湖南师大附中高二上学期数学期末试题文科带答案文档格式.docx

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5．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是

A．2

B.13

C．－3

D．－12

6．函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能的是

7.若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－1，则实数a的值是

A.14B.12C．－14D．－12

8．设0＜x＜1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x中最大的一个是

A．aB．bC．cD．不能确定

9．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC→＝2AE→，则向量EM→＝

A.12AC→＋13AB→B.12AC→＋16AB→

C.16AC→＋12AB→D.16AC→＋32AB→

10．已知命题p：

直线l1：

（m－2）x＋3y＋2m＝0与直线l2：

x＋my＋6＝0平行，命题q：

方程x2＋y2－22x＋my＋（m＋2）＝0表示圆，则命题p是命题q成立的

A．必要条件B．充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

11．对数列，如果k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an＋k＝λ1an＋k－1＋λ2an＋k－2＋…＋λkan成立，其中n∈N*，则称为“k阶递归数列”．给出下列结论：

①若是等比数列，则为“1阶递归数列”；

②若是等差数列，则为“2阶递归数列”；

③若的通项公式为an＝n2，则为“3阶递归数列”．

其中正确的结论的个数是

A．0B．1C．2D．3

12．若直线l：

y＝－x2＋m与曲线C：

y＝12|4－x2|有且仅有三个交点，则m的取值范围是

A．（2－1，2＋1）B．（1，2）

C．（1，2＋1）D．（2，2＋1）

选择题答题卡

题号123456789101112得分

答案

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）

13．过曲线y＝x3－2x上的点（1，－1）的切线方程为____________．

14．在区间－π2，π2上随机取一个数x，cosx的值介于0到12之间的概率为________．

15．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2cm，AD＝1cm，则异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值为____________．

16．已知函数f（x）＝log2x，x0，2x，x≤0，若函数g（x）＝f（x）－kx有零点，则实数k的取值范围是____________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

湖南师大附中的科技节中有一个传统挑战项目——“奇思妙想闯七关”．为了调查参加此活动的学生情况，现从我校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名学生中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图所示．

（Ⅰ）根据条件完成下列2×

2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下认为“愿意接受挑战与性别有关”？

愿意不愿意总计

男生

女生

总计

（Ⅱ）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的学生中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．

参考数据：

P（K2k0）0.10.050.0250.01

k02.7063.8415.0246.635

18．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA＝α，∠AOB＝π3，且α∈π6，π3.

（Ⅰ）若x1＝277，用α表示x2并求其值；

（Ⅱ）过点B作x轴的垂线，垂足为C，记△BOC的面积为S，设S＝f（α），求函数f（α）的值域．

19.（本小题满分12分）

已知三棱锥P－ABC的直观图及其三视图如图所示．

（Ⅰ）求三棱锥P－ABC的体积；

（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的正切值．

20.（本小题满分12分）

已知等差数列an的首项a1＝1，公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项成等比数列．

（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝2an＋1an＋2，求数列bn的前n项和Tn，并证明：

215≤Tn13.

21．（本小题满分12分）

设椭圆C的中心在原点，两焦点F1、F2在x轴上，点P的坐标为（2，1），已知F1P→F2P→＝3，且椭圆C的离心率为22.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）如图，设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点M是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，直线AM，BM分别与直线x＝3相交于点D，E，求|DE|的最小值．

22.（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝a（x－1）2＋lnx＋1.

（Ⅰ）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当x∈[1，＋∞）时，函数y＝f（x）图象上的点都在x≥1，y－x≤0所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案－（这是边文，请据需要手工删加）

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试数学（文科）参考答案

一、选择题

1．D【解析】设z＝a＋bi（a，b∈R），由题意知a＝1，∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±

3.故选D.

2．D【解析】否命题既要否定条件，又要否定结论.同时，“或”的否定是“且”，选D.

