六年级下册奥数专题练习扩缩图形全国通用.docx
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六年级下册奥数专题练习扩缩图形全国通用
扩缩图形
【扩图】解题时,将几何图形扩大,有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。
例如,图4.43是一个圆心角为45°的扇形,其中的直角三角形BOC的直角边为6厘米,求阴影部分的面积。
本来,求阴影部分的面积,只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。
但是同学们暂时还未学求扇形半径R的方法,怎么办呢?
由扇形的圆心角为45°,我们不妨将其扩大一倍,如图4.44所示。
由此图可以求出三角形DOB的面积为
可知
扩大后的阴影部分面积为
56.52-72÷25=6.52-36
=20.52(平方厘米)
所以,原图所求的阴影部分的面积为
20.52÷2=10.26(平方厘米)
这是个将图形整体扩大的例子。
可否只将图形的某一个局部扩大,来求得问题的解答呢?
回答是肯定的。
例如:
如图4.45,图中的扇形半径为8厘米,圆心角为45°,求阴影部分的面积。
当然,这道题也可以将整个图形扩大一倍,去寻找答案。
不过,解题的关键是求出空白部分(三角形)的面积,我们不妨以8厘米为边长,作一个正方形,这正方形面积便是空白三角形面积的4倍(即只将局部三角形面积扩大4倍)。
于是空白的三角形面积便是
8×8÷4=16(平方厘米)
所要求的阴影部分的面积便是
【缩小研究对象】有些图形从整体上研究,由于图形较为复杂,难以一下子解决问题,若根据图形特点,缩小研究范围,往往能较快地找到答案。
例如,图4.46是一块黑白格子布,白色大正方形边长10厘米,白色小正方形边长4厘米。
这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几?
图形令人眼花缭乱,增大了解题时的难度。
不过,仔细一看,就可发现它由9块形状大小相同的图形组成,我们只要研究其中一个小图形(如图4.47)的白色图形占整个图形的百分之几,就足以解决问题了,所以,题目的解答可以是
(10×10+4×4)÷[(10+4)×(10+4)]
=116÷196
≈0.592=59.2%。
又如,图4.48是一个对称图形。
问:
图中的黑色部分与阴影部分比较,是黑色部分的面积大,还是阴影部分的面积大?
因它是个对称图形,可如图中虚线那样画两条直线,将它平分为四个部分。
解题时,我们不必研究整个图形,只要研究它的四分之一就行了。
角扇形的面积。
再由对称关系可知,图形中两个空白部分的大小是相等的,故用图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分,等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。
在这一等式中,既然被减数和差都相等,那么减数(黑色部分和叶形阴影部分)也必定是相等的。
于是可推出,整个图形的黑色部分和阴影部分的面积,也必定是相等的。
整除及数字整除特征
【数字整除特征】
例142□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是__。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:
能被99整除的数,一定能被9和11整除。
设千位上和个位上分别填上数字a、b,则:
各位上数字之和为[16+(a+b)]。
要使原数能被9整除,必须使[16+(a+b)]是9的倍数,即(a+b)之和只能取2或11。
又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是(8+a-b)或(b-a-8),要使原数能被11整除,必须使(8+a-b)或(b-a-8)是11的倍数。
经验证,(b-a-8)是11的倍数不合。
所以a-b=3。
又a+b=2或11,可求得a=7,b=4。
从而很容易求出商为427284÷99=4316。
例2某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三位数字依次是__。
(1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上(2520-2200)=320时,就可以了。
所以最后三位数字依次是3、2、0。
例3七位数175□62□的末位数字是__的时候,不管千位上是0到9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:
设千位上和个位上的数字分别是a和b。
则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+(b-a)]或[(a-b)-3]。
要使原数是11的倍数,只需[3+(b-a)]或[(a-b)-3]是11的倍数。
则有b-a=8,或者a-b=3。
①当b-a=8时,b可取9、8;
②当a-b=3时,b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以,当这个七位数的末位数字取7时,不管千位上数字是几,这个七位数都不是11的倍数。
例4下面这个四十一位数
55……5□99……9
(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是__。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
注意到111111÷7=15873,所以555555与999999也能被7整除。
则18个5或18个9组成的数,也能被7整除。
要使原四十一位数能被7整除,只需55□99这个五位数是7的倍数。
容易得出,中间方格内的数字是6。
【整除】
例1一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,适合这些条件的最小数是______。
(天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题)
讲析:
所求这个数分别除以3和7时,余数相同。
3和7的最小公倍数为21。
所以这个数是23。
经检验,23除以5商4余3,23是本题的答案。
例2一个整数在3600到3700之间,它被3除余2,被5除余1,被7除余3。
这个整数是__。
(《现代小学数学》邀请赛试题)
讲析:
所求整数分别除以3、5、7以后,余数各不相同。
但仔细观察可发现,当把这个数加上4以后,它就能同时被3、5、7整除了。
因为3、5和7的最小公倍数是105。
3600÷105=34余30,105-30=75,
所以,当3600加上75时,就能被3、5和7整除了。
即所求这个整数是3675。
例3在一个两位数中间插入一个数字,就变成了一个三位数。
如52中间插入4后变成542。
有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数,是原两位数的9倍。
这样的两位数共有__个。
(中南地区小学数学竞赛试题)
讲析:
因为插入一个数字后,所得的三位数是原两位数的9倍,且个位数字相同。
则原两位数的个位数字一定是0或5。
又插入的一个数字,必须小于个位数字,否则新三位数就不是原两位数的9倍了。
因此原二位数的个位不能为0,而一定是5。
结合被9整除的数字特征,不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。
例4a是一个自然数,已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除,那么这样的自然数a最小是__。
(1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题)
讲析:
a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。
则a的个位数字一定是9。
因为如果个位上不是9时,若a的各位数字之和是7的倍数,则a+1的各位数字之和除以7以后,肯定余1。
只有当a的个位上是9时,a+1之后,个位上满十后向前一位进一,a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。
联想到69,69+1=70,经适当调整可得,符合条件的最小数a是69999。
例5一个自然数被8除余1,所得的商被8除也余1,再把第二次所得的商被8除后余7,最后得到的一个商是a[见图5.43
(1)],又知这个自然数被17除余4,所得的商被17除余15,最后得到一个商是2a[见图5.43
(2)],求这个自然数。
(北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
可从最后的商步步向前推算。
由图5.43
(1)可得:
第二次商是(8a+7);第一次商是8×(8a+7)+1=64a+57;所求的自然数是8×(64a+57)+1=512a+457
由图5.43
(2)得,所求的自然数是578a+259
所以,512a+457=578a+259。
解得a=3。
故,这个自然数是512×3+457=1993。
例6某住宅区有十二家住户。
他们的门牌号分别是1、2、3、……、12。
他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数,并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。
已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。
问这一家的电话号码是什么数?
