高考数学独立检验专题补充作业.docx
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高考数学独立检验专题补充作业
1．随着我国经济的高速发展，很多城市空气污染较为严重，应当注重环境的治理，现随机抽取某市一年（365天）内100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表：
AQI指数
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，300]
（300，+∞）
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
5
15
18
22
15
25
若本次抽取的样本数据有40天是在供暖季，这40天中有15天为严重污染．
（1）完成下面的2×2列联表：
非严重污染
严重污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
（2）判断是否有97.5%以上的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关．
附：
，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】
（1）利用已知条件求出联列表即可．
（2）利用公式求解K2，即可判断是否有97.5%以上的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关．
【解答】解：
（1）
非严重污染
严重污染
合计
供暖季
25
15
40
非供暖季
50
10
60
合计
75
25
100
（2）
≈5.556＞5.024．
答：
有97.5%以上的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关．
2．2020年，海南省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．
为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查．
（1）已知抽取的n名学生中含女生45人，求n的值及抽取到的男生人数；
（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在
（1）的条件下抽取到n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的2×2列联表：
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
10
女生
25
总计
请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？
说明你的理由；
（3）在抽取到的45名女生中按分层抽样再抽出9名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这9名女生中再抽取4人，设这4人中含选择“地理”的人数为X，求X的分布列及期望．
P（K2≥k）
0.05
0.01
k
3.841
6.635
参考公式：
K2＝
【分析】
（1）由分层抽样的性质能求出n和抽取的男生人数．
（2）作出2×2列联表，求出X2≈8.1289＞6.635，从而有99%的把握认为选择科目与性别有关．
（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数X可为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望E（X）．
【解答】解：
（1）由题意得：
，解得n＝100，
男生人数为：
550×
＝55人．…………（2分）
（2）2×2列联表为：
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
45
10
55
女生
25
20
45
总计
70
30
100
＞6.635
所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．…………………………（7分）
（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，
9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数X可为0，1，2，3，4．
设事件X发生概率为P（X），
则P（X＝0）＝
，
，
，
，
，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
期望E（X）＝
．…………（12分）
【点评】本题考查分层抽样、独立检验的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
3．“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”．他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
58608520732667987325843032167453117549860
87536450729048501022397637988917664215980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别：
A（0﹣2000步）（说明：
“0﹣2000”表示大于等于0，小于等于2000．下同），B（2000﹣5000步），C（5001﹣8000步），D（8001﹣10000步），E（10001步及以上E），且B，D，E三种类别人数比例为1：
3：
4，将统计结果绘制如图所示的柱形图．
若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型“，否则被系统认定为“进步型”．
（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001﹣10000步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？
卫健型
进步型
总计
男
20
女
20
总计
40
（3）若从杨老师当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查，然后再从这5位好友中选取2人进行访谈，求至少有一位女性好友的概率
附：
K2＝
，
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
【分析】
（1）由条形统计图，以及对应的比例，得到男性各个类别的人数，从而得到频率，再得到频率．
（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
（3）先列出所有选取基本事件，再从中选取符合要求的基本事件，得到概率．
【解答】解：
（1）在样本数据中，男性朋友B类别设为x人，
则由题意可知1+x+3+3x+4x＝20，
可知x＝2，故B类别有2人，类D别有6人，
E类别有8人，走路步数在5000～10000步的包括C、D两类别共计9人；
女性朋友走路步数在5000～10000步共有16人．
用样本数据估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，则：
＝375人．
（2）根据题意在抽取的40个样本数据的2×2列联表：
卫健型
进步型
总计
男
14
6
20
女
8
12
20
总计
22
18
40
得：
K2＝
＝
＜3.841，
故没有95%以上的把握认为认为“评定类型”与“性别”有关
（3）在步数大于10000的好友中分层选取5位好友，
男性有：
＝4人，记为A、B、C、D，女性1人记为e；
从这5中选取2人，基本事件是AB，AC，AD，Ae、BC、BD、Be、CD、Ce、De共10种，
这2人中至少有一位女性好友的事件是Ae，Be、Ce，De共4种，
故所求概P＝
＝
．
【点评】本题考查由频率得到频数，2×2列联表，K2的计算和判断，以及用古典概型列举所有基本事件得到概率，属于基本题型．
