人教A版高中数学选修一第二章推理与证明.docx
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人教A版高中数学选修一第二章推理与证明
第二章推理与证明
2.1.1合情推理与演绎推理
（1）
归纳推理
【要点梳理】
1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为
任何推理包括和两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们
是什么，是根据前提推得的命题，它告诉我们是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为，它的思维过程是
3、归纳推理有如下特点
（1）归纳推理的前提是几个已知的现象，归纳所得的结论是尚属未知的现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）
（3）归纳推理是一种具有的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】
1、运用归纳推理的一般步骤是什么？
首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？
标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？
S1具有P；S2具有P；……；Sn具有P（S1、S2、…、Sn是A类事件的对象）
所以A类事件具有P
【典型例题】
例1、设，则
A、B、C、D、
【解析】：
故可猜测是以4为周期的函数，有
故选C
【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
例2、根据所给数列前几项的值：
猜想数列的通项公式。
【解析】：
于是猜想给数列的通项公式：
【点评】根据数列中前几项给出数列的一个通项公式，主要是对数列特征进行认真观察，结合常见数列的通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律。
例3、在某报《自测健康状况》的报道中，自自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空格内
年龄（岁）
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压（水银柱/毫米）
110
115
120
125
130
135
145
舒张压（水银柱/毫米）
70
73
75
78
80
83
88
【解析】：
从题目所给数据规律可以看到：
收缩压是等差数列，舒张压的数据变化也很有规律：
随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140，85
【点评】本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学的能力，它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。
【阶梯练习】
★基础练习★
1、等式（）
A、n为任何正整数时都成立
B、仅当时成立
C、当时成立，时不成立
D、仅当时不成立
2、已知数列的前n项和为，且，试归纳猜想出的表达式为（）
A、B、C、D、
3、在等差数列中，首项为，公差为d，则有
我们可以得出：
4、从1=1，…，概括出第n个式子为
★能力训练★
5、设，则，
…
6、多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V、E、F三者之间的关系为
7、设平面内有n条直线（），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这n条直线交点的个数，则=，当n>4时=（用n表示）
8、已知，观察下列立方和试归纳出上述求和的一般公式？
2.1.2合情推理与演绎推理
（2）
类比推理
【要点梳理】
1、根据两个（或两类）对象之间在某些方面的，推演出它们在其他方面也，象这样的推理通常称为，简称
2、数学活动中常用的合情推理是和
3、合情推理是根据以及
等推测某些结果的推理过程。
【指点迷津】
1、类比推理的思维过程是什么？
观察、比较联想、类推猜测新的结论
2、类比推理的一般步骤是什么？
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
3、类比推理的特点是什么？
（1）类比推理是从特殊到特殊的推理
（2）类比推理是从人么已经掌握了的事物特征，推测出正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠。
（3）类比推理以旧的知识作基础，推测性的结果，具有发现的功能。
【典型例题】
例1、类比圆的下列特征，找出球的相关特征
（1）平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆；
（2）平面内不共线的3个点确定一个圆
（3）圆的周长和面积可求
（4）在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆的方程为
【解析】：
（1）在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；
（2）空间中不共面的4个点确定一个球；
（3）球有表面积与体积；
（4）在空间直角坐标系中，以点为球心，r为半径的球的方程为
【点评】
例2、在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：
在等比数列中，若，则有等式成立。
【解析】：
在等差数列中，由，得
所以即
又
若，同理可得
相应地等比数列中，则可得：
【点评】已知性质成立的理由是应用了“等距和”性质，故类比等比数列中，相应的“等距积”性质，即可求解。
【阶梯练习】
★基础练习★
1、三角形的面积为为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）
A、B、
C、（分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内接球的半径）D、
2、归纳推理和类比推理的相似之处为（）
A、都是从一般到一般B、都是从一般到特殊
C、都是从特殊到特殊D、都不一定正确
3、下列说法正确的是（）
