百校联盟届TOP20三月联考全国II卷数学文.docx
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百校联盟届TOP20三月联考全国II卷数学文
百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则集合的子集个数为（）
A．B．C．D．
2.已知是虚数单位，，则复数的共轭复数为（）
A．B．C．D．
3.已知与的取值如表所示，若与线性相关，且回归直线方程为，则时，的预测值为（保留到小数点后一位数字）（）
0
1
3
4
0.9
1.9
3.2
4.4
A．B．C．D．
4.已知直线，及平面，，，.命题：
若，则，一定不平行；命题是，没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（）
A．B．C.D．
5.已知，满足不等式组则目标函数的最小值为（）
A．B．C.D．
6.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）
A．B．C.D．
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．C.D．
8.我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：
“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？
”意思是：
有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为尺，则圆锥形的高约为多少尺？
（注：
斛立方尺，）
若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（）
A．尺B．尺C.尺D．尺
9.已知函数的一个对称中心为，若将函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的单调递增区间是（）
A．B．
C.D．
10.已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C.D．
11.已知若，恒成立，则的取值范围为（）
A．B．C.D．
12.已知数列的通项公式为则数列的前项和的最小值为（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数图象上一点到直线的最短距离为．
14.已知数列满足，当时，是递增数列，则实数的取值范围是．
15.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆的内接正三角形交边于点，交边于点，且，则的值为．
16.已知函数，存在，使得，则的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知在锐角中，，，分别是角，，的对边，点在边上，且，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求周长的最大值.
18.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出个利润为元，未售出的每个亏损元.根据以往天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了个这种蛋糕.以（单位：
个，）表示这天的市场需求量.（单位：
元）表示这天售出该蛋糕的利润.
需求量/个
天数
10
20
30
25
15
（Ⅰ）将表示为的函数，根据上表，求利润不少于元的概率；
（Ⅱ）估计这天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为.
购买意愿强
购买意愿弱
合计
女性
28
男性
22
合计
28
22
50
完善上表，并根据上表，判断是否有的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？
附：
.
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
19.已知几何体，其中四边形为直角梯形，四边形为矩形，，且，.
（Ⅰ）试判断线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由；
（Ⅱ）若，求该几何体的表面积.
20.在平面直角坐标系中，与点关于直线对称的点位于抛物线上.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线交抛物线于，两点（非点），若过焦点，求的值.
21.已知函数，为函数的极值点.
（Ⅰ）证明：
当时，；
（Ⅱ）对于任意，都存在，使得，求的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知直线（为参数），曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）把直线向左平移一个单位得到直线，设与曲线的交点为，，为曲线上任意一点，求面积的最大值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数的最小值为.
（Ⅰ）若，求证：
；
（Ⅱ）若，，求的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5:
DABCD6-10:
CCDCA11、12：
CD
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.【解析】（Ⅰ）因为，所以.
根据正弦定理，，∴，
又为锐角，所以.
（Ⅱ）由余弦定理，得，
所以，
∴，当且仅当时，等号成立.
故，所以周长的最大值为.
18.【解析】（Ⅰ）当时，，
当时，，所以
当时，，∴，又，所以，
因此，利润不少于570元的概率为.
（Ⅱ）这100天的平均需求量为.
（Ⅲ）根据题意，购买意愿强市民中女性的人数为，男性为8人，
填表如下：
购买意愿强
购买意愿弱
合计
女性
20
8
28
男性
8
14
22
合计
28
22
50
根据公式，，
故有的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.
19.【解析】（Ⅰ）存在线段的中点，使得平面，理由如下：
取的中点，连接，，
∵为的中点，∴，且，
又∵四边形为直角梯形，，且，
∴，，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（Ⅱ）因为四边形为直角梯形，，且，，
所以，∴.
又，因为，所以，
因为，，，所以平面，
又因为，∴平面，∴，
所以，进而.
所以,
因为为直角三角形，所以，
又四边形也为直角梯形，，
又，，
所以该几何体的表面积为.
20.【解析】（Ⅰ）设，则解之得，
代入得，所以抛物线的方程为.
（Ⅱ）显然直线的斜率是存在的，设直线的方程，
设直线的方程，
设，，联立方程消元，得，
所以，∴，∴，
故，
同理，，
所以，
若，因为，∴，
若，同理可求.
21.【解析】（Ⅰ），∴，
又∵为极值点，，∴，
经检验符合题意，所以，
当时，，可转化为当时，恒成立，
设，所以，
当时，，所以在上为减函数，所以，
故当时，成立.
（Ⅱ）令，则，
解得，
同理，由，可得，
因为，又，所以，
令，
则，易知，
当时，，当时，，
即当时，是减函数，当时，是增函数，
所以的最小值为，即的最小值为.
22.【解析】（Ⅰ）把曲线消去参数可得，
令，，代入可得曲线的极坐标方程为.
把直线化为普通方程.
（Ⅱ）把直线向左平移一个单位得到直线的方程为，其极坐标方程为.
联立所以，所以
故，
圆心到直线的距离为，
圆上一点到直线的最大距离为，
所以.
23.【解析】（Ⅰ），
要证明，只需证明，
，
∵，∴，
∴，∴，
可得.
（Ⅱ）由题意，，
故，
当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为.
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