第27章相似全章教案文档格式.docx

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2．如图，图形a～f中，哪些是与图形

（1）或

（2）相似的？

活动4例题：

已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：

这四条线段是否成比例？

为什么?

1、两条线段的比：

两条线段的比，就是__________________________________．

2．成比例线段：

对于四条线段a,b,c,d，如果其中____________________________相等，如

（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

【注意】

（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；

（2）线段的比是一个没有单位的正数；

（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作

或a:

b=c:

d；

（4）若四条线段满足

，则有ad=bc．

三.小结巩固

（1）谈谈本节课你有哪些收获．

四、课堂练习

1．观察下列图形，指出哪些是相似图形：

相似图形：

_____和______；

_____和______。

2．下列说法正确的是（）

A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.

B．商店新买来的一副三角板是相似的.

C．所有的课本都是相似的.

D．国旗的五角星都是相似的.

3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，

（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm；

（大）长是_______cm，宽是_______cm；

（2）（小）

；

（大）

．

（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？

4．在比例尺是1:

8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？

5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？

（2）课外作业

1、下列说法正确的是（）

C．所有的课本都是相似的.

2、填空题

1、形状的图形叫相似形；

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

课后反思：

第2课时图形的相似

（2）

教学目标：

1、知识目标：

（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；

（2）掌握判定三角形相似的预备定理。

培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。

增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。

加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。

教学重点、难点：

重点：

相似三角形的概念及判定的预备定理

难点：

当两个相似三角形部分重叠时，判别它们的对应角和对应边以及例1的证明

教学过程：

一、类比联想，动手实验

1．回顾全等三角形的含义（两个三角形形状、大小相同，能够完全重合），全等三角形所具有的性质（对应边、对应角相等）。

2．让学生动手画一个三角形及三角形的一条中位线，教师提问：

三角形的中位线所截的三角形与原三角形的形状有什么关系？

大小呢？

各角有什么关系？

各边有什么关系？

二、直观演示，展示新知

1．

相似三角形的定义

2．将上面所截得的三角形移出,记为△A’B’C’，原三角形记为△ABC，因此有

∠A=∠B=，

即:

两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

这样的两个三角形虽然大小不一定相等，但形状相同。

定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

2．表示方法：

教师介绍表示法，同时强调应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（可以以此与全等符号及表示作一比较，加强记忆）。

3．相似三角形的性质：

相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

4．

相似比：

相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）。

强调：

A’B’C’与ABC的相似比是k，则ABC与A’B’C’的相似比是

。

练习：

判断下列命题是否正确。

错误的，举出反例；

正确的，用定义加以说明：

⑴所有的等腰三角形都相似。

⑵所有的等边三角形都相似。

⑶所有的直角三角形都相似。

⑷所有的等腰直角三角形都相似。

教师示范一个规范过程，让学生模仿，学会用定义来解决问题。

三、范例研讨，迁移练习：

1．例1。

如图，在ABC中，A

DE

DE//BC，D。

E分别在AB，AC上。

求证：

△ADE∽△ABCBC

F

师生共同探讨：

（1）目前要证明两个三角形相似只能根据什么？

（定义）

（2）根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？

（对应角相等，对应边成比例）

（3）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？

为什么？

（4）对应边成比例，由“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？

（5）本题的关键归结为“只要证明什么”？

（6）根据以前的推论，如何把DE移到BC上去，即应添怎样的辅助线？

（EF//AB）

证明:

2．如图，DE//BC，D、E分别在BA、CA的延长线上，DE

△ADE与△ABC相似吗？

A

CB

由此得到预备定理：

3．定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

4．例2，如图，D为△ABC的AB边上的一点，过点D作

DE//AC，交BC于E，已知BE：

EC=2：

1，AC=6CM，

求DE的长。

5、练习：

P122页1、2、3

6、课后拓展（机动）：

（1）如图甲，已知ABD∽ACB，则AD：

AB=：

，

AB：

BD=：

，如果AD=2，DC=1，那么AB=

（2），如图乙，在ABC中，AD是角平分线，求证：

A

D

BCBDC

图甲图乙

四、归纳总结

今天学习了相似三角形的定义，它既是三角形相似的判定，又是相似三角形的性质，同时可知全等三角形是相似三角形的特殊情况，其相似比是1；

1．平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

五、课堂练习

1．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是

，则△DEF与△ABC与的相似比是（）．

A．

B．

C．

D．

2．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）

（1）两个半径不相等的圆；

（2）所有的正方形；

（3）所有的等腰三角形；

（4）所有的等边三角形；

（5）所有的等腰梯形；

（6）所有的正六边形．

A．3个B．4个C．5个D．6个

3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？

4．

如图，一个矩形ABCD的长AD=acm，宽AB=bcm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:

b的值．

第3课时相似三角形的判定

（1）

教学目的:

