广东广州市普通高中学年上学期高一数学期末模拟试题3.docx

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广东广州市普通高中学年上学期高一数学期末模拟试题3

广州上学期高一数学期末模拟试题03

1．直线3ax－y－1＝0与直线（a－）x＋y＋1＝0垂直，则a的值是（　　）

A．－1或　　　　　　　　　B．1或

C．－或－1D．－或1

解析：

选D.由3a（a－）＋（－1）×1＝0，得a＝－或a＝1

2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：

cm），则该几何体的表面积及体积为

A．24πcm2,12πcm3　　　　B．15πcm2,12πcm3

C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确

解析：

选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3cm，母线长为5cm，高为4cm，求表面积时不要漏掉底面积．

3．把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为

A．3cmB．6cm

C．8cmD．12cm

解析：

选B.设大铁球的半径为R，则有πR3＝π·（）3＋π·（）3＋π·（）3，

解得R＝6.

4．已知点A（1－t,1－t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（　　）

A.B.

C.D．2

解析：

选C.由距离公式d（A、B）

＝

＝＝，

显然当t＝时，d（A、B）min＝，

即A、B两点之间的最短距离为.

5．（2011年高考四川卷）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析：

选B.A答案还有异面或者相交，C、D不一定

6．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是（　　）

A．m⊥n，m∥α，n∥β　　　B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β

解析：

选C.⇒α⊥β

7．在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED

解析：

选D.如图所示，连接BE、DE.

⇒平面ABC⊥平面BDE.

8．已知直线l：

y＝x＋m与曲线y＝有两个公共点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－2,2）B．（－1,1）

C．[1，）D．（－，）

解析：

选C.曲线y＝表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点（－1,0）与点（0,1）的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点．

当直线l过点（－1,0）时，m＝1；

当直线l为圆的上切线时，m＝（注：

m＝－，直线l为下切线）．

9．若⊙C1：

x2＋y2－2mx＋m2＝4和⊙C2：

x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2相交，则m的取值范围是（　　）

A．（－，－）B．（0,2）

C．（－，－）∪（0,2）D．（－，2）

解析：

选C.圆C1和C2的圆心坐标及半径分别为C1（m,0），r1＝2，C2（－1,2m），r2＝3.由两圆相交的条件得3－2<|C1C2|<3＋2，即1<5m2＋2m＋1<25，解得－

β.

10．已知圆C：

（x－a）2＋（y－2）2＝4（a>0）及直线l：

x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a的值等于（　　）

A.B.－1

C．2－D.＋1

解析：

选B.圆心（a,2）到直线l：

x－y＋3＝0的距离d＝＝，依题意2＋2＝4，解得a＝－1.

11．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是

A．2πR2　　　　　　　　　B.πR2

C.πR2D.πR2

解析：

选B.如图所示，设圆柱底面半径为r，则其高为3R－3r，全面积S＝2πr2＋2πr（3R－3r）＝6πRr－4πr2＝－4π（r－R）2＋πR2，故当r＝R时全面积有最大值πR2.

12.如图所示，三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x（x∈[0,3]），下列四个图象大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与x的变化关系，其中正确的是（　　）

解析：

选A.V＝S△AMC·NO＝（×3x×sin30°）·（8－2x）＝－（x－2）2＋2，x∈[0,3]，故选A.

二、填空题（本大题共4小题，请把答案填在题中横线上）

13．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A（1,2），求BC边所在的直线方程．

解：

AC边上的高线2x－3y＋1＝0，

所以kAC＝－.

所以AC的方程为y－2＝－（x－1），

即3x＋2y－7＝0，

同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0.

下面求直线BC的方程，

由得顶点C（7，－7），

由得顶点B（－2，－1）．

所以kBC＝－，直线BC：

y＋1＝－（x＋2），

即2x＋3y＋7＝0.

14．过点A（1，－1），B（－1,1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________．

解析：

易求得AB的中点为（0,0），斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O（1,1），半径r＝|OA|＝2.

