条件收敛与绝对收敛Word格式.docx
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心
时，是根据这个级数的一般项|an|当n》=时不趋于0，因此
对级数Jan而言，它的一般项也不趋于零，所以级数Jan发
散。
例10.38讨论级数（T厂1匚21的敛散性，如收敛指明心n+1Jnp
是条件收敛或绝对收敛。
解，当p"
时,由于limn21-0,所以级数发散.
nT°
°
n+1Jnp
当p2时，因为
n21
n1.np
lim1
n&
1/np
而1收敛，所以原级数绝对收敛n.1..np
当0p乞2时,
unun+1
（n+1）Jnp
n+3
（n2）（n1）p
pp
（n24n4）（n1）2_（n24n3）n2
（n1）（n2）n珂n1）。
>
（n2+4n+4）n2-（n2+4n+3）n2
p上
（n1）（n2）n珂n俨
p
n'
c
p70
（n1）（n2）n2（n1）2
故｛比｝单调减少，且
n21lim0
n心n1np
显然
由Leibniz判别法知「（-1）n1n21收敛，
nNn十1np
n21发散，所以当0：
：
p辽2时级数条件收敛。
nwn1np
前面已经指出，一个收敛级数（不论是绝对收敛或条件收敛），将其项任意加括号后，得到的新级数仍收敛，这个性质称为收敛级数满足结合律。
下面我们讨论收敛级数的交换律。
设Jan是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新
级数记为aan,我们有下列定理：
定理10.18设级数an绝对收敛，则重排的级数1an也是
绝对收敛的，且其和不变。
先设aan是正项收敛的级数，此时有
m7
va[an=M,对m=1,2,…,均成立
即正项级数an的部分和数列有界，从而an收敛，
nTnT
QOQO
且a仁-an
n=1nW
而正项级数Ean也可看成是Ean的重排，从而也有
、an_'
an
所以an='
•an.
对一般项级数an，设、jan|收敛
|an|an|an\~an
记un=nn,vn=nn,n=1,2，…,
22
由比较判别法知正项级数-un与vn均收敛。
因而重排后的
级数M与aVn也收敛，且有
Un
、V=Vn
从而，级数\jani=v（unU）也收敛，即van绝对收敛，且
n=1ndn=1
有
iani='
（un-vn）='
un八v
nTnTn=1nT
='
Un—'
Vn=（Un一Vn）
n=1n=1n=1
oQ
=an
nm
下面我们讨论条件收敛级数的重排：
定理10.19（Riemann）设^an是条件收敛级数,则
n二1
（1）对任意给定的一个rR，必存在an的一个重排a空
使得aan=r；
⑵存在an的重排级数Van使
Q0
an=
=:
（或-:
:
）
记
u=|an丨+anv=|anan
Un=2，Vn=2
n=1,2，…
显然叫，、Vn都是正项级数，且有
limun=limvn=0
n）：
nT'
.；
易证得7Un和7Vn均发散（请读者自行证明）
现考察序列
ai,a2,…,an,…,（*）
用pm表示数列（*）中第m个非负项，用Q表示其中的第m个负项的绝对值。
显然｛pm｝是｛Un｝的子列，｛Qm｝是｛Vn｝的子列，
（｛pm｝为｛Un｝中删去了一些等于零的项后剩下的数列），因此
limpm=limQm=0
n）二n心
QOOO
Pn八Qn=
设Pg为其中第一个满足以
我们依次考察p1,p2,…中的各项，
下条件的项
P1+p2+…+pg>
E
再依次考察Q,Q…中的各项，设Qn是其中第一个满足以下条件的项。
P1+P2+…+Pm,-Q-QQni<
E
再依次考察pm1i+pm12+…中的各项，设Pm2是其中第一个满足以下条件的项。
P什P2+…+Pm1-Qi-Q2
—Qni+Pmi1+Pmi2+…+Pm?
>
照此下去，我们得到an的一个重排7a；
如下
Pi+P2+…+Pm1-Qi-Q2Q
ni
+Pmi1+Pmi2+Pm2
—Qni1Qn2+Pm2i+…
再分别用R与Lk表示级数「an的末项为Pmk的部分和与末项
n-1
为Qnk的部分和，贝U有
k=2,3,…
否则与
Pm的选取有矛盾。
同理有
1Lk-EQ；
k,
k=1,2,3，…
因为
limPmk=limQ；
k=0
kkk—」nk
limRk=limLk=E
kr，k
因为级数7a；
的任一部分和S必介于某一对Lk与Rk之间，
所以也应有
nimv=E
即'
、atE
（2）首先，任意选取一个严格单调上升并趋于+：
的实数，
列｛Ek｝（例如,可选Ek=k,k=1,2,…）.其次，用pk表示序列｛an｝中的第k个非负项，用Q表示序列｛an｝的第k个负项，设pm是pi,p2,…中第一个满足以下条件的项
Pi+P2+・・・+Pm1>
E1
设Qni是Q,Q,…中第一个满足以下条件的项
Pi+P2+・・・+Pm1-Q—QQn1<
E1
再依次考察Pm11+pm12+-中的各项，设Pm,是其中第一个满足以下条件的项
p1+…+Prm—Q1Qn1+Pg1+…Pm2>
E2
再依次考察Qn1,,Qn1.2-中各项，设Qn2是其中第一个满足以下条件的项，
P1+…+Pm,—Q1Qn1+Pg1+…Pm2—Qm1Qn2>
依次做下去，我们得到；
an的一个重排厂an,这个重排级数
n=1nd
满足条件
□0
同样可以得到一个重排，使得aa；
=7.
