高考数学理科一轮复习简单的线性规划问题学案附答案Word下载.docx

高考数学理科一轮复习简单的线性规划问题学案附答案Word下载.docx

《高考数学理科一轮复习简单的线性规划问题学案附答案Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理科一轮复习简单的线性规划问题学案附答案Word下载.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（4）可行解：

满足________________的解（x，）．

（）可行域：

所有________组成的集合．

（6）最优解：

使______________取得最大值或最小值的可行解．

3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域．

（2）作出目标函数的等值线．

（3）确定最优解：

在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．

自我检测

1．（2011&

#8226;

北京东城1月检测）在平面直角坐标系中，若点（－2，t）在直线x－2＋4＝0的上方，则t的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（1，＋∞）

．（－1，＋∞）D．（0,1）

2．不等式（x－2＋1）（x＋－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）应是（　　）3．（2010&

重庆）设变量x，满足约束条x≥0，x－≥0，2x－－2≤0，则z＝3x－2的最大值为（　　）

A．0B．2．4D．6

4．（2010&

浙江）若实数x，满足不等式组x＋3－3≥0，2x－－3≤0，x－＋1≥0，且x＋的最大值为9，则实数等于（　　）

A．－2B．－1．1D．2

．（2010&

天津河西高三期中）已知实数x，满足x＋≥2，x－≤2，0≤≤3，则z＝2x－的最大值为________

探究点一　不等式组表示的平面区域

例1　画出不等式组x－＋≥0，x＋≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：

（1）指出x，的取值范围；

（2）平面区域内有多少个整点？

变式迁移1　（2011&

安庆模拟）在平面直角坐标系中，有两个区域、N，是由三个不等式≥0，≤x和≤2－x确定的；

N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1（0≤t≤1）所确定．设、N的公共部分的面积为f（t），则f（t）等于（　　）

A．－2t2＋2tB12（t－2）2

．1－12t2D．－t2＋t＋12

探究点二　求目标函数的最值

例2　（2010&

天津）设变量x，满足约束条x＋≤3，x－≥－1，≥1，则目标函数z＝4x＋2的最大值为（　　）

A．12B．10．8D．2

变式迁移2　（2010&

东）设变量x，满足约束条x－＋2≥0，x－＋10≤0，x＋－8≤0，则目标函数z＝3x－4的最大值和最小值分别为（　　）

A．3，－11B．－3，－11

．11，－3D．11,3

探究点三　线性规划的实际应用

例3　某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为00元/分和200元/分．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带的收益分别为03万元和02万元．问：

该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

变式迁移3　（2010&

四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利0元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（　　）

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料1箱，乙车间加工原料箱

．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料0箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱数形结合思想的应用

例　（12分）变量x、满足x－4＋3≤0，3x＋－2≤0，x≥1，

（1）设z＝4x－3，求z的最大值；

（2）设z＝x，求z的最小值；

（3）设z＝x2＋2，求z的取值范围．

【答题模板】

解　由约束条x－4＋3≤0，3x＋－2≤0，x≥1

作出（x，）的可行域如图所示．

由x＝13x＋－2＝0，解得A1，22

由x＝1x－4＋3＝0，解得（1,1）．由x－4＋3＝03x＋－2＝0，

解得B（,2）．[4分]

（1）由z＝4x－3，得＝43x－z3

当直线＝43x－z3过点B时，－z3最小，z最大．

∴zax＝4×

－3×

2＝14[6分]

（2）∵z＝x＝－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点连线的斜率．

观察图形可知zin＝B＝2[9分]

（3）z＝x2＋2的几何意义是可行域上的点到原点的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

din＝||＝2，dax＝|B|＝29∴2≤z≤29[12分]

【突破思维障碍】

1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：

画出可行域→明确目标函数z的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值

2．常见代数式的几何意义主要有以下几点：

（1）x2＋2表示点（x，）与原点（0,0）的距离；

&

#61480;

x－a&

#61481;

