微分方程及其应用Word格式.docx
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在本章中,我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条
“13
件。
例如,如果⑴的初始条件为y0二二,则在代入到通解yx3c后,可以求得c=”:
,从
而得到特解yx3*二。
一般的,因为n阶微分方程的通解中含有n个独立的任意常数。
需要有n个(一组)定解条件,
所以n阶方程的初始条件为:
y(x°
)=y°
y(x°
)=力,y"
(x°
)=y?
…,y"
"
。
)=y^
其中yo,y1,y2,…,yz为n个给定常数。
微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。
通解的几何图形是一族积分曲线,特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的某一条。
就是满足初始条件y0=二的
例如,方程⑴的积分曲线族如图9—1所示。
其中yx•二
特解。
9.2微分方程的经典案例
例1自由落体运动的规律
自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下,初速度为零的运动。
根据经典力学的牛顿
第二定律:
物体动量变化的大小与它所受到的外力成正比,其方向与外力的方向一致。
当物体的运
—■5
动速度v的绝对值不大(与光速=310km/s相比较)时,其质量m可以是一恒量。
于是这一运动
定律能表达成
ddv
mv=F,或mF
(1)
dtdt
其中F表示物体所受外力的合力。
对于仅受到地球引力作用的自由落体的运动,则有:
2
g=9.8m/s;
-__dS-
F二mg,v这里g表示重力加速度,其大小一般取为:
dt
S表示自由落体运动的路程,其大小以S表示之。
-__--dS
注意到S的方向与g的方向一致,将F=mg,v=dS代入式⑴后得到自由落体运动立场大小
运动规律式⑵表示一个微分方程问题。
等式
(2)的左端是路程大小S的二次微商它的右端是
常数g。
这里S和g之间不是普通的函数关系,而是二微商的关系。
例2单摆运动
单摆又称为钟摆或数学摆。
所谓单摆运动是指一质量为m>
0的小球,用长度为I的柔软细绳
拴住,细绳的一端固定在某点O处。
小球在铅垂平面内运动,略去空气的阻力和细绳在O点处的
摩擦力。
并且认为细绳的长度I不变,仅考虑地球的引力和细绳对小球的拉力(见图9—2)。
在铅垂平面内引进以O为坐标原点的极坐标系统,由于细绳长度不变且细绳总是直的,所以
小球的位置用一个坐标t就能表示。
这里二表示细绳|和铅垂方向之间的夹角。
铅垂方向即是小
球的平衡方向,它对应的二为零。
作用在小球上的地球引力的大小f为mg,其方向铅垂向下。
重力沿细绳方向的分力的大小为
mgcos二,其方向沿细绳指向外。
这个力与小球运动所需要的向心力刚好平衡。
所以小球沿细
绳方向没有运动。
重力在垂直于细绳方向的分力的大小为mgsi,它的方向与角二增加的方向相
反。
根据牛顿第二定律得到单摆运动的规律为:
关系式(4)是包含r及其二接微商的方程,并且二不是线性而是非线性地出现在方程中(以sin=这种非线性形式)。
从方程(4)来求出二随着时间变化规律的分析表达式是困难的。
当I二|比较小时,对微分方程(4)能够进行线性化出处理,即用二代替sin,,或者说,用-
来近似sinr。
这样得到式(4)的线性化微分方程:
在相同初始条件下服从微分方程5"
求得的二随时间t变化的规律二t是单摆运动的近似规
(5)
律。
通常将式5"
写成如下的规范形式:
dt2
其中k2」。
l
例3真空中的抛射体运动
在真空中运动的抛射体,它的运动规律十分复杂。
这里仅考虑在真空中抛射体的运动规律。
即
忽略抛射体所受的空气阻力,而仅考虑质量为m的抛射体受地球引力作用而引起的运动。
取一直角坐标系Oxyz,Ox轴沿水平方向;
Oy轴垂直于Ox轴;
Oz轴垂直于xOy平面,并
与Ox轴、Oy轴一起组成右手坐标系。
依牛顿第二定律,抛射体的运动规律为:
d2x
m—2=0
d2z
m—2mg
d2y小
抛射体的初始状态取为:
xO二yO二zO=0;
dx
其中Vo是抛射体的初始速度,位于xOy平面内,Vo表示Vo的大小;
〉表示Vo与水平方向(即
Ox轴)之间的夹角(见图9-4)。
例4深水炸弹的水下运动
一质量为m的深水炸弹,从高为hm处自由下落到海中。
这里不考虑深水炸弹在水平方向的
运动,而仅考虑它在铅直方向的运动。
由经典力学知:
物体由高为hm处自由下落至海平面时,
其铅垂方向的速度Vo为:
Vo=.2gh
这里g为重力加速度。
按如下方式取定坐标系:
坐标原点O取在海平面上某处,Ox轴沿铅垂向下,(见图9-5)。
深水炸弹m自高度为hm处自由下落至海平面的时间为t0。
于是深水炸弹的初始状态为:
dx|
xto=0,|t=to=Vo=.2gh
深水炸弹在海中运动时,我们不考虑海水对它的浮力,这时炸弹受到两个力的作用,:
一是地
球引力mg,其方向铅垂向下;
另一个是海水对炸弹的摩擦力。
这个摩擦力是很复杂的,它和炸弹的形状、速度等因素有关,这里近似的认为摩擦力的大小和炸弹的速度v成正比,比例系数即摩擦
系数u为常数。
摩擦力的方向与炸弹的速度方向相反,因而是铅垂向上的。
于是摩擦力f能表示
二一uv=-u
解铀的衰变速度就是Mt对时间t的导数钊,由于铀的衰变速度与其含量成正比,故得dt
微分方程型
dt=—几M
其中’■0是常数,叫做衰变系数。
■前置符号是由于当t增加时M单调减少,即型:
:
0的缘故。
按题意,初始条件为M|t=0二M0
例6指数增长模型(马尔萨斯人口模型)