A、合情推理就是正确的推理B、合情推理就是归纳推理
C、归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D、类比推理是从特殊到特殊的推理过程
4、动物和植物的机体都是细胞组成的；植物细胞中有细胞核，所以动物细胞中也有细胞核。
以上推理是推理
★能力训练★
5、在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线；类比在空间中：
（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？
（2）到已知平面相等的点的轨迹是什么？
6、类比正弦、余弦有关公式的形式，对于给定的两个函数，写出一个正确的运算公式。
7、在等差数列中，若，，则，通过类比，提出等比数列的一个猜想。
8、平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：
“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题。
★链接高考★
9、（2003年高考）在平面几何里，有勾股定理：
“设的两边AB、AC互相垂直，则。
”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得妯的正确结论是：
“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则”
2.1.3合情推理与演绎推理（3）
演绎推理
【要点梳理】
1、我们把的命题推演出命题的推理方法，称为推理，简称演绎法。
2、是演绎推理的主要形式，常用格式为
3、演绎推理具有如下特点：
（1）演绎推理是，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的
结论完全蕴涵于前提之中；
（2）在演绎推理中，和之间存在必然联系，只要是真实的，推理的是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中
的工具；
（3）演绎推理是一种的思维方法，它较少创造性，但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。
【指点迷津】
1、什么是大前提、小前提？
三段论中包含了3个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象。
2、三段论中的大前提、小前提能省略吗？
在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式。
3、演绎推理是否能作为严格的证明工具？
能。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
因此可以作为证明工具。
【典型例题】
例1、用三段论的形式写出下列演绎推理
（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直
（2）若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角
（3）是有理数
（4）是周期函数
【解析】
（1）每个菱形的对角线相互垂直（大前提）
正方形是菱形（小前提）
所以，正方形的对角线相互垂直（结论）
（2）两个角是对顶角则两角相等（大前提）
和不相等（小前提）
所以，不是对顶角（结论）
（3）所有的循环小数是有理数（大前提）
是循环小数（小前提）
所以，是有理数（结论）
（4）三角函数是周期函数（大前提）
是三角函数（小前提）
所以，是周期函数（结论）
例2、指出下列推理中的错误：
（1）自然数是整数（大前提）
—6是整数（小前提）
所以，—6是自然数（结论）
（2）中国的大学分布在中国各地（大前提）
北京大学是中国的大学（小前提）
所以，北京大学分布在中国的各地（结论）
【解析】
（1）推理形式错误，M是“自然数”，P是“整数”，S是“—6”，故按规则“—6”应是自然数（M）（此时它是错误的小前提），推理形式不对，所得结论是错误的
（2）推理形式错误。
大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中M虽然也是“中国大学”，但它表示的是中国一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得大错误的结论。
【点评】做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M是P，S是M，S是P。
例3、已知，求证：
求证：
，
从而有
即
【点评】本题的关键在于找准突破口，合理选择方法。
【阶梯练习】
★基础练习★
1、“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）是3的倍数（P）。
”上述推理是（）
A、小前提错B、结论错C、正确的D、大前提错
2、“
（1）一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，
（2）这个错误的推理不是前提不成立，（3）所以这个错误的推理是推理形式不正确”，以上三段论是（）
A、大前提错B、小前提错C、结论错D、正确的
3、三段论“
（1）只有船准时起航，才能准时到达目的港，
（2）这艘船是准时到达目的港的，（3）所以这艘船是准时起航的”中“小前提”是（）
A、
（1）B、
（2）C、
（1）
（2）D、（3）
4、“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”补充以上推理的大前提（）
A、正方形都是对角线相等的四边形B、矩形都是对角线相等的四边形
C、等腰梯形都是对角线相等的四边形D、矩形都是对边平行且相等的四边形
★能力训练★
5、“因对数函数是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以是增函数（结论）。
”上面的推理的错误是（）
A、大前提错导致结论错B、小前提错导致结论错
C、推理形式错导致结论错D、大前提和小前提都错导致结论错
6、补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，
又因为a与b互为相反数且
所以b=8
（
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