(1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题)
讲析:
设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、……,a+12。
因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除,所以数a能同时被1、2、3、……、12整除。
而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720,所以六位数中,能同时被1、2、3、……12整除的最小自然数是27720×4=110880
现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。
因为110880÷13,余数是12;27720÷13,余数是4。
也就是在110889的基础上,再加上n个27720之后的和,能被13整除的数,就是所求的数。
即12+4n,是13的倍数。
显然,当n=10时,12+4n是13的倍数。
所以,门牌号码是9的这家电话号码是:
110889+27720×10=388089。
运用图形间的等量关系
【应用弦图解题】我国古代有种图形叫做“弦图”(如图4.56所示),有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。
我国宋代著名数学家杨辉,在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中,提出了这样一个问题:
有一块长方形田,面积为864平方步(“步”是古代长度单位,1里=300步,1步=5尺),已知长比宽少12步,问:
它的长、宽共是多少步?
杨辉在该书上出示了一个弦图(如图4.57),他是用四个面积为864
共是60步。
显然,这样运用弦图来解答题目,是十分高明和十分巧妙的!
有些竞赛题也可以用弦图来巧解。
第一届“华罗庚金杯赛”中,就两次出现了应用弦图来解答的题目。
尤其是那一道决赛题:
平方米。
锯下的木条面积是多少平方米?
”
仿杨辉的解法,可假定剩下4块长方形木块,并利用它拼成了一个“弦图”,如图4.58。
于是可知,大正方形的面积为
【解纵横交错的复杂题】把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起,常常需要根据长、宽关系,找出等量关系来解答题目。
例如
如图4.59,这是由同样大小的纸片摆成的图形,小纸片宽12厘米,求阴影部分的总面积。
由图可知,5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽,所以
2个纸片长=3个纸片宽
1个纸片长=12×3÷2
=18(厘米)
进而可知,每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6(厘米)
阴影部分的总面积便是
6×6×3=108(平方厘米)
又如,“有9个长方形,它们的长、宽分别相等,用它们拼成的大长方形(如图4.60)的面积是45平方厘米,求大长方形的周长。
”
解题的关键,是求出一个小长方形的长和宽。
由5个小长方形的宽等于
形重新分割为5个小正方形,小正方形的边长,正好是小长方形的宽(如图4.61)。
所以,5个小正方形面积之和,就是四个小正方形的面积之和,即5个小正方形面积为
45÷9×4=20(平方厘米)
每个小正方形的面积为
20÷5=4(平方厘米)
显然,每个小正方形的边长(即小长方形的宽)为2厘米,小长方形的长便是
进而便可求得大长方形的周长为
[2.5×4+(2.5+2)]×2=29(厘米)。
此外,题目还可这样解答:
因为小长方形宽的5倍等于长的4倍,所以,可用(4与5的最小公倍数)20个小长方形拼成一个大的正方形(如图4.62)。
大正方形面积是
它的边长便是10厘米,则小正方形的长为
10÷4=2.5(厘米)
小正方形的宽为
10÷5=2(厘米)
于是,原来的大长方形的周长就是
(2.5×4+2.5+2)×2=29(厘米)。
【用面积线段比的关系解题】利用面积比与线段比之间的等量关系,常常能使复杂问题简单化。
例如
为什么成立?
由图中可以看出,△PBC和△ABC是同底的两个三角形,所以
又如,第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目:
“如图4.64,一个长方形地面被两条直线分成四个长方形,其中三个的面积是20公亩、25公亩和30公亩,另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少公亩?
”
图中可见,右边两个长方形是长相同的长方形,它们的面积比等于它们宽的比;同样,左边两个长方形也是长相同的长方形,它们的面积比,也等于它们宽的比。
设阴影部分面积为x公亩,由于左右两组长方形面积之比,都等于相同的宽之比,所以
即另一个(阴影部分)长方形面积为37.5公亩。