下面我们考察两个级数的乘积
OQqQqqqQ
设an与bn是两个级数，将Can）Cbn）定义为下列所有
项的和
aid
a1b2
ag
a1b4
a2b]
a2b2
a2b3
a?
bq•…
a3bi
a3b2
a3b3
a3b4
a4b|
a4b2
a4b3
a4b4
n」n=1
由于级数运算一般不满足交换律与结合律。
所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题。
事实上，上述无穷多项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式对角线排序法和正方形排序法。
定义10.6
a1b1a1b2a1b3
///
aib4…
a2bi玄2匕2玄2匕3
b4…
a3b1a3b2a3b3
a3b4…
a4b1a4b2a4b3
a4b4…
^令5=a〔bi,
c?
=aib?
+玄?
^,C3=aib3+a?
b2+a3bi,
a1bn+a2bn-1+…+玄门切
我们称cn八（aibn+a?
b亦+…+anbj为级数
an与abn的
n=1nA
^令d[=a〔bi,
d?
+a?
b2+a?
b
Cauchy乘积。
a1b1
aib2
aib3
a2b1
a2b4
a4b1
dn=aibn+a2bn+…+anbn+anbn-1+…+anbi
则级数dn称为级数an与「bn按正方形排列所得的乘积
nWnWnW
O0CQ
定理10.20如果级数van与1bn均收敛，则按正方形排序所n=1n=1
OQqqOQqq
得的乘积级数dn总是收敛的，且adk=Cak）Cbk）
n=1kWk=1k=1
nn
sn='
dk='
（a1bk+a2bk+…+akbk+a2bk-1+…+akb1）
kNkN
=CaQ「bk）
knkmab
=SnSn
其中｛瘁｝与｛s；
｝分别为aan与abn的部分和，
limdn=sasb
n>
当记lims：
=sa,lims；
=s；
时，有
nT吆nT°
o
所以级数dn收敛，且"
dn=pan）Lbn）.
n=1n=1n=1n=1
但是两个收敛级数的Cauchy乘积却不一定是收敛的。
例如'
an=v与vbn=v（）
ndn=1
oO°
1
2nd
n2
1—nT刁
这两个级数显然都是收敛，但它们的
Cauchy乘积的一般项
从而
n+1
Cn=（-1）
i-.-j=n1ij
ij
1
ij-n1,i
<
ij二n1
王Z―2-
i■j-n1n1
所以limcn=0,故vcn发散.
nW
n》：
定理10.21如果级数
、an与Vbn都绝对收敛，贝U它们的
n=1n=1
Cauchy乘积cn和正方形排列所得的乘积ydn都是绝对收
敛的，且
QOoOoO
Cn=ran）Cbn）
n=1nAn丄
n
证明:
设sn=ckI
kT
='
Taibk+a2bk-1+…+akb1|
k^1
十TakI）（'
|bk|）
k=1k=1
乂TakI）（'
□o
x|ckI收敛，又因为
k=1
k=1k=1
由正项级数'
「|Ck|的部分和数列有界知
绝对收敛级数有交换律和结合律。
同理可证，tdn绝对收敛
所以二Cn=^dn=（Jan）C0）.
我们可以将上定理的条件适当放宽
定理10.22（Mertens）设级数an绝对收敛，级数0收敛，
nWn=1
an=A,"
bn=B
则它们的Cauchy乘积cn也收敛，且xcn=AB
记An=vak,Bn='
bkkAk^
Cn=（a1bn+a?
bn-1+…+anS）
前n项部分和
sn='
（a1bk+a2bk-1+…+akb1）
k」
=aiBn+a?
Bn-i+…+anB〔
当令n=B
-Bn时，（n=1,2,…）
Sn=aiBn+a?
Bn-l+…+anBi
=a1（B—
n）+a2（B-n_1）+…+an（B-i）
=AnB-（ai:
n+a2：
n_i+…+an1）
=AnB-Rn
下面我们估计
Rn=ain+a2"
+…+anL1
因为序列｛k｝趋于0,可设
「kl^M,—kN
取k充分大使
「kl<
2D
这里D>
'
lan|.
n勻
再取m充分大，使
处z
rak|<
k=m12M
于是当N充分大时，对上面取定的m有|Rn|珂旧1|"
|+…+|am|「nml|）+（|am+l||*m|+…+|an|「i|）
D2d+m2M
所以
Iim^=0
从而lim»
=limAnB二AB.证毕.
n^^n—
定理10.23（Abel定理）设级数an与bn都收敛，且an=A,
n=1
O0qQ
bn=B,7Cn是它们的Cauchy乘积，如果
Cn收敛，其和
为c,则必有cB
在数列极限理论中，我们已经证明
如limAi=A,limBn=B,limcn=c,则
nT粗nT吆n—>
03
limABnAzBn-1代B1=AB
n
当记Sn：
/n时，有nim»
c
1n
所以c=lim丄Sn
nnk二
=lim-[A1Bn+A2Bn-l+…+AnBi]n八n
=AB.
习题10.4
1、设级数7an与7bn均绝对收敛，则它们的任意排序方法
n=1nd
（除了对角线方法与正方形方法）得到的乘积级数hn也绝
oOoOoO
对收敛，且hn=Can）Cbn）
n=1nWn=1
2、设|x|<
1,
（1-x）（1-y）
|y|<
1,求证：
（xn-1+xn-2y++yn-1）=
n二
nnn
3、求证：
x;
■y_^（xy）nAn!
nd0n!
nwn!
4、求证乜=1
“n!
“n!
□0odCOA
5、求证：
Cqn）（'
qn）='
（n1）qn-2（IqH1）.
n=0n=0ndQ（1一4）
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