考研数学真题答案.docx
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考研数学真题答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:
1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、设函数f（x）在（-,+）连续，其2阶导函数f（x）的图形如下图所示，则曲线yf（x）的
拐点个数为（）
（A）0（B）1
（C）2（D）3
【答案】（C）
【考点】拐点的定义
【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导
数异号，因此，由f（x）的图形可知，曲线yf（x）存在两个拐点，故选（C）.
2、设y1e2xx1ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解,
23
则（）
（A）a3,b1,c1.
（B）a3,b2,c1.
（D）a3,b2,c1.（D）a3,b2,c1.
【答案】（A）
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【难易度】★★
1”1V0
【详解】—e2x,-ex为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+ab0的根，从而
23
a123,b122,再将牛I解yxex代入方程y3y2ycex得：
c1.
3、若级数an条件收敛，则x
n1
J3与x3依次为哥级数nanx1n的:
n1
（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点
【答案】（B）
【考点】级数的敛散性
【难易度】★★★
【详解】
因为an条件收敛，故x2为哥级数n1
anx1n的条件收敛点，进而得n1
anx1n的收敛半径为1,收敛区间为0,2,又由于哥级数逐项求导不改变收敛区间，故n1
nanx1n的收敛区间仍为n1
点、发散点.
3依次为哥级数nan
n1
x1n的收敛
4、设D是第一象限中曲线2xy1,4xy1与直线yx,yJ3x围成的平面区域,
函数f（x,y）
在D上连续，则f（x,y）dxdyD
1
（A）2dsin12f（rcos,rsin）rdr
42sin2
1
（C）3dsin12f（rcos,rsin）dr
42sin2
【答案】（D）
【考点】二重积分的极坐标变换
【难易度】★★★
1
（B）2dsi；2f（rcos,rsin）rdr
4」2sin2
1
（D3d、sin2f（rcos,rsin）dr
42sin2
【详解】由yx得,
］；由yJ3x得，—
2.
由2xy1得，2rcossin
1,r
由4xy1得,4r2cossin
1,r
1
.2sin2
所以f（x,y）dxdy
D
1
3dsiVf（rcos,rsin）rdr
42sin2
111
5、设矩阵A12a,b
14a2
1
d,若集合
d2
{1,2},则线性方程组Axb有无穷多个
解的充分必要条件为
（A）a,d
（B）a,d
（C）a,d（Da,d
【答案】（D）
【考点】非齐次线性方程组的解法
【难易度】★★
1111
【详解】A,b12ad
22
14ad
Axb有无穷多解
R（A）R（A,b）3
a1或a2且d1或d2
6、设二次型f（x,X2,X3）在正交变换x
Py下的标准形为
2y；
22
y2V3,其中
p（ee,e3），若Q
（e,a,0）,则f（X1,X2,X3）在正交变换x
Qy下的标准形为
（A）2y：
y2vy
（C）2y：
y2y；
【答案】（A）
【考点】二次型
【难易度】★★
222
（B）2y1V2yy
222
（D）2y1V2yy
【详解】由xPy,故f
XTAx
yT（PTAP）y
222_T_
2y1y2yy且：
PAP
200
010
001
PC,QTAQCT（PTAP）C
TATT222
所以fxAxy（QAA）y2y1y2yy,故选⑹7、若A,B为任意两个随机事件，则
（A）P（AB）P（A）P（B）
（B）P（AB）P（A）P（B）
（C）P（AB）P（A）P（B）（D）P（AB）P（A）P（B）
22
【答案】（C）
【考点】
【难易度】★★
【详解】
故选
8、设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY1,DX3,则EXXY2
（A）-3（B）3（C）-5（D）5
【答案】（D）
【考点】
【难易度】★★★
【详解】
EXXY2EX2XY2XEX2EXY2EX
DXE2XEXEY2EX5
二、填空题：
9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上
lncosx
2
9、飒
【考点】极限的计算
【难易度】★★
lncosx
2
x
limln1
x0
cosx1）
-2
x
cosx1
2
x
12x
2
2
x
X
10、
x）dx
2
【答案】一
4
【考点】积分的计算
【难易度】★★
【详解】2（sinx|x）dx2^xdx
-21cosx0
11、若函数z
z（x,y）由方程ezxyz+xcosx
2确定，则dz（0,i）
【考点】隐函数求导
【难易度】★★
【详解】令F（x,y,z）
xyzxcosx2,贝uFxyz1sinx,Fy
又当x0,y1时，z0,所以_z
x（0,1）
Fxz
—1,—
Fzy（0,1）
Fy-
一0,因而dz
Fz
（0,1）dx
12、设是由平面xyz1与三个坐标平面所围成的空间区域，则
（x2y3z）dxdydz
入1
【答案】1
4
【考点】三重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】由轮换对称性，得
1
o（x+2y+3z）dxdydz=6qzdxdydz=60zdz0dxdy
WWDz
其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为
12
1（1-z）2.所以
1
o（x+2y+3z）dxdydz=6qzdxdydz=6并
WW
2（1-z）2dz=3
2z2+z）dz=：
20L
-12L
MMO
00L
13、n阶行列式00L
02
02
MM
22
-12
【答案】2n12
【考点】行列式的计算
【难易度】★★★
【详解】按第一行展开得
2
-1
2R[+（-1广#2
n-J.\/讨T
2
-L
2（2%
+2）+2=2iD^2+22+2=2"+2,,-]+-+2
=2n+1-2
14、设二维随机变量（X,Y）服从正态分布N（1,0,1,1,0）,则P（XYY0）
入1
【答案】12
【考点】
【难易度】★★
【详解】Q（X,Y）~N（1,0,1,1,0）,
X~N（1,1）Y~N（0,1）,且X,Y独立
X1~N（0,1）PXYY0
P（X1）Y0
PX10,Y
0PX10,Y
111110
22222
三、解答题：
15〜23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数f（x）xaln（1x）bxsinx,g（x）
f（x）与g（x）在x0是等价无穷小,
求a,b,k值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算
【难易度】★★★
【详解】f（x）x
aln（1x）
bx
sinx
bx
3!
