圆周角的教学设计.docx

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圆周角的教学设计

24.1.4圆周角教学设计

【教材分析】

《圆周角》这节课是人教版九年级上册第二十四章第一节第四部分的内容，是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的，圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法。

因此本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十分重要的作用。

.所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.

【教学目标】

根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：

知识目标：

1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；

2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。

方法与过程目标：

1．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。

2．通过观察图形，提高学生的识图的能力

3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

情感态度与价值观目标:

引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

【重点与难点】

重点：

圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用．

难点：

1、认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。

2、推论的灵活应用以及辅助线的添加

【学生分析】

学生已经了解圆中的基本概念，会判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质，熟练掌握了三角形外角和定理。

初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。

因此，本节课设计了自学和探究活动，给学生提供自主探索与交流的空间，体现知识的形成过程。

【教学方法】

本节课的教学内容，推理论证的难度较大，本节又是本章的一个重点，根据学生在这个现有年龄阶段正处在感性认识逐步成熟为理性认识的初级阶段，具有好奇，好动的特点，给学生自己动手，画一画，量一量,参与整个教学过程、发现问题、讨论问题提供了很好的机会。

学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动建构。

【设计理念】

探究式学习和自主学习都是学生的重要学习方式,本课尝试做两者相结合的学习方式的指导,力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式，引导学生在自学的前提下动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时，教师通过适时的精讲、点拨，使观察、实验、猜想、验证、推理、归纳贯穿整个学习过程。

【教师准备】

《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》

【教学过程的设计】

问题情境

师生行为

设计意图

创设情境引入新课

出示问题

足球场上有句顺口溜：

“冲着球门跑越近就就越好；歪着球门跑，射点要选好”。

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两处，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？

要想知道结果请同学们跟我一起学习这节课---圆周角。

我相信学完之后大家都能回答这个问题

合作交流，探究新知

1、探究圆周角定理，并证明圆周角定理。

问题1：

①同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系？

②同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与∠ADB，∠AEB的大小关系怎样？

问题2：

㈠一条弧所对的圆周角有多少个？

圆心角呢？

圆心与圆周角的位置关系有几种？

㈡当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2所发现的结论？

㈢对于②③两种情况你也能证明吗？

2、探索圆周角定理的推论

　问题1：

画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？

它们有什么关系？

问题2：

在⊙O中，若

=

，能否得到∠C=∠G呢？

根据什么？

反过来，若∠C=∠G，是否得到

=

呢

问题3：

（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？

（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?

例题示范，应用新知

例1 如图7-30，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：

∠ACB=2∠BAC．

例2如图24.1-15,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长。

灵活应用，巩固提高

1、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度

数？

2、一条弦分圆为1：

4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？

3、如图7-33在⊙O中，DE=2BC，∠EOD=64°，求∠A的度数？

轻松过关

发放《问题训练评价单》，让学生独立完成其练习题

归纳总结，形成体系

通过这堂课的学习你有什么收获?

知道了哪些新知识？

学会了做什么

上课之前先检查学生对《问题导读评价单》的完成情况

将学生分组，然后由小组长发放《问题生成评价单》，然后小组根据评价单中的问题进行讨论，交流。

然后由组长进行汇总，选出小组代表进行发言

我们一起来完成这个结论的证明

教师演示课件或图片

教师结合示意图和圆心角的定义，引导学生得出圆周角的定义，由学生口述，教师板书：

圆周角：

顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。

强调：

定义中的两个条件缺一不可。

利用几何画板演示，让学生辨析圆周角。

接下来给学生一组辨析题：

练习1：

判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由．

教师提出问题，引导学生用度量工具量角器，动手实验进行度量，发现结论。

由学生归纳发现的规律，教师板书：

同弧所对的圆周角度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

教师提问，学生动手画，思考并回答。

教师概括：

虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况：

①圆心在圆周角的一边上、②圆心在圆周角内部、③圆心在圆周角外

部．

教师引导，学生写出已知，求证，并完成证明。

让学生分析、研究，并充分交流．

注意：

①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若

=

，则∠C=∠G；但反过来当∠C=∠G，在同圆或等圆中，可得若

=

，否则不一定成立．这时教师要求学生举出反面例子：

若∠C=∠G，则

≠

，从而得到圆周角的又一条性质

　　老师组织学生归纳：

　　同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

　　重视：

同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中”．

　　问题：

“同弧”能否改成“同弦”呢？

同弦所对的圆周角一定相等吗？

（学生通过交流获得知识）

学生通过问题3中两个问题的解决，在教师引导下得推论

　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．

教师指出：

这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握．

巩固练习1：

判断题：

1．等弧所对的圆周角相等；（   ）

2．相等的圆周角所对的弧也相等；（   ）

3．90°的角所对的弦是直径；（   ）

4．同弦所对的圆周角相等．（   ）

例1由教师引导学生结合图形分析证明思路，证明过程请一名中等生上黑板完成，其它同学把证明写在练习本上．

师生交流：

①分析解题思路；

②作辅助线的方法，充分利用直径所对的圆周角为直角

③解题推理过程（要规范）．

教师提出问题，学生讨论探究，师生共同总结规律

学生先独立解决问题,然后提出自己的看法在分组讨论,鼓励学生勇于探索实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”．

