高考数学总复习作业64椭圆二.docx

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高考数学总复习作业64椭圆二

题组层级快练（六十四）

1．已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M（1，－1），则E的方程为（　　）

A.＋＝1　　　　　B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

答案　D

解析　kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.

2．（2018·南昌二模）已知椭圆：

＋x2＝1，过点P（，）的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（　　）

A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0

C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0

答案　B

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x12－x22＝0，得＋（x1－x2）（x1＋x2）＝0，又弦AB被点P（，）平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9（x－），即9x＋y－5＝0.

3．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是（　　）

A．3B.

C．2D.

答案　D

解析　设椭圆＋＝1上的点P（4cosθ，2sinθ），则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，∴dmax＝＝.

4．（2018·广东梅州阶段测评）已知椭圆E：

＋＝1的一个顶点C（0，－2），直线l与椭圆E交于A，B两点，若E的左焦点F1为△ABC的重心，则直线l的方程为（　　）

A．6x－5y－14＝0B．6x－5y＋14＝0

C．6x＋5y＋14＝0D．6x＋5y－14＝0

答案　B

解析　由题意知F1（－1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则∴①

设M为AB的中点，则M（－，1）．

由作差得＋＝0，

将①代入上式得＝.

即k＝，由点斜式得，直线方程为y－1＝（x＋），即6x－5y＋14＝0.

5．（2018·广西南宁、梧州摸底联考）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），将x＝－c代入椭圆方程得y＝±.设A（－c，），C（x，y），由S△ABC＝3S△BCF2，可得＝2，即有（2c，－）＝2（x－c，y），即2c＝2x－2c，－＝2y，可得x＝2c，y＝－，代入椭圆方程可得＋＝1.由e＝，b2＝a2－c2，得4e2＋－e2＝1，解得e＝，故选A.

6．已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A，B两点．若向量＝3，则k＝（　　）

A．1B.

C.D．2

答案　B

解析　设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为＝3，故y1＝－3y2.因为e＝，设a＝2t，c＝t，b＝t，故x2＋4y2－4t2＝0，直线AB的方程为x＝sy＋t.代入消去x，所以（s2＋4）y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，－2y2＝－，－3y22＝－，解得s2＝，又k＝，则k＝.故选B.

7．已知直线l：

y＝k（x＋2）与椭圆x2＋9y2＝9交于A，B两点，若|AB|＝2，则k＝________．

答案　±

解析　椭圆x2＋9y2＝9即椭圆＋y2＝1，所以椭圆的焦点坐标为（±2，0）．因为直线y＝k（x＋2），所以直线过椭圆的左焦点F（－2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝k（x＋2）代入椭圆x2＋9y2＝9，可得（1＋9k2）x2＋36k2x＋72k2－9＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝·＝，因为|AB|＝2，所以＝2，所以k＝±.

8．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．

答案　－

解析　由点差法可求出k1＝－·，

∴k1·＝－，即k1k2＝－.

9．（2018·河北唐山期末）设F1，F2为椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________．

答案　＋＝1

解析　由△F2AB是面积为4的等边三角形知AB垂直x轴，得＝×2c，×2c×＝4，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所以的椭圆方程为＋＝1.

10．椭圆Γ：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

答案　－1

解析　由直线y＝（x＋c）知其倾斜角为60°，

由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.

故|MF1|＝c，|MF2|＝c.

又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴（＋1）c＝2a.

即e＝＝－1.

11．已知椭圆＋＝1（0

答案　3

解析　已知在椭圆＋＝1（0

12．（2018·衡水中学调研卷）过椭圆＋y2＝1的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G的横坐标的取值范围为________．

答案　（－，0）

解析　设直线AB的方程为y＝k（x＋1）（k≠0），代入＋y2＝1，整理得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝（4k2）2－4（1＋2k2）×（2k2－2）＝k2＋1>0.设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），则x1＋x2＝－，y1＋y2＝，∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－（x－x0）．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.∵k≠0，∴－

13．（2018·江苏泰州中学月考）已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1（a>b>0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为________．

答案　

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（a2＋b2）x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，

Δ＝4a4－4（a2＋b2）（a2－a2b2）>0，可得a2＋b2>1且

∵OA⊥OB，∴·＝x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－（x1＋x2）＋1＝0，

∴－＋1＝0，整理得a2＋b2＝2a2b2，a2＋a2－c2＝2a2（a2－c2），

2a2－a2e2＝2a2（a2－a2e2），2a2＝＝1＋，

∵e∈[，]，∴2a2∈[，5]，即amax＝＝.

