高考数学作业90.docx

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高考数学作业90

题组层级快练（九十）

（第一次作业）

1．直线（t为参数）的倾斜角为（　　）

A．70°　　　　　　　　B．20°

C．160°D．110°

答案　B

解析　方法一：

将直线参数方程化为标准形式：

（t为参数），则倾斜角为20°，故选B.

方法二：

tanα＝＝＝tan20°，∴α＝20°.

另外，本题中直线方程若改为，则倾斜角为160°.

2．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（　　）

A.B．－

C.D．－

答案　D

3．参数方程（θ为参数）表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　A

解析　参数方程（θ为参数）表示的曲线的普通方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝4，这是圆心为（－3，4），半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.

4．（2018·皖南八校联考）若直线l：

（t为参数）与曲线C：

（θ为参数）相切，则实数m为（　　）

A．－4或6B．－6或4

C．－1或9D．－9或1

答案　A

解析　由（t为参数），得直线l：

2x＋y－1＝0，由（θ为参数），得曲线C：

x2＋（y－m）2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得m＝－4或m＝6.

5．（2014·安徽，理）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（　　）

A.B．2

C.D．2

答案　D

解析　由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝，故弦长＝2＝2.

6．（2017·北京朝阳二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4·sin（θ＋），则直线l和曲线C的公共点有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．无数个

答案　B

解析　直线l：

（t为参数）化为普通方程得x－y＋4＝0；

曲线C：

ρ＝4sin（θ＋）化成普通方程得（x－2）2＋（y－2）2＝8，

∴圆心C（2，2）到直线l的距离为d＝＝2＝r.

∴直线l与圆C只有一个公共点，故选B.

7．在直角坐标系中，已知直线l：

（s为参数）与曲线C：

（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|＝________．

答案　

解析　曲线C可化为y＝（x－3）2，将代入y＝（x－3）2，化简解得s1＝1，s2＝2，所以|AB|＝|s1－s2|＝.

8．（2017·人大附中模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ＋2sinθ＝0，若在圆C上存在一点P，使得点P到直线l的距离最小，则点P的直角坐标为________．

答案　（，－）

解析　由已知得，直线l的普通方程为y＝－x＋1＋2，圆C的直角坐标方程为x2＋（y＋1）2＝1，在圆C上任取一点P（cosα，－1＋sinα）（α∈[0，2π）），则点P到直线l的距离为d＝＝＝.∴当α＝时，dmin＝，此时P（，－）．

9．（2018·衡水中学调研）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.

（1）求曲线C的参数方程；

（2）当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．

答案　

（1）（φ为参数）

（2）（2，），（2，π）

解析　

（1）由ρ＝2sinθ－2cosθ，

可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ.

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，

化为标准方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2.

曲线C的参数方程为（φ为参数）．

（2）当α＝时，直线l的方程为化为普通方程为y＝x＋2.

由解得或

所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为（2，），（2，π）．

10．（2016·课标全国Ⅱ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x＋6）2＋y2＝25.

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．

答案　

（1）ρ2＋12ρcosθ＋11＝0

（2）或－

解析　

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.

（2）在

（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝

＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.

所以l的斜率为或－.

11．（2017·江苏，理）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

答案　

解析　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.

因为点P在曲线C上，设P（2s2，2s），

从而点P到直线l的距离d＝＝.

当s＝时，smin＝.

因此当点P的坐标为（4，4）时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值为.

12．（2018·湖南省五市十校高三联考）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：

（θ为参数）相交于不同的两点A，B.

（1）若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；

（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），求

|PA|·|PB|的值．

答案　

（1）（，）　

（2）

解析　

（1）由曲线C：

（θ为参数），可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

当α＝时，直线l的参数方程为（t为参数），

代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝6，

所以线段AB的中点对应的t＝＝3，

故线段AB的中点的直角坐标为（，）．

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得（cos2α－sin2α）t2＋6tcosα＋8＝0，

则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝||

＝||，

由已知得tanα＝2，故|PA|·|PB|＝.

13．（2018·东北三省四市二模）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是（t为参数）．

（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上的点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值．

答案　

（1）x2＋y2－4x＝0，x＋2y－3＝0　

（2）

解析　

（1）由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，

又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，

由直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为x＋2y－3＝0.