4．近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达919亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为100次．
（1）请填写下方的2×2的列联表，并判断：
是否可以在犯错误概率不超过10%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
100
对商品不满意
合计
200
（2）在此200次成功交易中，对商品不满意的交易按分层抽样留取4次交易，在此4次交易中再一次性随机抽取2次，求：
该2次交易均为“对服务好评”的概率．
（温馨提示：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
）
【分析】
（1）利用已知条件，列出联列表，求出k2，即可判断结果．
（2）在此200次成功交易中，对商品不满意的交易共有80种，按分层抽样留取4次交易，其中对服务好评的有3次，记为A1，A2，A3，对服务不满意的有1次，记为B1，在此4次交易中再一次性随机抽取2次，共有6种情况，求出总数，其中均为“对服务好评”的个数，然后求解概率．
【解答】解：
（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
100
20
120
对商品不满意
60
20
80
合计
160
40
200
可以在犯错误概率不超过10%的前提下，认为商品好评与服务好评无关．
（2）在此200次成功交易中，对商品不满意的交易共有80种，按分层抽样留取4次交易，其中对服务好评的有3次，记为A1，A2，A3，对服务不满意的有1次，记为B1，在此4次交易中再一次性随机抽取2次，共有6种情况，分别为：
A1A2，A1A3，A1B1，A2A3，A2B1，A3B1，
其中均为“对服务好评”的有A1A2，A1A3，A2A33种，
故概率为
．
答：
（1）犯错误概率不超过10%的前提下，认为商品好评与服务好评无关；
（2）
．
【点评】本题考查独立检验的应用古典概型概率公式的应用，考查转化思想以及计算能力．
5．环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：
空气污染指数
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，300]
（300，+∞）
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号），王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．
（1）求频率分布直方图中m的值（写出推理过程，直接写出答案不得分）；
（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；
（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
11
27
11
7
3
1
根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写以下2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
空气质量优良
空气质量污染
合计
限行前
限行后
合计
参考数据：
P（k2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.7.6
3.841
5.024
6.635
7.879
，其中n＝a+b+c+d
【分析】
（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，由频率分布直方图列出方程求解即可．
（2）通过空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3：
0.15＝2：
1，按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记做A1，A2，A3，A4，空气中度污染天气被抽取2天，记做B1，B2，再从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件的数目，事件A“至少有一天空气质量中度污染”所包含的基本事件数目，然后求解概率．
（3）利用已知条件写出列联表，然后求解k2，即可判断是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
【解答】解：
（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，
所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1，
由频率分布直方图可知：
（0.004+0.006+0.005+m）×50+0.1＝1，
∴m＝0.003．
（2）因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3：
0.15＝2：
1，
按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记做A1，A2，A3，A4，
空气中度污染天气被抽取2天，记做B1，B2，
再从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个，
事件A“至少有一天空气质量中度污染”所包含的基本事件有：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共9个，
故
．
（3）列联表如下：
空气质量优良
空气质量污染
合计
限行前
90
90
180
限行后
38
22
60
合计
128
112
240
因为
＝3.214＞2.706，
所以至少有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
【点评】本题考查古典概型的概率的求法，独立检验思想的应用，考查计算能力．
6．随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成2×2列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户．
①求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】
（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
（2）①由排列组合以及找对立面的想法，得到要求的概率．
②列出分布列，得到数学期望．
【解答】
（1）由图中表格可得2×2列联表如下：
不喜欢骑行共享单车
喜欢骑行共享单车
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算得
K2＝
≈3.03＜3.841，
所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关．
（2）视频率为概率，在我市“骑行达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为
，女“骑行达人”的概率为
．
①抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为
P＝1﹣
﹣
＝
；
②记抽出的女“骑行达人”人数为Y，则X＝500Y．由题意得Y～B（4，
），
∴P（Y＝i）＝
（i＝0，1，2，3，4），
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
3
4
P
∴X的分布列为
X
0
500
1000
1500
2000
p
所以E（Y）＝4×
＝
，
所以X的数学期望E（X）＝500E（Y）＝800元．
【点评】本题考查2×2列联表，K2的计算，排列组合求概率，以及数学期望的计算，内容丰富，属于中档题目．
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