14．已知椭圆C：

＋＝1，过椭圆C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，求直线AB的斜率．

答案　

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），同时设PA的方程为y－＝k（x－1），代入椭圆方程化简得（k2＋2）x2－2k（k－）x＋k2－2k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解．因此x1＝，y1＝，由－k代替x1，y1中的k，得x2＝，y2＝，所以＝.

15．设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（1）求|AB|；

（2）若直线l的斜率为1，求实数b的值．

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

（2）l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组

化简，得（1＋b2）x2＋2cx＋1－2b2＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|.

即＝|x2－x1|.

则＝（x1＋x2）2－4x1x2＝－＝，解得b＝.

16．（2018·广东六校联盟二联）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（－3，0），F2（3，0），直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．

（1）若△AF1F2的周长为4＋6，求椭圆的标准方程；

（2）若|k|>，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．

答案　

（1）＋＝1　

（2）

解析　

（1）由题意得解得a＝2.

结合a2＝b2＋c2，解得a2＝12，b2＝3.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）由消去y，得（b2＋a2k2）x2－a2b2＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝0，x1x2＝，易知，AF2⊥BF2.

因为＝（x1－3，y1），＝（x2－3，y2），

所以·＝（x1－3）（x2－3）＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋9＝0，

即＋9＝0，

将其整理为k2＝＝－1－.

因为|k|>，所以12

所以离心率

17．（2018·杭州市二中模拟）已知椭圆E的两个焦点分别为F1（－1，0）和F2（1，0），离心率为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l：

y＝x＋m（m≠0）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

答案　

（1）＋y2＝1　

（2）

解析　

（1）根据题意得解得

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立化简得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

∵直线与椭圆有两个不同的交点，

∴Δ＝（4m）2－12（2m2－2）>0，

即－

由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，

x1x2＝.

设AB的中点为C，xC＝＝－，yC＝xC＋m＝.

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－（x＋）．

∴点T的坐标为（－，0）．

T到直线AB的距离d＝＝|m|，

由弦长公式得|AB|＝＝.

∴S△TAB＝×|m|×＝≤，

当m2＝，即m＝±∈（－，）时等号成立．

∴S△TABmax＝.

1．由椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2（a>b>0）的顶点B（0，－b）引一条弦BP，当a≥b时，|BP|的最大值为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　设P（x，y），因为x2＝a2－y2（－b

2．（2018·广西来宾高中模拟）已知椭圆C：

＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是（　　）

A．[，]B．[，]

C．[，1]D．[，2]

答案　A

解析　由题易知A1（－2，0），A2（2，0），设P（x，y），直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝·＝＝＝－，所以k1＝－×.因为k2∈[－2，－1]，所以k1∈[，]，故选A.

3．已知椭圆具有如下性质：

若椭圆的方程为＋＝1（a>b>0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：

＋＝1（a>b>0），其焦距为2，且过点（1，），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为（　　）

A.B.

C.D．2

答案　B

解析　由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，将点（1，）代入椭圆方程，可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即椭圆的方程为＋y2＝1，设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1，令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xC＝，所以S△OCD＝··＝，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>0，y2>0，＋y22＝1，即有＝＝＋≥2＝，即S△OCD≥，当且仅当＝y22＝，即点B的坐标为（1，）时，△OCD面积取得最小值，故选B.

4．已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的一个顶点A（2，0），离心率为，直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M，N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当△AMN的面积为时，求实数k的值．

答案　

（1）＋＝1　

（2）k＝±1

解析　

（1）∵a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝.

椭圆C：

＋＝1.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由消y，得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0.

∵直线y＝k（x－1）恒过椭圆内一点（1，0），

∴Δ>0恒成立．

由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.

S△AMN＝×1×|y1－y2|＝×|kx1－kx2|

＝＝＝.

即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.

5．（2018·河北保定期末）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的右焦点为（1，0），离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P（0，3）的直线m与C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的方程．

答案　

（1）＋＝1　

（2）y＝－x＋3或y＝x＋3

解析　

（1）椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的焦点在x轴上，右焦点为（1，0），则c＝1，

由椭圆的离心率e＝＝，得b2＝a2－c2＝3，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）若直线m的斜率不存在，可得点A的坐标为（0，），点B的坐标为（0，－），显然不满足条件，故此时方程不存在．