人教A版高中数学选修一第二章推理与证明.docx

1、人教A版高中数学选修一第二章推理与证明第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。 是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是 3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。（填“能”或

2、“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。3、归纳推理的一般模式是什么？S1具有P；S2具有P；Sn具有P（S1、S2、Sn是A类事件的对象）所以A类事件具有P【典型例题】例1、设，则A、 B、 C、 D、【解析】： 故可猜测是以4为周期的函数，有 故选C【点评】归纳

3、推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。例2、根据所给数列前几项的值：猜想数列的通项公式。【解析】： 于是猜想给数列的通项公式： 【点评】根据数列中前几项给出数列的一个通项公式，主要是对数列特征进行认真观察，结合常见数列的通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律。例3、在某报自测健康状况的报道中，自自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空格内年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱/毫米

4、）110115120125130135145舒张压（水银柱/毫米）70737578808388【解析】：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列，舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140，85【点评】本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学的能力，它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。【阶梯练习】基础练习1、等式 （ ）A、 n为任何正整数时都成立B、 仅当时成立C、 当时成立，时不成立D、 仅当时不成立2、已知数列的前n项和为，且，试归

5、纳猜想出的表达式为（ ）A、 B、 C、 D、3、在等差数列中，首项为，公差为d，则有 我们可以得出： 4、从1=1，概括出第n个式子为 能力训练5、设，则 ， 6、多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V、E、F三者之间的关系为 7、设平面内有n条直线（），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这n条直线交点的个数，则= ，当n4时= （用n表示）8、已知，观察下列立方和试归纳出上述求和的一般公式？2.1.2 合情推理与演绎推理(2)类比推理【要点梳理】1、根据两个（或两类）对象之间在某些方面的 ，推演出它们在其他方面也 ，象这样的推理通常称为 ，简称 2、数学活

6、动中常用的合情推理是 和 3、合情推理是根据 以及 等推测某些结果的推理过程。【指点迷津】1、类比推理的思维过程是什么？ 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论2、类比推理的一般步骤是什么？（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。3、类比推理的特点是什么？（1） 类比推理是从特殊到特殊的推理（2） 类比推理是从人么已经掌握了的事物特征，推测出正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠。（3） 类比推理以旧的知识作基础，推测性的结果，具有发现的功能。【典型例题】 例1、类比圆的下列特征，找出球的相关特

7、征（1） 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆；（2） 平面内不共线的3个点确定一个圆（3） 圆的周长和面积可求（4） 在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆的方程为【解析】：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球； （2）空间中不共面的4个点确定一个球； （3）球有表面积与体积； （4）在空间直角坐标系中，以点为球心，r为半径的球的方程为【点评】例2、在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立。【解析】：在等差数列中，由，得所以 即又 若，同理可得相应地等比数列中，则可得： 【点评】已知性质成立的理由是应用了“等距和”性质，故类比

8、等比数列中，相应的“等距积”性质，即可求解。【阶梯练习】基础练习1、三角形的面积为为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ ）A、 B、 C、（分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内接球的半径） D、2、归纳推理和类比推理的相似之处为 （ ）A、都是从一般到一般 B、都是从一般到特殊C、都是从特殊到特殊 D、都不一定正确3、下列说法正确的是（ ）A、合情推理就是正确的推理 B、合情推理就是归纳推理C、归纳推理是从一般到特殊的推理过程D、类比推理是从特殊到特殊的推理过程4、动物和植物的机体都是细胞组成的；植物细胞中有细胞核，所以动物细胞中也有细胞核。以上推

9、理是 推理能力训练5、在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线；类比在空间中：（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？（2）到已知平面相等的点的轨迹是什么？6、类比正弦、余弦有关公式的形式，对于给定的两个函数，写出一个正确的运算公式。7、在等差数列中，若，则，通过类比，提出等比数列的一个猜想。8、平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题。链接高考 9、（2003年高考）在平面几何里，有勾股定理：“设的两边AB、AC互相垂直，则。”拓展到空间

10、，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得妯的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ”2.1.3 合情推理与演绎推理(3)演绎推理【要点梳理】1、我们把 的命题推演出 命题的推理方法，称为 推理，简称演绎法。2、 是演绎推理的主要形式，常用格式为 3、演绎推理具有如下特点：（1）演绎推理是 ，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的 结论完全蕴涵于前提之中；（2）在演绎推理中， 和 之间存在必然联系，只要 是真实的，推理的 是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中 的工具；（3）演绎推理是一种 的思维方法，它较少创造性

11、，但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。【指点迷津】1、什么是大前提、小前提？ 三段论中包含了3个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象。2、三段论中的大前提、小前提能省略吗？ 在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式。3、演绎推理是否能作为严格的证明工具？ 能。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。因此可以作为证明工具。【典型例题】 例1、用三段论的形式写出下列演绎推理（1） 菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相

12、互垂直（2） 若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角（3） 是有理数（4） 是周期函数 【解析】（1）每个菱形的对角线相互垂直 （大前提）正方形是菱形 （小前提）所以，正方形的对角线相互垂直 （结论） （2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）和不相等 （小前提）所以，不是对顶角 （结论） （3）所有的循环小数是有理数 （大前提） 是循环小数 （小前提） 所以，是有理数 （结论） （4）三角函数是周期函数 （大前提）是三角函数 （小前提）所以，是周期函数 （结论） 例2、指出下列推理中的错误：（1）自然数是整数 （大前提） 6是整数 （小前提） 所以，6是自然数 （

13、结论）（2）中国的大学分布在中国各地 （大前提） 北京大学是中国的大学 （小前提） 所以，北京大学分布在中国的各地 （结论）【解析】（1）推理形式错误，M是“自然数”，P是“整数”，S是“6”，故按规则“6”应是自然数（M）（此时它是错误的小前提），推理形式不对，所得结论是错误的（2）推理形式错误。大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中M虽然也是“中国大学”，但它表示的是中国一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得大错误的结论。 【点评】做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M是P，S是M，S是P。例3、已知，求证： 求证： ， 从而

14、有 即 【点评】本题的关键在于找准突破口，合理选择方法。【阶梯练习】基础练习1、 “所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）是3的倍数（P）。”上述推理是 （ ）A、小前提错 B、结论错 C、正确的 D、大前提错 2、“（1）一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，（2）这个错误的推理不是前提不成立，（3）所以这个错误的推理是推理形式不正确”，以上三段论是 （ ） A、大前提错 B、小前提错 C、结论错 D、正确的 3、三段论“（1）只有船准时起航，才能准时到达目的港，（2）这艘船是准时到达目的港的，（3）所以这艘船是准时起航的”中“小前提”

15、是 （ ） A、（1） B、（2） C、（1）（2） D、（3） 4、“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”补充以上推理的大前提（ ）A、正方形都是对角线相等的四边形 B、矩形都是对角线相等的四边形C、等腰梯形都是对角线相等的四边形 D、矩形都是对边平行且相等的四边形 能力训练5、“因对数函数是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以是增函数（结论）。”上面的推理的错误是（ ）A、大前提错导致结论错 B、小前提错导致结论错C、推理形式错导致结论错 D、大前提和小前提都错导致结论错6、补充下列推理的三段论：（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且 所以b=8 （