微分方程及其应用Word格式.docx

1、 在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条“ 1 3件。例如，如果的初始条件为 y 0二二，则在代入到通解 y x3 c后，可以求得c = ”：，从而得到特解y x3 *二。一般的，因为n阶微分方程的通解中含有 n个独立的任意常数。 需要有n个（一组）定解条件，所以n阶方程的初始条件为：y（x ）= y, y （x ）=力,y（x ）= y?,，y。）= y其中yo,y1,y2,，yz为n个给定常数。微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。通解的几何图形是一族积分曲线, 特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的某一条。就是满足初始条件 y 0 =二的例如，方程的积分曲

2、线族如图 9 1所示。其中y x 二特解。9.2 微分方程的经典案例例1自由落体运动的规律自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下， 初速度为零的运动。根据经典力学的牛顿第二定律：物体动量变化的大小与它所受到的外力成正比， 其方向与外力的方向一致。 当物体的运 5动速度v的绝对值不大（与光速 =3 10 km/s相比较）时，其质量m可以是一恒量。于是这一运动定律能表达成d dvmv = F,或 m F （ 1）dt dt其中F表示物体所受外力的合力。对于仅受到地球引力作用的自由落体的运动，则有:2g = 9.8m/s ；- _ _ dS -F二mg,v 这里g表示重力加速度，其大小一般取为

3、:dtS表示自由落体运动的路程，其大小以 S表示之。- _ _ - - dS注意到S的方向与g的方向一致，将F =mg,v = dS代入式后得到自由落体运动立场大小运动规律式表示一个微分方程问题。等式（ 2）的左端是路程大小 S的二次微商它的右端是常数g。这里S和g之间不是普通的函数关系，而是二微商的关系。例2单摆运动单摆又称为钟摆或数学摆。所谓单摆运动是指一质量为 m0的小球，用长度为I的柔软细绳拴住，细绳的一端固定在某点 O处。小球在铅垂平面内运动，略去空气的阻力和细绳在 O点处的摩擦力。并且认为细绳的长度 I不变，仅考虑地球的引力和细绳对小球的拉力（见图 9 2）。在铅垂平面内引进以 O

4、为坐标原点的极坐标系统，由于细绳长度不变且细绳总是直的，所以小球的位置用一个坐标 t就能表示。这里 二表示细绳|和铅垂方向之间的夹角。铅垂方向即是小球的平衡方向，它对应的 二为零。作用在小球上的地球引力的大小 f为mg ,其方向铅垂向下。重力沿细绳方向的分力的大小为mg cos二，其方向沿细绳指向外。这个力与小球运动所需要的向心力刚好平衡。所以小球沿细绳方向没有运动。重力在垂直于细绳方向的分力的大小为 mgsi，它的方向与角 二增加的方向相反。根据牛顿第二定律得到单摆运动的规律为:关系式（4）是包含r及其二接微商的方程，并且 二不是线性而是非线性地出现在方程中（以 sin=这种非线性形式）。从

5、方程（4）来求出二随着时间变化规律的分析表达式是困难的。当I二|比较小时，对微分方程（4）能够进行线性化出处理，即用 二代替sin,，或者说，用-来近似si nr。这样得到式（4）的线性化微分方程:在相同初始条件下服从微分方程 5 求得的二随时间t变化的规律二t是单摆运动的近似规（5）律。通常将式 5 写成如下的规范形式:dt2其中k2。l例3真空中的抛射体运动在真空中运动的抛射体， 它的运动规律十分复杂。 这里仅考虑在真空中抛射体的运动规律。 即忽略抛射体所受的空气阻力，而仅考虑质量为 m的抛射体受地球引力作用而引起的运动。取一直角坐标系 Oxyz， Ox轴沿水平方向； Oy轴垂直于Ox轴；

6、Oz轴垂直于xOy平面，并与Ox轴、Oy轴一起组成右手坐标系。依牛顿第二定律，抛射体的运动规律为:d2xm2 = 0d2zm2 mgd2y小抛射体的初始状态取为:xO 二yO 二zO =0;dx其中Vo是抛射体的初始速度， 位于xOy平面内，Vo表示Vo的大小；表示Vo与水平方向（即Ox轴）之间的夹角（见图 9-4）。例4深水炸弹的水下运动一质量为m的深水炸弹，从高为 h m处自由下落到海中。这里不考虑深水炸弹在水平方向的运动，而仅考虑它在铅直方向的运动。由经典力学知：物体由高为 h m处自由下落至海平面时，其铅垂方向的速度Vo为：Vo = . 2gh这里g为重力加速度。按如下方式取定坐标系：

7、坐标原点 O取在海平面上某处， Ox轴沿铅垂向下，（见图9-5）。深水炸弹m自高度为h m处自由下落至海平面的时间为 t0。于是深水炸弹的初始状态为：dx | x to = 0, |t = to = Vo = . 2gh深水炸弹在海中运动时，我们不考虑海水对它的浮力，这时炸弹受到两个力的作用， ：一是地球引力mg，其方向铅垂向下；另一个是海水对炸弹的摩擦力。这个摩擦力是很复杂的，它和炸弹 的形状、速度等因素有关，这里近似的认为摩擦力的大小和炸弹的速度 v成正比，比例系数即摩擦系数u为常数。摩擦力的方向与炸弹的速度方向相反，因而是铅垂向上的。于是摩擦力 f能表示二一u v = -u解 铀的衰变速

