考研数学真题答案.docx

1、考研数学真题答案2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.1、设函数f(x)在(-,+ )连续，其2阶导函数f (x)的图形如下图所示，则曲线 y f(x)的拐点个数为()(A)0 (B) 1(C)2 (D) 3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于 0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由 f (x)的图形可知，曲线 y f(x)存在两个拐点，故选(C).2、设y 1e2x x 1

2、 ex是二阶常系数非齐次线性微分方程 y ay by cex的一个特解,2 3则()(A)a 3,b 1,c 1.(B)a 3,b 2,c 1.(D)a 3,b 2,c 1. (D) a 3,b 2,c 1.【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】1” 1 V 0【详解】 e2x, -ex为齐次方程的解，所以 2、1为特征方程 2+a b 0的根，从而23a 1 2 3,b 1 2 2,再将牛I解y xex代入方程y 3y 2y cex得：c 1.3、若级数 an条件收敛，则xn 1J3与x 3依次为哥级数 nan x 1n的:n 1(A)收敛点，收敛点 (B)收敛点，发

3、散点(C)发散点，收敛点 (D)发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】【详解】因为 an条件收敛，故x 2为哥级数 n 1an x 1n的条件收敛点，进而得 n 1an x 1 n的收敛半径为1,收敛区间为 0,2 ,又由于哥级数逐项求导不改变收敛区间，故 n 1nan x 1 n的收敛区间仍为 n 1点、发散点.3依次为哥级数 nann 1x 1 n的收敛4、设D是第一象限中曲线 2xy 1,4xy 1与直线y x, y J3x围成的平面区域,函数f (x, y)在D上连续，则 f(x,y)dxdy D1(A) 2 d sin12 f (r cos , rsin )rdr

4、4 2sin21(C) 3 d sin12 f (r cos ,rsin )dr4 2sin 2【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】1(B) 2 d si；2 f(rcos ,rsin )rdr4 2sin 21(D 3d 、sin2 f(rcos ,rsin )dr4 2sin2【详解】由y x得,；由 y J3x得， 2 .由 2xy 1 得，2r cos sin1, r由 4xy 1 得,4r2 cos sin1, r1.2sin 2所以 f (x, y)dxdyD13d siV f (r cos ,r sin )rdr4 2sin21 1 15、设矩阵A 1 2 a ,

5、 b1 4 a21d ,若集合d21,2,则线性方程组 Ax b有无穷多个解的充分必要条件为(A)a ,d(B)a ,d(C)a ,d (D a ,d【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】1111【详解】 A,b 1 2 a d2 21 4 a dAx b有无穷多解R(A) R(A,b) 3a 1或a 2且d 1或d 26、设二次型f(x,X2,X3)在正交变换xPy下的标准形为2y；2 2y2 V3,其中p (ee,e3)，若Q(e, a,0),则 f(X1,X2,X3)在正交变换 xQy下的标准形为(A)2y： y2 vy(C)2y： y2 y；【答案】(A)【考点】二次型

6、【难易度】2 2 2(B) 2y1 V2 yy2 2 2(D)2y1 V2 yy【详解】由x Py,故fXT AxyT(PTAP)y2 2 2 _ T _2y1 y2 yy 且：P AP2000 1 00 0 1PC,QT AQ CT(PTAP)CTA T T 2 2 2所以 f x Ax y (Q AA)y 2y1 y2 yy,故选 7、若A, B为任意两个随机事件，则(A)P(AB) P(A)P(B)(B)P(AB) P(A)P(B)(C)P(AB) P(A) P(B) (D) P(AB) P(A) P(B)2 2【答案】(C)【考点】【难易度】【详解】故选8、设随机变量 X,Y不相关，且

7、EX 2,EY 1,DX 3,则E X X Y 2(A) -3 (B) 3 (C) -5 (D) 5【答案】(D)【考点】【难易度】【详解】E X X Y 2 E X2 XY 2X E X2 E XY 2E XD X E2 X E X E Y 2E X 5二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上ln cosx29、飒【考点】极限的计算【难易度】ln cosx2xlimln1x 0cosx 1)-2xcosx 12x1 2 x22xX10、x)dx 2【答案】 一4【考点】积分的计算【难易度】【详解】2( sinx |x)dx 2xdx-2 1 cosx 01

8、1、若函数zz(x,y)由方程 ez xyz+x cosx2确定，则dz(0,i)【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令F(x, y,z)xyz x cosx 2 ,贝u Fx yz 1 sin x , Fy又当x 0,y 1时，z 0,所以_zx(0,1)Fx z1,Fz y(0,1)Fy -一 0 ,因而dzFz(0,1) dx12、设 是由平面x y z 1与三个坐标平面所围成的空间区域，则(x 2y 3z)dxdydz入 1【答案】14【考点】三重积分的计算【难易度】【详解】由轮换对称性，得1o (x+2y + 3z)dxdydz=6 q zdx dydz = 6 0zdz 0dxdy

