∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°

∴∠ADP=∠ABC=45°

又∵∠APD=∠ACB，

∴△ADP∽△ABC，

即

解得DP=3，

点P到x轴的距离为3﹣1=2，

点P的坐标为（﹣2，﹣2）；

（3）连接BD，∵B（﹣3，0），D（﹣2，1），

∴tan∠DBA=

∴∠DBA=45°

根据勾股定理，BD=

又∵∠ABC=45°

∴∠DBC=45°

×

2=90°

∴tan∠BCD=

又∵tan∠OCA=

∴∠BCD=∠OCA，

∴∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=∠OCB，

∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴△OAC是等腰直角三角形，

即∠OCA与∠OCD两角和是45°

本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，解直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，利用数据的特殊性求出等腰直角三角形得到45°

角，然后找出相等的角是解题的关键．