生独立完成问题评价单中的练习题，老师进行讲评，主要培养学生独立解题能力

指导学生共同小结

知识：

本节课主要学习了圆周角定理及其推论．推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握．　

能力：

在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角思想方法。

在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题．

联系生活中喜闻乐见的足球射门，创设具有挑战性的问题情境，导入新课，激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力尽快的转移到本节课的学习中来。

通过这组练习题，学生就能很快的深入理解圆周角的概念，准确的记忆圆周角的定义．

培养学生观察能力和分析问题的能力。

学生亲自动手利用度量工具进行实验，探究得出结论，调动了学生的积极性，培养了他们的归纳能力。

这一过程体现了数学中的分类讨论的思想；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中从特殊到一般的化归思想.从而让学生学会了一种分析问题解决问题的方式方法。

让学生在同一知识中变换角度思考问题，从不同的方位观察圆心角与圆周角，更深一步理解“同弧”二字的含义，培养了学生思维的深度和广度。

“同弧”能否改成“同弦”呢？

这一问题的设置培养了学生思维的严密性及对圆周角概念的进一步理解。

这组练习题的目的是强化对圆周角定理的推论1、推论2的理解，加深对推论1、推论2的理解，掌握并准确运用．

这样处理例1的目的，是让学生通过自己的思维活动得到解题思路的探索过程，由学生自己完成证明，使学生切实从应用上加深对圆周角的理解．

巩固圆周角定理及其推论，通过例2的讲解让学生明白在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。

通过自我小结，梳理知识，培养学生的归纳、概括能力，养成良好的学习习惯。

通过课堂练习，检查学生对基础知识的掌握情况，了解学生是否圆周角的定理及推论有更深刻的理解，使学生进一步巩固知识，运用知识

　　通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．

《24.1.4圆周角教学设计问题导读——评价单》

设计者：

班级：

姓名：

【教学目标】

根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：

知识目标：

1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；

2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。

方法与过程目标：

1．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。

2．通过观察图形，提高学生的识图的能力

3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

情感态度与价值观目标:

引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

【重点与难点】

重点：

圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用．

难点：

1、认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。

2、推论的灵活应用以及辅助线的添加

1.如图，BD是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点E，下列结论一定成立的是（）

A．∠ABD=∠ACDB．∠ABD=∠AODC．∠AOD=∠AEDD．∠ABD=∠BDC

2.如图，A,B,C,D是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有（）

A.2对B.4对C.8对D.16对

3.如图，

是

上三点，若

，则

的度数是（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

4．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=（）．

A．16°B．32°C．48°D．64°．

5.已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点。

求证：

MC=NC

通过预习本节内容你未解决的问题有：

自我评价：

小组评价：

教师评价：

《24.1.4圆周角教学设计问题生成——评价单》

请同学们在预习的基础上，将生成的问题充分交流后，在单位时间内完成下列题目，并准备多元化展示.

带着问题走进丰富多彩的数学世界

足球场上有句顺口溜：

“冲着球门跑越近就就越好；歪着球门跑，射点要选好”。

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两处，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？

分析上述问题中出现了一种角，这种角和圆心角不一样，这种角叫圆周角。

归纳圆周角的定义：

顶点在圆上，两边都与圆相交的角。

圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．

注意圆周角定理也是在同圆或等圆中才适用。

例1 如图7-30，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：

∠ACB=2∠BAC．

例2如图24.1-15,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长。

小组评价：

教师评价：

《24.1.4圆周角教学设计问题训练——评价单》

设计者：

班级：

姓名：

1．同圆中两弦长分别为x1和x2它们所对的圆心角相等，那么（）

A．x1＞x2B．x1＜x2C.x1＝x2D．不能确定

2．下列说法正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．在⊙O中同弦所对的圆周角（）

A．相等B．互补C．相等或互补D．以上都不对

4.一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角为________

5．如图所示，已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，

∠DOE=70°则∠BOD=___________

6．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=___________

7.如图所示，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°

（1）求证△BDE是等边三角形；

（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。

《24.1.4圆周角教学设计问题导读——评价单》答案

1、A2、C3、B4、D

5、证明：

∵弧AC和弧BC相等∴∠AOC=∠BOC又OA=OBM、N分别是OA、OB的中点∴OM=ON，又知OC=OC∴△MOC≌△NOC∴MC=NC

《24.1.4圆周角教学设计问题训练——评价单》答案

【夯实基础】

1．C2．C3．C4.60°5.125°6.50°

【拓展提升】

7.

（1）证明：

∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC∴∠BAE=∠CAE,∠ABE=∠CBE,又∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBC=∠CAE,∠EBD=∠CBE+∠DBC

∴∠BED=∠EBD,又.∵∠BDA=60°∴△BDE是等边三角形

（2）四边形BDCE是菱形.∵∠BDA=60°.∠BDC=120°∴∠EDC=60°由

（1）得△DEC是等边三角形,而△BDE是等边三角形,从而有BE=BD=DC=EC,所以四边形BDCE是菱形.