六年级下册奥数专题练习扩缩图形全国通用.docx

1、六年级下册奥数专题练习扩缩图形全国通用扩缩图形【扩图】 解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。例如，图4.43是一个圆心角为45的扇形，其中的直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分的面积。本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。但是同学们暂时还未学求扇形半径R的方法，怎么办呢？由扇形的圆心角为45，我们不妨将其扩大一倍，如图4.44所示。由此图可以求出三角形DOB的面积为可知扩大后的阴影部分面积为56.52-7225=6.52-36=20.52（平方厘米）所以，原图所求的阴影部分的面积为20.522=10.26（平方厘米）这是个将图形整

2、体扩大的例子。可否只将图形的某一个局部扩大，来求得问题的解答呢？回答是肯定的。例如：如图4.45，图中的扇形半径为8厘米，圆心角为45，求阴影部分的面积。当然，这道题也可以将整个图形扩大一倍，去寻找答案。不过，解题的关键是求出空白部分（三角形）的面积，我们不妨以8厘米为边长，作一个正方形，这正方形面积便是空白三角形面积的4倍（即只将局部三角形面积扩大4倍）。于是空白的三角形面积便是884=16（平方厘米）所要求的阴影部分的面积便是 【缩小研究对象】 有些图形从整体上研究，由于图形较为复杂，难以一下子解决问题，若根据图形特点，缩小研究范围，往往能较快地找到答案。例如，图4.46是一块黑白格子布，

3、白色大正方形边长10厘米，白色小正方形边长4厘米。这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几？图形令人眼花缭乱，增大了解题时的难度。不过，仔细一看，就可发现它由9块形状大小相同的图形组成，我们只要研究其中一个小图形（如图4.47）的白色图形占整个图形的百分之几，就足以解决问题了，所以，题目的解答可以是（101044）（104）（104）=1161960.592=59.2。又如，图4.48是一个对称图形。问：图中的黑色部分与阴影部分比较，是黑色部分的面积大，还是阴影部分的面积大？因它是个对称图形，可如图中虚线那样画两条直线，将它平分为四个部分。解题时，我们不必研究整个图形，只要研究它的四分之一就行

4、了。角扇形的面积。再由对称关系可知，图形中两个空白部分的大小是相等的，故用图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分，等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。在这一等式中，既然被减数和差都相等，那么减数（黑色部分和叶形阴影部分）也必定是相等的。于是可推出，整个图形的黑色部分和阴影部分的面积，也必定是相等的。整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 4228是99的倍数，这个数除以99所得的商是_。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为16+（a+b）。要使原数能被9整除，必须使16+（a+b）

5、是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。从而很容易求出商为42728499=4316。例2 某个七位数1993能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是_。（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。而19930002520=790余2200。于是再加上（252

6、0-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。例3 七位数17562的末位数字是_的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是3+（b-a）或（a-b）-3。要使原数是11的倍数，只需3+（b-a）或（a-b）-3是11的倍数。则有 b-a=8，或者a-b=3。当 b-a=8时，b可取9、8；当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。例

7、4 下面这个四十一位数555999（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是_。（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：注意到1111117=15873，所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。要使原四十一位数能被7整除，只需5599这个五位数是7的倍数。容易得出，中间方格内的数字是6。【整除】例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是_。（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23

8、是本题的答案。例2 一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。这个整数是_。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。因为3、5和7的最小公倍数是105。3600105=34余30，105-30=75，所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。例3 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有_个。（中南地区小学数

9、学竞赛试题）讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。例4 a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是_。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以

10、7以后，肯定余1。只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。例5 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a见图5.43（1），又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是2a见图5.43（2），求这个自然数。（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：可从最后的商步步向前推算。由图5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8（8a+7）+1=64a+57；所求的自然数

11、是8（64a+57）+1=512a+457由图5.43（2）得，所求的自然数是578a+259所以，512a+457=578a+259。解得a=3。故，这个自然数是5123+457=1993。例6 某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、3、12。他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。问这一家的电话号码是什么数？（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）讲析：设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、，a+12。因为每户的电话号码都能被

12、自己家的门牌号整除，所以数a能同时被1、2、3、12整除。而1、2、3、12的最小公倍数是27720，所以六位数中，能同时被1、2、3、12整除的最小自然数是277204=110880现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。因为11088013，余数是12；2772013，余数是4。也就是在110889的基础上，再加上n个27720之后的和，能被13整除的数，就是所求的数。即12+4n，是13的倍数。显然，当n=10时，12+4n是13的倍数。所以，门牌号码是9的这家电话号码是：110889+2772010=388089。运用图形间的等量关系【应用弦图解题】 我国古代有种图形叫做“弦图”

13、（如图4.56所示），有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。我国宋代著名数学家杨辉，在他著的田亩比类乘除捷法一书中，提出了这样一个问题：有一块长方形田，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里=300步，1步=5尺），已知长比宽少12步，问：它的长、宽共是多少步？杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57），他是用四个面积为864共是60步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！有些竞赛题也可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目。尤其是那一道决赛题：平方米。锯下的木条面积是多少平方米？”仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用

14、它拼成了一个“弦图”，如图4.58。于是可知，大正方形的面积为【解纵横交错的复杂题】 把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。例如如图4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽12厘米，求阴影部分的总面积。由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽，所以2个纸片长=3个纸片宽1个纸片长=1232=18（厘米）进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米）阴影部分的总面积便是663=108（平方厘米）又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形

15、的周长。”解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由5个小长方形的宽等于形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）。所以，5个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之和，即5个小正方形面积为4594=20（平方厘米）每个小正方形的面积为205=4（平方厘米）显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米，小长方形的长便是进而便可求得大长方形的周长为2.54（2.52）2=29（厘米）。此外，题目还可这样解答：因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个大的正方形（如图4.62）。大正方形面积是它的边长便是10厘

16、米，则小正方形的长为104=2.5（厘米）小正方形的宽为105=2（厘米）于是，原来的大长方形的周长就是（2.542.52）2=29（厘米）。【用面积线段比的关系解题】 利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题简单化。例如为什么成立？由图中可以看出，PBC和ABC是同底的两个三角形，所以又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：“如图4.64，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？”图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。设阴影部分面积为x公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。