3．A

4．C

5．D【解析】对应于计数变量i的S呈周期性，最小正周期为4，前4个数依次是：

－3，－12，13，2，而2018＝4×

504＋2，故选D.

6．B【解析】数形结合可得在（－∞，－2），（－1，＋∞）上，f′（x）0，f（x）是减函数；

在（－2，－1）上，f′（x）0，f（x）是增函数，故选B.

7．A【解析】将抛物线y＝ax2化为x2＝1ay，由条件知14a＝1，∴a＝14，故选A.

8．C【解析】由于0＜x＜1，所以b＝1＋x21x＝2x＝22x＝2aa，又b－c＝（1＋x）－11－x＝1－x2－11－x＝－x21－x0bc，所以c最大；

故选C.

9．C【解析】如图，因为EC→＝2AE→，所以EM→＝EC→＋CM→＝23AC→＋12CB→＝23AC→＋12（AB→－AC→）＝12AB→＋16AC→，故选C.

10．B【解析】因为两直线平行，所以（m－2）m－1×

3＝0，∴m＝3或m＝－1，经检验m＝3时，两直线重合，∴m＝－1，方程表示圆，

所以（22）2＋m2－4（m＋2）0，∴m4或m0.故命题p是命题q成立的充分条件．故选B.

11．D【解析】对于①：

若k＝1，因为是等比数列，则有an＋1＝λ1an满足条件，故①正确；

对于②：

若k＝2，因为是等差数列，则有an＋2＋an＝2an＋1，存在λ1＝2，λ2＝－1满足an＋2＝λ1an＋1＋λ2an，故②正确；

对于③：

若k＝3，因为数列的通项公式为an＝n2，an＋3＝（n＋3）2＝3（n＋2）2－3（n＋1）2＋n2，故存在λ1＝3，λ2＝－3，λ3＝1满足an＋3＝λ1an＋2＋λ2an＋1＋λ3an，故③正确．故选D.

12．B【解析】由题意得，曲线C是由椭圆x24＋y2＝1上半部分和双曲线x24－y2＝1上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为y＝－12x，与直线l：

y＝－12x＋m平行；

当直线l过右顶点时，直线l与曲线C有两个交点，此时，m＝1；

当直线l与椭圆相切时，直线l与曲线C有两个交点，此时m＝2；

由图象可知，m∈（1，2）时，直线l与曲线C有三个交点，故选B.

二、填空题

13．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0【解析】设P（x0，y0）为切点，则切线的斜率为y′|x＝x0＝3x20－2.∴切线方程为y－y0＝（3x20－2）（x－x0）．y－（x30－2x0）＝（3x20－2）（x－x0）．又知切线过点（1，－1），把它代入上述方程得－1－（x30－2x0）＝（3x20－2）（1－x0）．解得x0＝1，或x0＝－12.故所求切线方程为y－（1－2）＝（3－2）（x－1）或y－－18＋1＝34－2x＋12，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

14.13【解析】在区间－π2，π2上随机取一个数x，即x∈－π2，π2时，要使cosx的值介于0到12之间，需使－π2≤x≤－π3或π3≤x≤π2，区间长度为π3，由几何概型知cosx的值介于0到12之间的概率为π3π＝13.

15.55【解析】设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE∥D1B，所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角．在△C1OE中，OC1＝12A1C1＝52，OE＝12BD1＝1222＋22＋1＝32，

C1E＝B1C21＋B1E2＝12＋12＝2，

所以cos∠C1OE＝OC21＋OE2－C1E22OC1OE＝55.

16.－∞，1eln2【解析】由f（x）－kx＝0得f（x）＝kx，在同一坐标系中作出函数y＝f（x）和y＝kx的图象，易知当k0时，两函数图象有两个交点，当k≥0时，考察由原点引f（x）的图象的切线，设切点是（x0，log2x0），f′（x）＝1xln2，则1x0ln2＝log2x0x0x0＝e，故切线的斜率等于1eln2，即k∈0，1eln2时，两图象恰有一个公共点，综上k∈－∞，1eln2.