2＋&

－b&

2表示点（x，）与点（a，b）的距离．

（2）x表示点（x，）与原点（0,0）连线的斜率；

－bx－a表示点（x，）与点（a，b）连线的斜率．

这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．

【易错点剖析】

本题会出现对

（2）（3）无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题．1．在直角坐标系x内，已知直线l：

Ax＋B＋＝0与点P（x0，0），若Ax0＋B0＋&

0，则点P在直线l上方，若Ax0＋B0＋&

0，则点P在直线l下方．

2．在直线l：

Ax＋B＋＝0外任意取两点P（x1，1）、Q（x2，2），若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋B1＋

与Ax2＋B2＋同号；

若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋B1＋与Ax2＋B2＋异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．

3．线性规划解决实际问题的步骤：

①分析并将已知数据列出表格；

②确定线性约束条；

③确定线性目标函数；

④画出可行域；

⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；

⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．

（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

龙岩月考）下面给出的四个点中，位于x＋－1&

0，x－＋1&

0表示的平面区域内的点是（　　）

A．（0,2）B．（－2,0）

．（0，－2）D．（2,0）

2．在平面直角坐标系x中，已知平面区域A＝{（x，）|x＋≤1，且x≥0，≥0}，则平面区域B＝{（x＋，x－）|（x，）∈A}的面积为（　　）

A．2B．112D14

3．（2011&

广东）已知平面直角坐标系x上的区域D由不等式组0≤x≤2，≤2，x≤2给定，若（x，）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则z＝→&

A→的最大值为（　　）

A．42B．32

．4D．3

4．（2011&

安徽）设变量x，满足|x|＋||≤1，则x＋2的最大值和最小值分别为（　　）

A．1，－1B．2，－2

．1，－2D．2，－1

．（2011&

四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润40元；

派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润30元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于（　　）

A．460元B．4700元

．4900元D．000元

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2010&

北京改编）设不等式组x＋－11≥0，3x－＋3≥0，x－3＋9≤0表示的平面区域为D若指数函数＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是________．

7．（2011&

长沙一中月考）已知实数x、同时满足以下三个条：

①x－＋2≤0；

②x≥1；

③x＋－7≤0，则x的取值范围是______________．

8．（2011&

湖南师大月考）设不等式组2x＋－6≤0，x＋－3≥0，≤2表示的平面区域为，若函数＝（x＋1）＋1的图象经过区域，则实数的取值范围是____________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2010&

广东）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；

一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和4个单位的维生素

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

10．（12分）已知x－＋2≥0，x＋－4≥0，2x－－≤0，

求：

（1）z＝x＋2－4的最大值；

（2）z＝x2＋2－10＋2的最小值；

（3）z＝2＋1x＋1的范围．

11．（14分）（2011&

杭州调研）预算用2000元购买单为0元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1倍，问桌子、椅子各买多少才行？

学案3　简单的线性规划问题

自主梳理

1．

（1）原点（0,0）　①上方　②下方　2（4）线性约束条

（）可行解　（6）目标函数　3（3）最优解

自我检测

1．B　2　3　4

．7

堂活动区

例1　解题导引　在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；

若数目较大，则可分x＝逐条分段统计．解　

（1）不等式x－＋≥0表示直线x－＋＝0上及右下方的点的集合．x＋≥0表示直线x＋＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．

所以，不等式组

x－＋≥0，x＋≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．

结合图中可行域得x∈－2，3，∈[－3,8]．

（2）由图形及不等式组知－x≤≤x＋，－2≤x≤3，且x∈Z

当x＝3时，－3≤≤8，有12个整点；

当x＝2时，－2≤≤7，有10个整点；

当x＝1时，－1≤≤6，有8个整点；

当x＝0时，0≤≤，有6个整点；

当x＝－1时，1≤≤4，有4个整点；

当x＝－2时，2≤≤3，有2个整点；

∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42（个）．

变式迁移1　D　[作出由不等式组≥0≤x≤2－x组成的平面区域，即△AE表示的平面区域，当t＝0时，

f（0）＝12×

1×

1＝12，

当t＝1时，

f

（1）＝12×

当0&

t&

1时，如图所示，所求面积为f（t）＝S△AE－S△B－S△FDE

＝12×

2×

1－12t2－12[2－（t＋1）]2＝－t2＋t＋12，

即f（t）＝－t2＋t＋12，此时f（0）＝12，f

（1）＝12，

综上可知选D]

