条件收敛与绝对收敛Word格式.docx

1、心时，是根据这个级数的一般项|an|当n=时不趋于0，因此对级数J an而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an发散。例10.38讨论级数（T厂1匚2 1的敛散性，如收敛指明 心 n + 1 J np是条件收敛或绝对收敛。解，当p 时,由于lim n 2 1 - 0,所以级数发散.nT n + 1 J np当p 2时，因为n 2 1n 1 . nplim 1n& 1/ np而1收敛，所以原级数绝对收敛 n.1 .np当0 p乞2时,un un+1（n +1）J npn + 3（n 2） （n 1）pp p（n2 4n 4）（n 1）2 _ （n2 4n 3）n2（n 1）（n 2） n珂

2、n 1）。 （n2 + 4n + 4）n2 - （n2 + 4n + 3）n2p 上（n 1）（ n 2） n珂n 俨pn cp 7 0（n 1）（ n 2） n2（ n 1）2故比单调减少，且n 2 1 lim 0n 心 n 1 np显然由Leibniz判别法知（-1）n 1 n 2 1收敛，nN n 十 1npn 2 1发散，所以当0 ： p辽2时级数条件收敛。 nw n 1 np前面已经指出，一个收敛级数（不论是绝对收敛或条件 收敛），将其项任意加括号后，得到的新级数仍收敛，这个 性质称为收敛级数满足结合律。下面我们讨论收敛级数的交 换律。设J an是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到

3、的新级数记为a an ,我们有下列定理：定理10.18设级数an绝对收敛，则重排的级数1 an也是绝对收敛的，且其和不变。先设a an是正项收敛的级数，此时有m 7v a an =M,对m=1,2,均成立即正项级数an的部分和数列有界，从而an收敛，n T nTQO QO且a仁-ann =1 nW而正项级数E an也可看成是E an的重排，从而也有、an _ an所以 an = an.对一般项级数an，设、jan |收敛| an | an | an an记 un= n n, vn= n n, n=1,2，,2 2由比较判别法知正项级数 -un与vn均收敛。因而重排后的级数M与a Vn也收敛，且

4、有 Un、V = Vn从而，级数jan i=v （un U）也收敛，即v an绝对收敛，且n =1 n d n =1有 ian i= （un -vn）= un 八 vnT nT n=1 nT= Un Vn = （Un 一 Vn）n =1 n =1 n=1oQ=ann m下面我们讨论条件收敛级数的重排 ：定理10.19（ Riemann）设 an是条件收敛级数,则n 二1（1）对任意给定的一个 r R，必存在an的一个重排a空使得a an=r ； 存在an的重排级数V an使Q0 an =:（或-:）记u = |an 丨 +an v = | an anUn= 2 ， V n= 2n=1,2，显然

5、叫，、Vn都是正项级数，且有lim un= lim vn=0n ）： nT.；易证得7 Un和7 Vn均发散（请读者自行证明）现考察序列ai, a2,an, （*）用pm表示数列（*）中第m个非负项，用 Q表示其中的第 m个 负项的绝对值。显然pm是Un的子列，Qm是Vn的子列，（ pm为Un中删去了一些等于零的项后剩下的数列 ），因此lim pm=lim Qm=0n ）二 n 心QO OO Pn 八 Qn =设Pg为其中第一个满足以我们依次考察p1, p2,中的各项，下条件的项P1+p2+pgE再依次考察 Q, Q中的各项，设 Qn是其中第一个满足以下 条件的项。P1+P2+ Pm, - Q

6、- Q Qni照此下去，我们得到an的一个重排7 a；如下Pi+P2+ Pm1 - Qi - Q2 Qni+ Pmi 1 + Pmi 2 + Pm2Qni 1 Qn2+ Pm2i+再分别用R与Lk表示级数an的末项为Pmk的部分和与末项n -1为Qnk的部分和，贝U有k=2,3,否则与Pm的选取有矛盾。同理有1 Lk - E Q；k ,k=1,2,3，因为lim Pmk = lim Q；k =0k k knklim Rk= lim Lk= Ekr， k因为级数7 a；的任一部分和S必介于某一对Lk与Rk之间，所以也应有nimv=E即 、atE（2）首先，任意选取一个严格单调上升并趋于 +：的实

7、数，列 E k（例如,可选E k = k, k=1,2,）.其次，用pk表示 序列 an中的第k个非负项，用Q表示序列 an的第k个负 项，设pm是pi,p2,中第一个满足以下条件的项Pi+P2+ Pm1E 1设Qni是Q, Q,中第一个满足以下条件的项Pi+P2+ Pm1 - Q Q Qn1 E 2再依次考察Qn1 , Qn1 .2 -中各项，设Qn2是其中第一个满足以 下条件的项，P1 + Pm, Q1 Qn1+ Pg 1 + Pm2 Qm 1 Qn2 依次做下去，我们得到 ；an的一个重排 厂an,这个重排级数n =1 nd满足条件0同样可以得到一个重排，使得 a a； =7.下面我们考