（2）因为点P的极坐标为（2，），直角坐标为（2，2），

点Q的直角坐标为（2cosα，sinα），

所以M（1＋cosα，1＋sinα），

点M到直线l的距离d＝＝|sin（α＋）|，

当α＋＝＋kπ（k∈Z），即α＝＋kπ（k∈Z）时，点M到直线l的距离d的最大值为.

14．（2018·天星大联考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos（θ＋），若直线l与曲线C交于A，B两点．

（1）若P（0，－1），求|PA|＋|PB|；

（2）若点M是曲线C上不同于A，B的动点，求△MAB的面积的最大值．

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）ρ＝2cos（θ＋）可化为ρ＝2cosθ－2sinθ，将代入，得曲线C的直角坐标方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.将直线l的参数方程化为（t为参数），代入（x－1）2＋（y＋1）2＝2，得t2－t－1＝0，设方程的解为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－1，

因而|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|

＝＝.

（2）将直线l的参数方程化为普通方程为2x－y－1＝0，设M（1＋cosθ，－1＋sinθ），

由点到直线的距离公式，得M到直线AB的距离为

d＝＝，

最大值为，由

（1）知|AB|＝|PA|＋|PB|＝，因而△MAB面积的最大值为××＝.

1．（2018·山西5月联考改编）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，]），直线l与⊙C：

x2＋y2－2x－2y＝0交于M，N两点，当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．

答案　[，4]

解析　将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，

（2＋tcosφ）2＋（＋tsinφ）2－2（2＋tcosφ）－2（＋tsinφ）＝0，

整理得，t2＋2tcosφ－3＝0，

设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2cosφ，t1·t2＝－3，

∴|MN|＝|t1－t2|＝＝，

∵φ∈[0，]，∴cosφ∈[，1]，∴|MN|∈[，4]．

2．（2018·陕西省西安地区高三八校联考）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π）．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：

（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．

答案　

（1）x2＋y2－2y＝0（或x2＋（y－1）2＝1）　

（2）（，）

解析　

（1）由ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π），可得ρ2＝2ρsinθ.

因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0（或x2＋（y－1）2＝1）．

（2）因为直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.

因为曲线C：

x2＋（y－1）2＝1是以（0，1）为圆心，1为半径的圆，设点D（x0，y0），且点D到直线l：

y＝－x＋5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：

y＝－x＋5平行，

即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，即×（－）＝－1.①

因为x02＋（y0－1）2＝1，②

由①②解得x0＝－或x0＝，

所以点D的直角坐标为（－，）或（，）．

由于点D到直线y＝－x＋5的距离最短，所以点D的直角坐标为（，）．

3．（2014·课标全国Ⅰ）已知曲线C：

＋＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

思路　

（1）利用椭圆＋＝1（a>0，b>0）的参数方程为（θ为参数），写出曲线C的参数方程．消去直线l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程．

（2）设出点P的坐标的参数形式．求出点P到直线l的距离d，则|PA|＝.转化为求关于θ的三角函数的最值问题，利用辅助角公式asinθ＋bcosθ＝sin（θ＋φ）求解．

答案　

（1）C：

（θ为参数），l：

2x＋y－6＝0

（2）|PA|max＝，|PA|min＝

解析　

（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）．

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

（2）曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，

则|PA|＝＝|5sin（θ＋α）－6|，其中α为锐角，且tanα＝.

当sin（θ＋α）＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin（θ＋α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

4．（2015·福建）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ－）＝m（m∈R）．

（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

答案　

（1）（x－1）2＋（y＋2）2＝9，x－y＋m＝0

（2）m＝－3±2

解析　

（1）消去参数t，得到圆C的普通方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.

由ρsin（θ－）＝m，得

ρsinθ－ρcosθ－m＝0.

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.

（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，

即＝2，解得m＝－3±2.

5．已知曲线C1：

（α为参数），C2：

（θ为参数）．

（1）分别求出曲线C1，C2的普通方程；

（2）若C1上的点P对应的参数为α＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：

（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．

答案　

（1）C1：

（x＋4）2＋（y－3）2＝1　C2：

＋＝1

（2），（，－）

解析　

（1）由曲线C1：

（α为参数），得（x＋4）2＋（y－3）2＝1，

它表示一个以（－4，3）为圆心，以1为半径的圆；

由C2：

（θ为参数），得＋＝1，

它表示一个中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．

（2）当α＝时，P点的坐标为（－4，4），设Q点坐标为（8cosθ，3sinθ），PQ的中点M（－2＋4cosθ，2＋sinθ）．

∵C3：

∴C3的普通方程为x－2y－7＝0，

∴d＝

＝＝，

∴当sinθ＝－，cosθ＝时，d的最小值为，

∴Q点坐标为（，－）．

（第二次作业）

1．（2018·衡水中学调研卷）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：

（φ为参数），曲线C2：

x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：

θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）．

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．

答案　

（1）ρ2＝，ρ＝2sinθ　

（2）（2，5）

解析　

（1）∵（φ为参数），∴曲线C1的普通方程为＋y2＝1，

由得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.

