中考数学一轮复习二次函数的图像和性质含答案.docx

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中考数学一轮复习二次函数的图像和性质含答案

中考数学一轮复习-二次函数的图像和性质

【基础知识回顾】

一、二次函数的定义：

一般地如果y=（a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数

注意1：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的结构特征是：

1、等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是，按一次排列

2、强调二次项系数a0

二、二次函数的同象和性质：

1、二次函数y=kx2+bx+c（a≠0）的同象是一条，其定点坐标为对称轴式

2、在抛物y=kx2+bx+c（a≠0）中：

①、当a>0时，y口向，当x<时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大，

②、当a<0时，开口向当x<时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小

注意2：

注意几个特殊形式的抛物线的特点

1、y=ax2,对称轴定点坐标

2、y=ax2+k，对称轴定点坐标

3、y=a（x-h）2对称轴定点坐标

4、y=a（x-h）2+k对称轴定点坐标

三、二次函数同象的平移

注意3：

二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可

四、二次函数y=ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：

a:

开口方向向上则a0,向下则a0；｜a｜越大，开口越

b:

对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是

c:

与y轴的交点：

交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点

【名师提醒：

在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】

【重点考点例析】

考点一：

二次函数图象上点的坐标特点

例1（2016•常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：

y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）

A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2

对应训练

1．（2016•衢州）已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）

A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1

考点二：

二次函数的图象和性质

例2（2016•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：

①它的图象与x轴有两个公共点；

②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；

④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．

其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）

对应训练

2．（2016•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：

①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；

其中正确结论是（　　）

A．①②B．②③C．③④D．①④

1．解：

①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；

②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=，故本小题错误；

③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=，故本小题错误；

④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），

∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，

∴B（-5，3），C（5，3）

∴AB=6，AC=4，

∴2AB=3AC，故本小题正确．

故选D．

考点三：

抛物线的特征与a、b、c的关系

例3（2016•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：

①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，

则正确的结论是（　　）

A．①②B．①③C．②④D．③④

思路分析：

由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项．

解：

由抛物线与y轴的交点位置得到：

c＞1，选项①错误；

∵抛物线的对称轴为x==1，∴2a+b=0，选项②正确；

由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误；

令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，

∵方程的两根为x1，x2，且=1，及=2，

∴x1+x2==2，选项④正确，

综上，正确的结论有②④．

故选C

点评：

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．

对应训练

3．（2016•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=．下列结论中，正确的是（　　）

A．abc＞0B．a+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b

3．D

3．解：

A、∵开口向上，

∴a＞0，

∵与y轴交与负半轴，

∴c＜0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0，

故本选项错误；

B、∵对称轴：

x==，

∴a=b，

故本选项错误；

C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，

故本选项错误；

D、∵对称轴为x=，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，

∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜-2，

∴当x=-2时，4a-2b+c＜0，

即4a+c＜2b，

故本选项正确．

故选D．

考点四：

抛物线的平移

例4（2016•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x+1）2-1B．y=（x+1）2+1C．y=（x-1）2+1D．y=（x-1）2-1

思路分析：

首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：

左加右减，上加下减可得解析式．

解：

∵A在直线y=x上，

∴设A（m，m），

∵OA=，

∴m2+m2=（）2，

解得：

m=±1（m=-1舍去），

m=1，

∴A（1，1），

∴抛物线解析式为：

y=（x-1）2+1，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：

左加右减，上加下减．

对应训练

4．（2016•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．

4．解：

原式可化为：

y=（x+1）2-4，

由函数图象平移的法则可知，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；

函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；

将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．

故答案为：

①③．

【聚焦山东中考】

1．（2016•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限

2．（2016•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（　　）

A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1

C．当x=-1时，y的值大于1D．当x=-3时，y的值小于0

2．D

2．解：

A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；

B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；

C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y的值小于x=-1时，y的值1，即当x=-1时，y的值小于1；故本选项错误；

D、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．

故选D．

3．（2016•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A．B．C．D．

3．C

3．解：

∵二次函数图象开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴x=＜0，

∴b＜0，

∵二次函数图象经过坐标原点，

∴c=0，

∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数位于第二四象限，

纵观各选项，只有C选项符合．

故选C．

4．（2016•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2

4．A

4．解：

∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a，如右图，

∴对称轴是x=-1，

∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），

那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，

于是y1＞y2＞y3．

故选A．

5．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：

①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．A

5．解：

①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；

②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；

③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；

④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；

综上所述，说法正确的有④共1个．

故选A．

6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：

①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：

b：

c=-1：

2：

3．其中正确的是（　　）

A．①②B．②③C．③④D．①④

6．解：

由二次函数图象与x轴有两个交点，

∴b2-4ac＞0，选项①正确；

又对称轴为直线x=1，即=1，

可得2a+b=0（i），选项②错误；

∵-2对应的函数值为负数，

∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，选项③错误；

∵-1对应的函数值为0，

∴当x=-1时，y=a-b+c