平行四边形经典证明题例题讲解.docx
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平行四边形经典证明题例题讲解
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经纬教育平行四边形证明题经典例题（附带详细答案）
1．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：
AFCE．
A
D
E
B
F
C
【答案】证明：
平行四边形
ABCD中，AD∥BC，AD
BC，
ACBCAD．
又BE∥DF，
BECDFA，
△BEC≌△DFA，
CEAF
2．如图6，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，BC
6,AB3，
求四边形ABCD的周长．
【答案】20、
AD
BC
解法一:
∵AB∥CD
∴BC180
又∵BD
∴CD180
∴AD∥BC即得ABCD是平行四边形
∴ABCD3，BCAD6
∴四边形ABCD的周长262318
解法二:
AD
BC
连接AC
∵AB∥CD
∴BACDCA
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又∵BD，ACCA
∴△ABC≌△CDA
∴ABCD3，BCAD6
∴四边形ABCD的周长262318
解法三:
AD
BC
连接BD
∵AB∥CD
∴ABDCDB
又∵ABCCDA
∴CBDADB
∴AD∥BC即ABCD是平行四边形
∴ABCD3，BCAD6
∴四边形ABCD的周长262318
3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
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【关键词】多边形的内角和
【答案】设
A
x（度），则
B
x
20，
C
2x
．
根据四边形内角和定理得，
x
（x
20）
2x
60
360．
解得，x
70
．
∴A70
，
B
90，
C
140
．
4．（如图
，
E，F
是四
边
形
ABCD的对角线
AC上两点，
AFC，E
DF，
B∥ED
．
求证：
（1）△AFD≌△CEB．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
DC
E
F
AB
【关键词】平行四边形的性质,判定
【答案】证明：
（1）
DF∥BE
，
DFE
BEF
．
AFD
DFE
180°
，
CEBBEF
180°，
AFD
CEB．又
AF
C，E
DF，B
△AFD≌△CEB（SAS）．
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（2）由
（1）知△AFD≌△CEB，DACBCA，ADBC，AD∥BC．
四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，
且AEEF，BE2.
（1）求EC∶CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？
若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
ADAD
FP
F
BECBEC
【关键词】平行四边形的判定
【答案】解：
（1）AEEF
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四边形ABCD为正方形
BC90°
1390°
12
DAMABE90°，DAAB
△DAM≌△ABEDMAE
AEEP
DMPE
四边形DMEP是平行四边形．
解法②：
在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形
证明：
在AB边上取一点M，使AMBE，连接ME、MD、DP．
ADBA，DAMABE90°
Rt△DAM≌Rt△ABE
DMAE，14
1590°
2390°4590°
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AEDM
AEEP
DMEP
四边形DMEP为平行四边形
AD
54
1
M
FP
BEC
6．（2009年广州市）如图9，在ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。
证明：
四边形DECF是平行四边形。
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7．（2009年包头）已知二次函数
y
ax
2
（
a
0
）的图象经过点
A（10），，B（2，0），
bxc
C（0，2），直线x
m（m
2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线xm（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在
（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？
若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
y
Ox
【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线
abc0，
解：
（1）根据题意，得
4a2bc
0
【关键词】平行四边形的判定
，
c2.
【答案】∵D.E、F分别为AB.BC.CA的中点，
∴DF∥BC，DE∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形.
y
A
B
D
O
x
（F2）F1
E1（E2）
C
（x=m）
解得a
1，b
3，c2．
y
x2
3x
2．
（2）当△EDB∽△AOC时，
得AO
CO或
AO
CO，
ED
BD
BD
ED
∵AO1，CO2，BDm2，
当AO
CO时，得
1
2
，
ED
BD
ED
m
2
m2
∴ED，
2
∵点E在第四象限，∴
E1
2m
m，
．
2
AO
CO
1
2
ED
2m4，
当
时，得
m
2
，∴
BD
ED
ED
∵点E
在第四象限，∴
E2（m，4
2m）．
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（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则
EFAB1，点F的横坐标为m
1，
当点E1的坐标为
2m
时，点F1的坐标为
2
m
m，
m1，
2
，
2
∵点F1在抛物线的图象上，
∴2m
（m
1）2
3（m1）2，
2
∴
2m2
11m
14
0，
∴
（2m
7）（m
2）
0，
7
2（舍去），
∴m，m
2
∴F15，3，
24
∴SABEF
3
3
1
4
．
4
当点E2的坐标为（m，4
2m）时，点F2的坐标为（m
1，4
2m），
∵点F2在抛物线的图象上，
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∴42m（m1）23（m1）2，
∴m27m100，
∴（m2）（m5）0，∴m2（舍去），m5，
∴F2（4，6），
∴SABEF166．
注：
各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．
8．（2009年莆田）已知：
如图在ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA
的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。
（1）观察图形并找出一对全等三角形：
△________≌△____________，请加以证明；
E
A
E
A
D
D
M
O
M
O
B
N
B
N
F
F
CC
（2）在
（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？
（1）①△DOE≌△BOF；
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴EDOFBO，EF
又∵ODOB
∴△DOE≌△BOFAAS
②△BOM≌△DON
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴MBONDO，BMODNO
又∵BODO
∴△BOM≌△DONAAS
③△ABD≌△CDB；
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ADCB，ABCD
【关键词】四边形、全等三角形、变换又∵BDDB
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∴△ABD≌△CDBSSS
（2）绕点
O
旋转
180°
O
为中心作对称变换得到．
8分
后得到或以点
9．（2009年温州）在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是
1．按要求画平行四边形，使
它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
（1）在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；
（2）在图乙中画一个平行四边形，使
它的周长不是整数．（注：
图甲、图乙在答题纸上）
【关键词】平行四边形的性质，判定
【答案】解：
（1）
（2）
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10．（2009年中山
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