∵x2＋y2－2y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（2）由

（1）得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，

∴|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4（1＋sin2α）－4，

∵0<α<，∴1<1＋sin2α<2，∴6<＋4（1＋sin2α）<9，

∴|OA|2＋|OB|2的取值范围为（2，5）．

2．（2018·皖南八校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a>0，β为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ－）＝.

（1）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；

（2）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△OAB面积的最大值．

答案　

（1）a＝1　

（2）

解析　

（1）由题意知，曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，

直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.

由直线l与圆C只有一个公共点，可得＝a，

解得a＝1，a＝－3（舍）．所以a＝1.

（2）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且∠AOB＝，由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a.

又|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos≥|OA|·|OB|，

所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin≤×3a2×＝，

所以△OAB面积的最大值为.

3．（2018·福建质检）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2sinθ，曲线C3：

θ＝（ρ>0），A（2，0）．

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．

答案　

（1）ρ＝4cosθ　

（2）－

解析　

（1）曲线C1的普通方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，

所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ.

（2）方法一：

依题意，设点P，Q的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，）．

将θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2，

将θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，

所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1，

点A（2，0）到曲线θ＝（ρ>0）的距离d＝|OA|sin＝1.

所以S△APQ＝|PQ|·d＝×（2－1）×1＝.

方法二：

依题意，设点P，Q的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，）．

将θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2，得|OP|＝2，

将θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，即|OQ|＝1.

因为A（2，0），所以∠POA＝，

所以S△APQ＝S△OPA－S△OQA

＝|OA|·|OP|·sin－|OA|·|OQ|·sin

＝×2×2×－×2×1×

＝－.

4．（2018·河北保定模拟）在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.

（1）求曲线C2的参数方程；

（2）过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．

答案　

（1）（θ为参数）　

（2）y＝x

解析　

（1）由ρ＝2，得ρ2＝4，因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

由题可得曲线C2的方程为＋y2＝1.

所以曲线C2的参数方程为（θ为参数）．

（2）设四边形ABCD的周长为l，点A（2cosθ，sinθ），

则l＝8cosθ＋4sinθ＝4（cosθ＋sinθ）＝4sin（θ＋φ），

其中cosφ＝，sinφ＝.

所以当θ＋φ＝2kπ＋（k∈Z）时，l取得最大值，最大值为4.

此时θ＝2kπ＋－φ（k∈Z），

所以2cosθ＝2sinφ＝，sinθ＝cosφ＝，

此时A（，）．

所以直线l1的普通方程为y＝x.

5．（2018·湖北鄂南高中模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P的坐标为（3，），求|PA|＋|PB|.

答案　

（1）y＝－x＋3＋，x2＋（y－）2＝5　

（2）3

解析　

（1）由直线l的参数方程（t为参数）得直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.

由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，

即圆C的直角坐标方程为x2＋（y－）2＝5.

（2）通解：

由得x2－3x＋2＝0，

解得或

不妨设A（1，2＋），B（2，1＋），又点P的坐标为（3，）．

故|PA|＋|PB|＝＋＝3.

优解：

将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3－t）2＋（t）2＝5，即t2－3t＋4＝0.

由于Δ＝（3）2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两个实根，所以

又直线l过点P（3，），

故|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.

6．（2017·江西南昌一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．

答案　

（1）x－y－a＋1＝0，y2＝4x　

（2）或

解析　

（1）∵曲线C1的参数方程为

∴其普通方程为x－y－a＋1＝0.

∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，

∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，

∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.

（2）设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由得2t2－2t＋1－4a＝0.

Δ＝

（2）2－4×2（1－4a）>0，即a>0，由根与系数的关系得

根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，

又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2.

∴当t1＝2t2时，有，解得a＝>0，符合题意．

当t1＝－2t2时，有，解得a＝>0，符合题意．

综上所述，实数a的值为或.