英国人口学家马尔萨斯(Malthus,1766-1834)根据百余年的人口统计资料,于1798年提出
了著名的人口指数增长模型。
这个模型的基本假设是:
人口的增长率是常数,或者说,单位时间内
人口的增长量与当时的人口成正比。
记时刻t的人口为xt,当考察一个国家或一个很大地区的人口时,xt是很大的整数。
为了
利用微积分这一数学工具,将xt视为连续、可微函数。
记初始时刻t=0的人口为X。
,人口增长
率为r,r是单位时间内xt的增量与xt的比例系数。
于是,xt满足如下的微分方程:
rx
«
dt
込(0)=Xoe"
表明人口将按指数规律无限增长r0。
例7阻滞增长模型(Logistic模型)
例6中的指数增长模型在19世纪前比较符合人口增长情况,但从19世纪以后,就与人口事实
上的增长情况产生了较大的差异。
产生上述现象的主要原因是,随着人口的增加,自然资源,环境条件等因素对人口继续增长的
阻滞作用越来越显著。
如果当人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量后,增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少。
为了使人口预报特别是
长期预报更好的符合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。
将增长率r表示为人口xt的函数rx,按照前面的分析,rx应该是x的减函数。
一个最
简单的假定是设rx为x的线性函数
rx=r-sx,(r,s0)
这里r相当于x=0时的增长率,称固有增长率。
它与指数模型中的增长率r不同(虽然用了
相同的符号)。
显然对于任意的x•0,增长率rx:
:
r,为了确定系数s的意义,弓I入自然资源和
环境条件所能容纳的最大人口数量
常微分方程在数学建模中的应用
摘要
随着科学技术的发展,国内资金积累量在不断增加,但是中国人口近几
年还是呈增加的趋势,这样就会影响人均收入。
由于国民收入是资金积累的一部分,国民收入变化可以反映资金积累的变化。
因此研究资金积累、国民
收入与人口增长的关系可以转化成研究资金积累与人口增长的关系。
若国民
平均收入与按人口平均资金积累成正比,说明仅当资金积累的相对增长率大
于人口的相对增长率时,国民平均收入才是增长的。
本文通过微分方程建立有关人口增长与资金积累、国民收入的关系的模型。
关键词:
总资金积累人口平均资金积累国民平均收入资金积累增长人口增长
一、人口预测模型
由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去,则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.而此次讨论的则是资金积累、国民收入与人口增长的关系。
在人口自然增长过程中,净相对增长(出生率与死亡率之差)是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r,而若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比,说明反当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时,国民平均收入才是增长的。
在此假设下,推导并求解人口增长与资金积累、国民收入的关系。
二、问题的重述
资金积累、国民收入、与人口增长的关系:
(1)若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比,说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时,国民平均收入才是增长的.
(2)作出k(x)和r(x)的示意图,分析人口激增会引起什么后果.
三、问题分析
人均国民收入主要与国家资金总积累量和总人口数有关,若总人口数的增长率大于资金积累增长率,则增长的资金不能使每一位国民增加收入,只能使少量国民收入增加,因此,总体来说,国家人均收入实际上是减少的。
四、模型假设
假设总资金增长和人口增长均为指数增长,资金积累增长率和人口增长率为二次曲线模型。
五、符号说明
a为国民收入在总资金积累中所占比例;
y(t)为总资金积累量;
N(t)为总人口数;
Nm为人口的峰值;
x(t)为人均国民收入;
r为人口增长率;
k为资金积累增长率。
解:
若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比,说明反当总资金
积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时,国民平均收入才是增长的
N(k)=Noer(ks
N(t)「e:
J106
所以,当k大于r时,国民收入才会增加
总资金积累的相对增长率示意图
人口相对增长示意图
1980198519901995200020052010
可见,当人口激增时,在一定程度上,人口资金积累和人均国民收入相对减少,人们生活水平就会下降。
因此,国家应该实施宏观调控,以控制人口增长,以保证人们的生活水平进一步提高。
分析人口激增所引起的后果:
1、人口激增会加速资金积累的矛盾。
2、人口激增会提高劳动生产率的矛盾。
3、人口激增会带来工业原料的矛盾。
4、人口激增会影响人们生活水平的提高。
5、人口激增会影响科学事业发展,从而影响中国的发展。
6、人口激增加重环境问题,也是造成环境问题的主要原因。
解决措施:
1、进行一次人口普查,以制定科学的人口政策。
2、大力宣传,使广大人民群群众都了解计划生育的意义,强调国家有
行使干涉生育和控制人口的权力。
3、继续实施计划生育的政策,宣传避孕。
4、加强人与自然的和谐共处,保护环境,人人有责。