高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案含答案.docx

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高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案含答案

高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案（含答案）

学案19　三角函数的图象与性质

导学目标：

1能画出＝sinx，＝sx，＝tanx的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．自主梳理

1．三角函数的图象和性质

函数＝sinx＝sx＝tanx

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性在______________________上增，在__________________________________上减在__________________________上增，在______________________________上减在定义域的每一个区间________________________________内是增函数

2正弦函数＝sinx

当x＝____________________________________时，取最大值1；

当x＝____________________________________时，取最小值－1

3．余弦函数＝sx

当x＝__________________________时，取最大值1；

当x＝__________________________时，取最小值－1

4．＝sinx、＝sx、＝tanx的对称中心分别为____________、___________、______________

．＝sinx、＝sx的对称轴分别为______________和____________，＝tanx没有对称轴．

自我检测

1．（2010•十堰月考）函数＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为（　　）A．1B．2．3D．4

2．函数＝sin2x＋π3图象的对称轴方程可能是（　　）

A．x＝－π6B．x＝－π12

．x＝π6D．x＝π12

3．（2010•湖北）函数f（x）＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为（　　）

Aπ2B．π．2πD．4π

4．（2010•北京海淀高三上学期期中考试）函数f（x）＝（sinx＋sx）2＋s2x的最小正周期为（　　）

A．4πB．3π．2πD．π

．如果函数＝3s（2x＋φ）的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为（　　）

Aπ6Bπ4π3Dπ2探究点一　求三角函数的定义域

例1　（2011•衡水月考）求函数＝2＋lg12x＋tanx的定义域．

变式迁移1　函数＝1－2sx＋lg（2sinx－1）的定义域为________________________．

探究点二　三角函数的单调性

例2　求函数＝2sinπ4－x的单调区间．

变式迁移2　（2011•南平月考）

（1）求函数＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间；

（2）求函数＝3tanπ6－x4的周期及单调区间．

探究点三　三角函数的值域与最值

例3　已知函数f（x）＝2asin（2x－π3）＋b的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－，求a和b的值．变式迁移3　设函数f（x）＝asx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g（x）＝bsin（ax＋π3）的周期．

转化与化归思想的应用

例　（12分）求下列函数的值域：

（1）＝－2sin2x＋2sx＋2；

（2）＝3sx－3sinx，x∈[0，π2]；

（3）＝sinx＋sx＋sinxsx

【答题模板】

解　

（1）＝－2sin2x＋2sx＋2＝2s2x＋2sx

＝2（sx＋12）2－12，sx∈[－1,1]．

当sx＝1时，ax＝4，

当sx＝－12时，in＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分]

（2）＝3sx－3sinx＝23s（x＋π6）

∵x∈[0，π2]，∴π6≤x＋π6≤2π3，

∵＝sx在[π6，2π3]上单调递减，

∴－12≤s（x＋π6）≤32

∴－3≤≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分]

（3）令t＝sinx＋sx，则sinxsx＝t2－12，且|t|≤2

∴＝t＋t2－12＝12（t＋1）2－1，∴当t＝－1时，in＝－1；

当t＝2时，ax＝12＋2

∴函数值域为[－1，12＋2]．[12分]

【突破思维障碍】

1．对于形如f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形

如＝asinωx＋bsωx＋的函数，可借助辅助角公式，将函数化为＝a2＋b2sin（ωx＋φ）＋的形式，从而求得函数的最值．

2．关于＝as2x＋bsx＋（或＝asin2x＋bsinx＋）型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．

提醒：

不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式（组）．

2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．

3．函数＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用＝sinx的单调区间求．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2011•黄月考）已知函数＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的值不可能是（　　）

Aπ3B2π3．πD4π3

2．（2010•安徽6校高三联考）已知函数＝tanωx（ω>0）与直线＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f（x）＝3sinωx－sωx的单调增区间是（　　）

A2π－π6，2π＋π6（∈Z）

B2π－π3，2π＋2π3（∈Z）

2π－2π3，2π＋π3（∈Z）

D2π－π6，2π＋π6（∈Z）

3．函数f（x）＝tanωx（ω>0）的图象的相邻的两支截直线＝π4所得线段长为π4，则fπ4的值是（　　）

A．0B．1．－1Dπ4

4．函数＝－xsx的部分图象是图中（　　）

．（2011•三明模拟）若函数＝sinx＋f（x）在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f（x）可以是（　　）