9、W W Dz其中Dz为平面z = z截空间区域 W所得的截面，其面积为1 21(1- z)2.所以1o (x+2y + 3z)dxdydz = 6 q zdxdydz = 6 并W W2(1-z)2dz=32z2 +z)dz=：2 0 L-1 2 LM M O0 0 L13、n阶行列式0 0 L0 20 2M M2 2-1 2 【答案】2n 1 2【考点】行列式的计算【难易度】【详解】按第一行展开得2-12R +(-1广#2n-J. / 讨 T2-L2(2%+ 2)+ 2=2iD2+22+2 = 2 + 2,- +-+2= 2n+1- 214、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0,

10、1,1,0),则P(XY Y 0)入 1【答案】1 2【考点】【难易度】【详解】Q(X,Y) N(1,0,1,1,0),X N(1,1)Y N(0,1),且 X,Y 独立X 1 N(0,1) P XY Y 0P (X 1)Y 0P X 1 0,Y0 P X 1 0, Y11111 02 2 2 2 2三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数 f(x) x a ln(1 x) bx sin x, g(x)f (x)与g(x)在x 0是等价无穷小,求a , b , k值。【考点】等价无穷小量，极限的计

11、算【难易度】【详解】f (x) xaln(1 x)bxsin xbx3!f(x)与 g(x)kx3是等价无穷小12131+a 0 ab 0 b2a k k316、(本题满分10分)设函数在f(x)定义域I上的导数大于零，若对任意的Xo I ,曲线y f(x)在点(, f (Xo)处的切线与直线x Xo及x轴所围成的区域的面积为 4,且f(0) 2,求f(x)的表达式 .【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：处的切线方程为：与轴的交点为：时，则，因此，.即满足微分方程：，解得：.又因，所以，故.17、(本题满分10分)已知函数f(x,y) x y xy,曲线C：x2 y2 xy 3,求f(x

12、,y)在曲线C上的最大方向导数.【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模 .，故gradf(x,y) 1 y,1 x故f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为 v11 y 2 (1 x)2 ,其中x, y满足x2 y2 xy 3,2 - 2 2 2 _ _即就求函数z (1 y) (1 x)在约束条件x y xy 3 0下的最值.构造拉格朗日函数 F(x, y, ) (1 y)2 (1 x)2 (x2 y2 xy 3)2(1 x) 2 xx令-F 2(1 y) 2 y x 0可彳#(1,1),( 1, 1),(2, 2

13、),( 1,2) yF 2 2x y xy 3 0其中 z(1,1) 4,z( 1, 1) 0,z(2, 1) 9 z( 1,2)综上根据题意可知 f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为 3.18、(本题满分10分)(I)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)= u(x)v(x) u(x)v(x)(n)设函数 u1(x),u2(x).un(x)可导,f(x) u1(x)u2(x).un(x)，写出 f(x)的求导公式.【考点】导数定义【难易度】【详解】19、(本题满分10分)已知曲线L的方程为 z J2 x y ,起点为A(0,J2,0),终点为B(0, J2,0),计

14、算曲线积 z x,分 I L(y z)dx (z2 x2 y)dy (x2 y2)dz【考点】曲线积分的计算【难易度】x cos ,【详解】曲线L的参数方程为 y 72 sin ,从一到 一y , 2 2 z cos ,2 2 2 2I L(y z)dx (z x y)dy (x y )dz2 (、2sin22 2 2 sin222 .2 sin2 d2cos )sin 、. 2 sin . 2 cos (cos1 3sin 2 sin sin d22 2 2 sin2 d 2.2- -0 2 2 22sin2 )sin d20、(本题满分11分)设向量组1, 2, 3 是3维向量空间？ 3

15、1的一个基，212k 3 ， 222,3 1 (k 1) 3 (I)证明向量组1 , 2,3是？ 3的一个基;(n)当k为何值时，存在非零向量在基1, 2,2,3下的坐标相同，并求出所有【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】(1,2,2,3)02k2k所以3线性无关,2,3是？ 3的一个基。(H)设，P为从基3的过渡矩阵，又设 在基2k1, 2,3下的坐标为(X1,X2,X3)T，则在基1, 2 ,13下的坐标为P X，1 0 10 1 02k 0 k1 12k k10 ,并解得x c 0 ,c为任意常数。1从而 c 1 c 3,c为任意常数。21、(本题满分11分)1 -2 00 b 00

16、3 10 2-3设矩阵A-13 3相似于矩阵B1 -2 a(i)求a,b的值.(n)求可逆矩阵 P ,使得P 1AP为对角阵.【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】【详解】由相似于则解得特征向量当则特征向量所以得22、(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为f(x尸2-xln20对X进行独立重复的观测，直到第 2个大于3的观测值出现时停止，记 Y为观测次数(I)求Y的概率分布;(n)求 EY.【考点】【难易度】【详解】()设级数所以23、(本题满分11分)设总体X的概率密度为, x 1f(x;尸 10 其他其中 为未知参数，X1, X2.Xn为来自该总体的简单随机样本(I)求 的矩估计.(n)求 的最大似然估计.【考点】【难易度】【详解】由题可得()()联合概率密度2k