f（x）与g（x）
kx3
是等价无穷小
1
2
1
3
1+a0a
—b0b
2
akk
3
16、（本题满分10分）
设函数在f（x）定义域I上的导数大于零，若对任意的XoI,曲线yf（x）在点（％,f（Xo））处
的切线与直线xXo及x轴所围成的区域的面积为4,且f（0）2,求f（x）的表达式.
【考点】微分方程
【难易度】★★★
【详解】如下图：
处的切线方程为：
与轴的交点为：
时，，则，
因此，.即满足微分方程：
，解得：
.
又因，所以，故.
17、（本题满分10分）
已知函数f（x,y）xyxy,曲线C：
x2y2xy3,求f（x,y）在曲线C上的最大方向
导数.
【考点】方向导数，条件极值
【难易度】★★★
【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，
故
gradf（x,y）1y,1x
故f（x,y）在曲线C上的最大方向导数为v11y2（1x）2,其中x,y满足x2y2xy3,
2-222__
即就求函数z（1y）（1x）在约束条件xyxy30下的最值.
构造拉格朗日函数F（x,y,）（1y）2（1x）2（x2y2xy3）
2（1x）2x
x
令-F2（1y）2yx0可彳#（1,1）,（1,1）,（2,2）,（1,2）y
F22
—xyxy30
其中z（1,1）4,z（1,1）0,z（2,1）9z（1,2）
综上根据题意可知f（x,y）在曲线C上的最大方向导数为3.
18、（本题满分10分）
（I）设函数u（x）,v（x）可导，利用导数定义证明
[u（x）v（x）]'=u'（x）v（x）u（x）v（x）'
（n）设函数u1（x）,u2（x）...un（x）可导,f（x）u1（x）u2（x）...un（x），写出f（x）的求导公
式.
【考点】导数定义
【难易度】★★
【详解】
19、（本题满分10分）
已知曲线L的方程为zJ2xy,起点为A（0,J2,0）,终点为B（0,J2,0）,计算曲线积zx,
分IL（yz）dx（z2x2y）dy（x2y2）dz
【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★
xcos,
【详解】曲线L的参数方程为y72sin,从一到一
y,22zcos,
2222
IL（yz）dx（zxy）dy（xy）dz
2（、2sin
2
222sin2
2
2.2sin2d
2
cos）sin、.2sin.2cos（cos
13
sin2sinsind
2
2\22sin2d2.2--
0222
2sin2）sind
20、（本题满分11分）
设向量组
1,2,3是
3维向量空间？
31的一个基，
212k3，222,
31（k1）3°
（I）证明向量组
1,2,
3是？
3的一个基;
（n）当k为何值时，存在非零向量
在基
1,2,
2,
3下的坐标相同，并求出所有
【考点】线性无关，基下的坐标
【难易度】★★★
（1,
2,
2,
3）0
2k
2k
所以
3线性无关,
2,
3是？
3的一个基。
（H）设
，P为从基
3的过渡矩阵，又设在基
2k
1,2,
3下的坐标为
（X1,X2,X3）T，则在基
1,2,
1
3下的坐标为PX，
101
010
2k0k
11
2kk
1
0,并解得xc0,c为任意常数。
1
从而c1c3,c为任意常数。
21、（本题满分11分）
1-20
0b0
031
02-3
设矩阵A
-133相似于矩阵B
1-2a
（i）求a,b的值.
（n）求可逆矩阵P,使得P1AP为对角阵.
【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★
【详解】由相似于
则解得
特征向量
当
则特征向量所以得
22、（本题满分11分）
设随机变量X的概率密度为
f（x尸
2-xln2
0
对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数
（I）求Y的概率分布;
（n）求EY.
【考点】
【难易度】★★★★
【详解】
（）
设级数
所以
23、（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
x1
f（x;尸1
0其他
其中为未知参数，X1,X2..…Xn为来自该总体的简单随机样本
（I）求的矩估计.
（n）求的最大似然估计.
【考点】
【难易度】★★★
【详解】由题可得（）
（）联合概率密度
2k
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