A．1B．sx

．sinxD．－sx

题号1234

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．设点P是函数f（x）＝sinωx的图象的一个对称中心，若点P到图象的对称轴的距离的最小值是π8，则f（x）的最小正周期是________．

7．函数f（x）＝2sinx4对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1－x2|的最小值为________．

8．（2010•江苏）定义在区间0，π2上的函数＝6sx的图象与＝tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2011•厦门月考）已知函数f（x）＝2s4x－3s2x＋1s2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．

10．（12分）（2010•福建改编）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋π6）＋a（ω>0）与g（x）＝2s（2x＋φ）＋1的图象的对称轴完全相同．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数f（x）的单调递减区间；

（3）当x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为－2，求a的值．

11．（14分）（2010•安徽合肥高三二模）已知向量a＝（sinx，23sinx），b＝（2sx，sinx），定义f（x）＝a•b－3

（1）求函数＝f（x），x∈R的单调递减区间；

（2）若函数＝f（x＋θ）（0<θ<π2）为偶函数，求θ的值．

答案自主梳理

1．R　R　{x|x≠π＋π2，∈Z}　[－1,1]　[－1,1]　R　2π　2π　π　奇函数　偶函数　奇函数　[2π－π2，2π＋π2]（∈Z）　[2π＋π2，2π＋32π]（∈Z）　[2π－π，2π]（∈Z）　[2π，2π＋π]（∈Z）　（π－π2，π＋π2）（∈Z）

2．2π＋π2（∈Z）　2π－π2（∈Z）　32π（∈Z）　2π＋π（∈Z）　4（π，0）（∈Z）　π＋π2，0（∈Z）　π2，0（∈Z）　x＝π＋π2（∈Z）　x＝π（∈Z）

自我检测

1．　2D　3D　4D　A

堂活动区

例1　解题导引　求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式（组）求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．

解　要使函数有意义，

则2＋lg12x≥0，x>0，tanx≥0，x≠π＋π2∈Z，

得0<x≤4，π≤x<π＋π2∈Z

所以函数的定义域为

x|0<x<π2或π≤x≤4

变式迁移1　π3＋2π，π6＋2π，∈Z

解析　由题意得

1－2sx≥02sinx－1>0ͤsx≤12sinx>12，

解得π3＋2π≤x≤π3＋2π，∈Zπ6＋2π<x<π6＋2π，∈Z，

即x∈π3＋2π，π6＋2π，∈Z

例2　解题导引　求形如＝Asin（ωx＋φ）或＝As（ωx＋φ）（其中A≠0，ω>0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：

①把“ωx＋φ（ω>0）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与＝sinx（x∈R），＝sx（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．

解　＝2sinπ4－x可看作是由＝2sinu与u＝π4－x复合而成的．

又∵u＝π4－x为减函数，

∴由2π－π2≤u≤2π＋π2（∈Z），

即2π－π2≤π4－x≤2π＋π2（∈Z），

得－2π－π4≤x≤－2π＋3π4（∈Z），

即－2π－π4，－2π＋3π4（∈Z）为

＝2sinπ4－x的递减区间．

由2π＋π2≤u≤2π＋3π2（∈Z），

即2π＋π2≤π4－x≤2π＋3π2（∈Z），

得－2π－π4≤x≤－2π－π4（∈Z），

即－2π－π4，－2π－π4（∈Z）为

＝2sinπ4－x的递增区间．

综上可知，＝2sinπ4－x的递增区间为

－2π－π4，－2π－π4（∈Z）；

递减区间为－2π－π4，－2π＋3π4（∈Z）．

变式迁移2　解　

（1）由＝sinπ3－2x，

得＝－sin2x－π3，

由－π2＋2π≤2x－π3≤π2＋2π，

得－π12＋π≤x≤π12＋π，∈Z，

又x∈[－π，π]，

∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤12π，1112π≤x≤π

∴函数＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－712π，－π12，12π，1112π，π

（2）函数＝3tanπ6－x4的周期

T＝π－14＝4π

由＝3tanπ6－x4

得＝－3tanx4－π6，

由－π2＋π<x4－π6<π2＋π得

－43π＋