答案：

（x－1）2＋（y－1）2＝4

15.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5cm，AC＝2cm，则B到平面PAC的距离为________．

解析：

连接BC.

∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.

又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，

∴PA⊥BC，又∵PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，C为垂足，

∴BC即为B到平面PAC的距离．

在Rt△ABC中，

BC＝＝＝（cm）．

答案：

cm

16．下列说法中正确的是________．

①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；

②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；

③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；

④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．

解析：

由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确．因为经过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．故③错误．

答案：

①②④

三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

证明：

（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，∴EF∥PD，

又∵P，D∈面PCD，E，F∉面PCD，

∴直线EF∥平面PCD.

（2）∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，

∴BF⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，

∴BF⊥面PAD，∴平面BEF⊥平面PAD.

18．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为BD的中点，G在CD上，且CG＝，H为C1G的中点，

求：

（1）FH的长；

（2）三角形FHB的周长．

解：

如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，则有D（0,0,0），B（1，1,0），G（0，，0），C1（0,1，1）．

（1）因为F和H分别为BD和C1G的中点，

所以F（，，0），H（0，，）．

所以FH＝

＝.

（2）由

（1）可知FH＝，

又BH＝`＝，

BF＝，

所以三角形FHB的周长等于.

19.已知

（1）求的定义域;

（2）证明为奇函数;

（3）求使>0成立的x的取值范围.（14分）

19；解：

（1）

（2）证明：

中为奇函数.

（3）解:

当a>1时,>0,则，则

因此当a>1时,使的x的取值范围为（0,1）.

时,

则

解得

因此时,使的x的取值范围为（-1,0）.

20．已知圆C：

x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点O？

若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解：

法一：

假设存在且令l为y＝x＋m.

圆C化为（x－1）2＋（y＋2）2＝9，圆心C（1，－2），

则AB中点N是两直线x－y＋m＝0与y＋2＝－（x－1）的交点，即N（－，）．以AB为直径的圆过原点，|AN|＝|ON|.

又CN⊥AB，|CN|＝，

所以|AN|＝＝.

又|ON|＝，

由|AN|＝|ON|，得m＝1或m＝－4.

所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

法二：

假设存在，令y＝x＋m，

由

消去y，得2x2＋（2m＋2）x＋m2＋4m－4＝0.①

因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB.

设A（x1，y1），B（x2，y2），kOA·kOB＝·＝－1，

即x1x2＋y1y2＝0.

由方程①，得x1＋x2＝－m－1，x1x2＝.②

y1y2＝（x1＋m）（x2＋m）＝x1x2＋m（x1＋x2）＋m2，

所以x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m（x1＋x2）＋m2＝0.

把②代入，m2＋3m－4＝0.解得m＝1或m＝－4.

将m＝1和m＝－4分别代入方程①，检验得Δ>0，

所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

21.如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（1）求证：

GF∥平面ABC；

（2）求证：

平面EBC⊥平面ACD；

（3）求几何体ADEBC的体积V.

解：

（1）证明：

如图，取BE的中点H，连接HF，GH.

∵G，F分别是EC和BD的中点，

∴HG∥BC，HF∥DE.

又∵四边形ADEB为正方形，

∴DE∥AB，从而HF∥AB.

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.

∴平面HGF∥平面ABC.

∴GF∥平面ABC.

（2）证明：

∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.

又∵平面ABED⊥平面ABC，

∴BE⊥平面ABC.

∴BE⊥AC.

又∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.

∴AC⊥平面BCE.

从而平面EBC⊥平面ACD.

（3）取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，

∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a.

又平面ABED⊥平面ABC，

∴CN⊥平面ABED.

∵C－ABED是四棱锥，

∴VC－ABED＝SABED·CN＝a2·a＝a3.

22．已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

（1）此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若

（1）中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；

（3）在

（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

解：

（1）方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为

（x－1）2＋（y－2）2＝5－m，

∵此方程表示圆，

∴5－m＞0，即m＜5.

（2）

消去x得（4－2y）2＋y2－2×（4－2y）－4y＋m＝0，

化简得5y2－16y＋m＋8＝0.

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0