例2　解题导引　1求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．

2．线性目标函数z＝ax＋b取最大值时的最优解与b的正负有关，当b&

0时，最优解是将直线ax＋b＝0在可行域内向上平移到端点（一般是两直线交点）的位置得到的，当b&

0时，则是向下方平移．

B　[画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2可转化为＝－2x＋z2，

作出直线＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大．解方程组x＋＝3，＝1

得A（2,1），∴zax＝10]

变式迁移2　A　[作出可行域如图所示．目标函数＝34x－14z，则过B、A点时分别取到最大值与最小值．易求B（,3），A（3,）．

∴zax＝3×

－4×

3＝3，zin＝3×

3－4×

＝－11]

例3　解题导引　解线性规划应用问题的一般步骤是：

（1）分析题意，设出未知量；

（2）列出线性约束条和目标函数；

（3）作出可行域并利用数形结合求解；

（4）作答．

解　设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和分钟，总收益为z元，

由题意得x＋≤300，00x＋200≤90000，x≥0，≥0

目标函数为z＝3000x＋2000

二元一次不等式组等价于x＋≤300，x＋2≤900，x≥0，≥0作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．

作直线l：

3000x＋2000＝0，即3x＋2＝0

平移直线l，从图中可知，当直线l过点时，目标函数取得最大值．

由方程x＋＝300，x＋2＝900，解得x＝100，＝200

所以点的坐标为（100,200）．

所以zax＝3000x＋2000＝700000（元）．

答　该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

变式迁移3　B　[设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料箱，

由题意可知

x＋≤70，10x＋6≤480，x≥0，≥0

甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200

画出可行域如图所示．

点（1,）为直线x＋＝70和直线10x＋6＝480的交点，由图象知在点（1,）处z取得最大值．]

后练习区

1．　2B　3　4B　

6．（1,3]

79，6

解析　由x＝1x＋－7＝0&

#868;

A（1,6），

x－＋2＝0x＋－7＝0

B2，92，

∴A＝6，B＝9

∴∈9，6，即x∈9，6

8－14，12

解析　作可行域，如图．

因为函数＝（x＋1）＋1的图象是过点P（－1,1），且斜率为的直线l，由图知，当直线l过点A（1,2）时，取最大值12，当直线l过点B（3,0）时，取最小值－14，故∈－14，12

9．解　设该儿童分别预订x，个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z＝2x＋4（2分）

可行域为12x＋8≥64，6x＋6≥42，6x＋10≥4，x≥0，x∈N，≥0，∈N，　即3x＋2≥16，x＋≥7，3x＋≥27，x≥0，x∈N，≥0，∈N（6分）

作出可行域如图所示：

（9分）

经试验发现，当x＝4，＝3时，花费最少，为2×

4＋4×

3＝22（元）．故应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．（12分）

10．解　作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A（1,3）、B（3,1）、（7,9）．

（1）易知可行域内各点均在直线x＋2－4＝0的上方，故x＋2－4&

0，将点（7,9）代入z得最大值为21（4分）

（2）z＝x2＋2－10＋2＝x2＋（－）2表示可行域内任一点（x，）到定点（0,）的距离的平方，过作直线A的垂线，易知垂足N在线段A上，

故z的最小值是|N|2＝92（8分）

（3）z＝2×

－－12x－&

－1&

表示可行域内任一点（x，）与定点Q－1，－12连线的斜率的两倍，

因此QA＝74，QB＝38，

故z的范围为34，72（12分）

11．解　设桌子、椅子分别买x张、把，

目标函数z＝x＋，（2分）

把所给的条表示成不等式组，

即约束条为0x＋20≤2000，≥x，≤1x，x≥0，x∈N*，≥0，∈N*（6分）

由0x＋20＝2000，＝x，　解得x＝2007，＝2007，

所以A点的坐标为2007，2007

由0x＋20＝2000，＝1x，　解得x＝2，＝72

所以B点的坐标为2，72（9分）所以满足条的可行域是以A2007，2007、B2，72、

（0,0）为顶点的三角形区域（如图）．（12分）

由图形可知，目标函数z＝x＋在可行域内的最优解为

B2，72，但注意到x∈N*，∈N*，故取x＝2，＝37

故买桌子2张，椅子37把是最好的选择．（14分）