8、度就是 M t对时间t的导数钊，由于铀的衰变速度与其含量成正比，故得 dt微分方程 型dt =几M其中 0是常数，叫做衰变系数。前置符号是由于当t增加时M单调减少，即 型：0 的缘故。按题意，初始条件为 M |t=0二M 0例6指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（Malthus，1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于 1798年提出了著名的人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。记时刻t的人口为x t ，当考察一个国家或一个很大地区的人口时， x t是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将 x

9、t视为连续、可微函数。记初始时刻 t = 0的人口为X。，人口增长率为r，r是单位时间内xt的增量与x t的比例系数。于是， xt满足如下的微分方程：rx dt込（0 ）=Xoe表明人口将按指数规律无限增长 r 0 。例7阻滞增长模型（Logistic模型）例6中的指数增长模型在 19世纪前比较符合人口增长情况， 但从19世纪以后，就与人口事实上的增长情况产生了较大的差异。产生上述现象的主要原因是， 随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。如果当人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数的话，那 么当人口增加到一定数量后， 增长率就会随着人口的继续

10、增加而逐渐减少。 为了使人口预报特别是长期预报更好的符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。将增长率r表示为人口 x t的函数r x，按照前面的分析，r x应该是x的减函数。一个最简单的假定是设r x为x的线性函数r x =r-sx，（ r, s 0）这里r相当于x=0时的增长率，称固有增长率。它与指数模型中的增长率 r不同（虽然用了相同的符号）。显然对于任意的x 0,增长率r x : r，为了确定系数s的意义，弓I入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量常微分方程在数学建模中的应用摘要随着科学技术的发展，国内资金积累量在不断增加，但是中国人口近几年还是呈增加的趋

11、势，这样就会影响人均收入。由于国民收入是资金积累的 一部分，国民收入变化可以反映资金积累的变化。因此研究资金积累、国民收入与人口增长的关系可以转化成研究资金积累与人口增长的关系。若国民平均收入与按人口平均资金积累成正比，说明仅当资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率时，国民平均收入才是增长的。本文通过微分方程建立 有关人口增长与资金积累、国民收入的关系的模型。关键词： 总资金积累 人口平均资金积累 国民平均收入 资金积累增长 人口增长一、人口预测模型由于资源的有限性 , 当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长 , 为了 得到人口预测模型 , 必须首先搞清影响人口增长的因素 , 而影响人口增

12、长的因 素很多, 如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、 战争等诸多因素 ,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手 .因此, 先 把问题简化 , 建立比较粗糙的模型 , 再逐步修改 , 得到较完善的模型 . 而此次讨 论的则是资金积累、国民收入与人口增长的关系。在人口自然增长过程中 , 净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数 , 即 单位时间内人口的增长量与人口成正比 , 比例系数设为 r, 而若国民平均收入 x 与按人口平均资金积累 y 成正比，说明反当总资金积累的相对增长率 k 大于 人口的相对增长率 r 时，国民平均收入才是增长的。在此假设下 , 推导并求解

13、人口增长与资金积累、国民收入的关系。二、问题的重述资金积累、国民收入、与人口增长的关系：（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积 累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.（ 2）作出 k（x） 和 r（x） 的示意图，分析人口激增会引起什么后果 .三、问题分析人均国民收入主要与国家资金总积累量和总人口数有关， 若总人口数的增 长率大于资金积累增长率，则增长的资金不能使每一位国民增加收入，只能 使少量国民收入增加，因此，总体来说，国家人均收入实际上是减少的。四、模型假设假设总资金增长和人口增长均为指数增长， 资金积累增长率和人口增长率 为二次

14、曲线模型。五、符号说明a 为国民收入在总资金积累中所占比例；y（t） 为总资金积累量；N（t）为总人口数；Nm为人口的峰值；x（t） 为人均国民收入；r 为人口增长率；k 为资金积累增长率。解：若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明反当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的N（k） =Noer（ksN（t） e：J 106所以，当k大于r时，国民收入才会增加总资金积累的相对增长率示意图人口相对增长示意图1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010可见，当人口激增时，在一定程度上，人口资金积累和人均国民收入相对 减少，人们生活

15、水平就会下降。因此，国家应该实施宏观调控，以控制人口 增长，以保证人们的生活水平进一步提高。分析人口激增所引起的后果：1、 人口激增会加速资金积累的矛盾。2、 人口激增会提高劳动生产率的矛盾。3、 人口激增会带来工业原料的矛盾。4、 人口激增会影响人们生活水平的提高。5、 人口激增会影响科学事业发展，从而影响中国的发展。6、 人口激增加重环境问题，也是造成环境问题的主要原因。解决措施 ：1、 进行一次人口普查，以制定科学的人口政策。2、 大力宣传，使广大人民群群众都了解计划生育的意义，强调国家有行使干涉生育和控制人口的权力。3、 继续实施计划生育的政策，宣传避孕。4、 加强人与自然的和谐共处，保护环境，人人有责。