8、察两个级数的乘积OQ qQ qq qQ设an与bn是两个级数，将C an ）C bn ）定义为下列所有项的和aida1b2aga1b4a2ba2b2a2b3a? bqa3bia3b2a3b3a3b4a4b|a4b2a4b3a4b4n n=1由于级数运算一般不满足交换律与结合律。所以这无穷多项 如何排序是我们需要考虑的一个问题。事实上，上述无穷多 项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式 对角线排序法和正方形排序法。定义10.6a1b1 a1b2 a1b3/ / /aib4 a2bi 玄2匕2 玄2匕3b4 a3b1 a3b2 a3b3a3b4 a4b1 a4b2 a4b3a4b4

9、令 5= abi,c?= aib?+ 玄?, C3= aib3+ a?b2+ a3bi,a1b n+a2b n-1+ +玄门切我们称cn八（aibn+a?b亦+anbj为级数an 与 a bn 的n=1 n A令 d= abi,d?+ a?b2+ a?bCauchy 乘积。a1b1aib2aib3a2b1a2b4a4b1dn= ai bn+ a2b n+ + anbn+ anbn-1 + + anbi则级数dn称为级数an与bn按正方形排列所得的乘积nW nW nWO0 CQ定理10.20如果级数v an与1 bn均收敛，则按正方形排序所 n =1 n=1OQ qq OQ qq得的乘积级数dn

10、总是收敛的，且a dk=C ak）C bk）n =1 kW k=1 k=1n nsn= dk = （a1bk+ a2bk + + akbk +a2bk-1+ +akb1）kN kN=C aQbk）kn km a b= SnSn其中瘁与 s；分别为a an与a bn的部分和，lim dn =sa sbn 当记 lim s： = sa, lim s； = s；时，有nT 吆 nTo所以级数dn收敛，且dn=p an）L bn）.n =1 n =1 n =1 n =1但是两个收敛级数的 Cauchy乘积却不一定是收敛的。例如 an=v 与v bn=v （）n d n =1oO 12 ndn21 nT

11、 刁这两个级数显然都是收敛，但它们的Cauchy乘积的一般项从而n+1Cn = （ - 1）i -.-j =n 1 ijij 1i j -n 1 , i i j 二 n 1王 Z 2-i j -n 1 n 1所以lim cn = 0,故v cn发散.nWn：定理10.21如果级数、an与V bn都绝对收敛，贝U它们的n=1 n =1Cauchy乘积cn和正方形排列所得的乘积 y dn都是绝对收敛的，且QO oO oO Cn =r an）C bn）n =1 n A n 丄n证明:设sn=ck IkT= Taibk +a2bk-1+ +akb1|k1十 TakI）（|bk|）k =1 k =1乂

12、TakI）（ox |ck I收敛，又因为k=1k=1 k=1由正项级数| Ck |的部分和数列有界知绝对收敛级数有交换律和结合律。同理可证，t dn绝对收敛所以二 Cn = dn=（J an ）C 0 ）.我们可以将上定理的条件适当放宽定理10.22（ Mertens）设级数an绝对收敛，级数0收敛，nW n=1 an =A, bn=B则它们的Cauchy乘积cn也收敛，且x cn =AB记 An=v ak , Bn = bk k A kCn=（a1bn +a?b n-1+ +a nS）前n项部分和sn= （ a1bk +a2bk-1+ +akb1）k=ai B n +a?B n-i+ +an

13、B当令n=B-Bn 时，（n=1,2,）Sn= aiBn +a?B n-l+ +anBi=a1（B n） + a2（B - n_1）+ +an（B - i）=A nB - （ai : n +a2 ： n_i+ +an 1）=A nB - Rn下面我们估计Rn = ai n+a2 + +an L1因为序列 k趋于0,可设klM, k N取k充分大使kl l an |.n勻再取m充分大，使处 zr ak |03lim ABn AzBn-1 代B1 = AB n当记Sn：/n时，有nimc1 n所以c= lim丄Snn n k 二= lim - A1Bn +A2Bn-l+ +A nBi n八n=AB.习题10.41、设级数7 an与7 bn均绝对收敛，则它们的任意排序方法n=1 nd（除了对角线方法与正方形方法） 得到的乘积级数hn也绝oO oO oO对收敛，且 hn =C an）C bn）n =1 nW n =12、设 |x|1,（1 - x）（1 - y）|y|1,求证： （xn-1+ xn-2y+yn-1）=n 二n n n3、求证：x ; y_ （x y） nA n! nd0 n! nw n!4、 求证乜=1“n!“ n!0 od CO A5、 求证：C qn）（ qn）= （n 1）qn - 2 （I q H 1）.n=0 n=0 ndQ （1一4）