三、解答题

17．【解析】

（Ⅰ）2×

2列联表

男生154560

女生202040

总计3565100

（2分）

K2＝100（15×

20－20×

45）235×

65×

60×

40≈6.5936.635.（3分）

所以，不能在犯错误的概率不超过1%的情况下认为“愿意接受挑战与性别有关”．（5分）

（Ⅱ）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的学生中选取7名挑战者，

故男生抽取7×

1535＝3名，女生7×

2035＝4名，（7分）

从中抽取2人参加挑战，共有6＋5＋4＋…＋1＝21种方法，

全是女生的方法有3＋2＋1＝6种，（9分）

所以，抽取的2人中至少有一名男生的概率为P＝1－621＝57.（10分）

18．【解析】

（Ⅰ）由三角函数定义，得x1＝cosα，x2＝cosα＋π3.（2分）

由已知，cosα＝277，α∈π6，π3，则sinα＝1－cos2α＝217.（4分）

所以x＝cosα＋π3＝12cosα－32sinα＝2714－3714＝－714.（6分）

（Ⅱ）因为α∈π6，π3，则α＋π3∈π2，2π3，

故x2＝cosα＋π30，y2＝sinα＋π30，

所以S＝12|x2|y2＝12－cosα＋π3sinα＋π3

＝－14sin2α＋2π3.

即f（α）＝－14sin2α＋2π3.（9分）

因为α∈π6，π3，则2α＋π3∈2π3，π，0sin2α＋π332，（10分）

所以f（α）＝－14sin2α＋2π3∈－38，0.（12分）

19．【解析】

（Ⅰ）由俯视图知，点P在底面ABC内的射影在BC边上，所以平面PBC⊥平面ABC.

作PD⊥BC，垂足为D，则PD⊥平面ABC.由侧视图知，PD＝2.（2分）

在底面ABC内作AE⊥BC，垂足为E，由正视图知，E为BC的中点．

由侧视图知，AE＝4.（4分）

由正视图知，BC＝4，则三棱锥P－ABC的体积

V＝13×

12×

BC×

AE×

PD＝16×

4×

2＝163.（6分）

（Ⅱ）在底面ABC内作DF⊥AB，垂足为F，则AB⊥平面PDF，

所以∠PFD为二面角P－AB－C的平面角．（8分）

因为AE＝4，BE＝2，则AB＝AE2＋BE2＝25.（9分）

因为Rt△BFD∽Rt△BEA，则DFBD＝AEAB.由俯视图知，BD＝1.

所以DF＝AE×

BDAB＝4×

125＝25.（11分）

在Rt△PDF中，tan∠PFD＝PDDF＝5.

故二面角P－AB－C的平面角的正切值为5.（12分）

20．【解析】

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，

∵an＝a1＋（n－1）d，a1＋da1＋13d＝a1＋4d2d0.（3分）

整理：

3d2＝6a1dd0，∴d＝2a1＝2，∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.（5分）

∴an＝2n－1（n∈N*）．（6分）

（Ⅱ）bn＝2an＋1an＋2＝2（2n＋3）（2n＋1）＝12n＋1－12n＋3，（8分）

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝13－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3

＝13－12n＋313.（10分）

∵Tn＋1－Tn＝bn＝22n＋12n＋30，数列是递增数列．

∴Tn≥T1＝b1＝215.（11分）

∴215≤Tn13.（12分）

21．【解析】

（Ⅰ）设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1（ab0），

F1（－c，0），F2（c，0）（1分）

则F1P→＝（2＋c，1），F2P→＝（2－c，1）．（2分）

因为F1P→F2P→＝3，则（2＋c）（2－c）＋1＝3，即c2＝2，所以c＝2.（3分）

因为ca＝22，则a＝2c＝2，从而b＝a2－c2＝2.（4分）

故椭圆C的标准方程是x24＋y22＝1.（5分）

（Ⅱ）法一：

由题设，点A（－2，0），设直线AM的方程为y＝k（x＋2）（k0）．

联立x＝3，得点D（3，5k）．（6分）

将y＝k（x＋2）代入x24＋y22＝1，得x2＋2k2（x＋2）2＝4，即（2k2＋1）x2＋8k2x＋8k2－4＝0.（7分）

设点M（x0，y0），则x0和－2是方程的两根，

所以－2x0＝8k2－42k2＋1，即x0＝2－4k22k2＋1，

从而y0＝k2－4k22k2＋1＋2＝4k2k2＋1，所以点M2－4k22k2＋1，4k2k2＋1.（9分）

又点B（2，0），则直线BM的方程为y－04k2k2＋1－0＝x－22－4k22k2＋1－2，

即y＝－12k（x－2）．

联立x＝3，得点E3，－12k.（11分）

所以|DE|＝5k＋12k≥25k12k＝10，当且仅当5k＝12k0，即k＝1010时取等号．

故|DE|的最小值为10.（12分）

法二：

由题设，点A（－2，0），点B（2，0），

设点M（x0，y0），则x204＋y202＝1，即x20＋2y20＝4.

所以（x0－2）（x0＋2）＝－2y20，即y0x0＋2y0x0－2＝－12，

所以kAMkBM＝－12.（8分）

设直线AM的方程为y＝k（x＋2）（k0），则直线BM的方程为y＝－12k（x－2）．

分别联立x＝3，得点D（3，5k），点E3，－12k.（11分）

22．【解析】

（Ⅰ）f′（x）＝2a（x－1）＋1x，∵函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，

∴f′（x）＝2a（x－1）＋1x≤0在区间[2，4]上恒成立，即2a≤1－x2＋x在[2，4]上恒成立，

只需2a不大于1－x2＋x在[2，4]上的最小值即可．（2分）

而1－x2＋x＝1－x－122＋14（2≤x≤4），则当2≤x≤4时，1－x2＋x∈－12，－112，

∴2a≤－12，即a≤－14，故实数a的取值范围是－∞，－14.（5分）

（Ⅱ）因f（x）图象上的点在x≥1，y－x≤0所表示的平面区域内，即当x∈[1，＋∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x－1）2＋lnx－x＋1≤0恒成立，

设g（x）＝a（x－1）2＋lnx－x＋1（x≥1），只需g（x）max≤0即可．

由g′（x）＝2a（x－1）＋1x－1＝2ax2－（2a＋1）x＋1x，（7分）

（ⅰ）当a＝0时，g′（x）＝1－xx，当x≥1时，g′（x）≤0，函数g（x）在[1，＋∞）上单调递减，故g（x）≤g

（1）＝0成立．（8分）

（ⅱ）当a0时，由g′（x）＝2ax2－（2a＋1）x＋1x＝2a（x－1）x－12ax，

令g′（x）＝0，得x1＝1或x2＝12a，

①若12a1，即a12时，在区间[1，＋∞）上，g′（x）≥0，函数g（x）在[1，＋∞）上单调递增，函数g（x）在[1，＋∞）上无最大值g（x）≥g

（1）＝0，不满足条件；

（10分）

②若12a≥1，即0a≤12时，函数g（x）在1，12a上单调递减，在区间12a，＋∞上单调递增，同样g（x）在[1，＋∞）上无最大值，且g1＋1a=a1＋1a－12＋ln1＋1a－1＋1a＋1＝1a＋ln1＋1a－1－1a＋1＝ln1＋1a0，不满足条件．（11分）

（ⅲ）当a0时，由g′（x）＝2a（x－1）x－12ax，因x∈[1，＋∞），故g′（x）0，则函数g（x）在[1，＋∞）上单调递减，故g（x）≤g

（1）＝0成立．

综上所述，实数a的取值范围是（－∞，0]．（12分）