1、会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△

;

2、知道当△ABC与△

的相似比为k时，△

与△ABC的相似比为1/k．

3、理解掌握平行线分线段成比例定理

4、在平行线分线段成比例定理探究过程中，让学生运用“操作—比较—发现—归纳”分析问题．

5、在探究平行线分线段成比例定理过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．

理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．

掌握平行线分线段成比例定理应用．

二.创设情境

谈话复习引入课题

（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．

在△ABC与△A′B′C′中，

如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且

．

我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，

则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且

（3）问题：

如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？

明确

（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。

（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△

（3）当△ABC与△

活动1（教材P40页探究1）

如图27.2-1）,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别量度l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?

任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?

教师出示探究，提出问题．

学生操作画图，量度AB,BC,DE,EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．

提出问题，AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”

师生归纳总结：

（板书并朗读）

平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

在活动中,师生应重点关注：

平行线分线段成比例定理中相比线段同线；

活动2平行线分线段成比例定理推论

1、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2

（1），，所得的对应线段的比会相等吗？

依据是什么？

2、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-2

（2），所得的对应线段的比会相等吗？

平行线分线段成比例定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等

二.通过练习巩固平行线分线段成比例定理及其推论

如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

教师提出问题；

学生阅题,小组讨论后解答问题.

在练习中检查学生对“平行线分线段成比例定理及推论”理解

例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）写出对应边的比例式；

（2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

课堂练习

1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）

A．两个直角三角形B．两个钝角三角形

C．两个等腰三角形D．两个等边三角形

2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

3．如图，DE∥BC，

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:

BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:

EA=2:

3，EF=4，求CD的长．

活动4

（1）谈谈本节课你有哪些收获．“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．

（2）相似比是带有顺序性和对应性的：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比

，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是

，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；

（3）作业

1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．

第4课时相似三角形的判定

（2）

1、初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．

2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

3、在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．

掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。

（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．

一.创设情境

活动1

复习提问：

（1）两个三角形全等有哪些判定方法？

SSSSASASAAAS

（2）我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

定义、（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

（3）相似三角形与全等三角形有怎样的关系？

相似比k=1时，两个相似三角形全等

提出探讨问题：

1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？

3、（教材P42页探究2）

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？

这两个三角形相似吗？

与同学交流一下，看看是否有同样的结论。

带领学生画图探究并取k=1.5；

学生细心观察思考,小组讨论后回答问题

（1）提出问题：

怎样证明这个命题是正确的呢？

（2）教师带领学生探求证明方法．（已知、求证、证明）

如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，

，求证△ABC∽△A′B′C′

师生【归纳】（板书并朗读）

三角形相似的判定方法1

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

活动3

教师活动:

1、提出探讨问题：

可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？

2、出示（教材P44页探究3）

学生自主画图，展开探究活动．

三角形相似的判定方法2

两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．

二、例题讲解

活动4

教师出示题目，提出问题（教材P44例1）

解：

略

归纳分析：

判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，画草图，看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中，对于

（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于

（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．

例2（补充）已知：

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=

，求AD的长．

1．如果在△ABC中∠B=30°

，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°

A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？

试着画一画、看一看？

2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：

△ABC∽△DEF．

※3．已知：

如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，

求证：

△ADC∽△CDP．

第5课时相似三角形的判定（3）

1、经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．

2、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．

3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”

教学重点：

三角形相似的判定方法3的运用．

（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？

（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，

那么△ACD与△ABC相似吗？

说说你的理由．

（3）如

（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，

——引出课题．（也可用两副三角板引出课题）

2、教材P46的探究3．

师生【归纳】

三角形相似的判定方法3

如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

教师出示题目，提出问题（教材P46例2）．教师带领学生探求证明

分析：

要证PA•PB=PC•PD，需要证

，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．

三、例题讲解

例1（教材P48例2）．证明：

略（见教材P48例2）．

如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，

求DF的长．

1．已知：

如图，∠1=∠2=∠3，求证：

△ABC∽△ADE．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；

（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．

3.已知：

如图，△ABC的高AD、BE交于点F．求证：

．

4．已知：

如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．

（1）求证：

AC•BC=BE•CD；

（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．

第6课时相似三角形应用举例

（1）

1、进一步巩固相似三角形的知识．

2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

1、重点：

运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2、难点：

灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

教师活动：

提出问题：

1、学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？

你有什么办法测量？

师生活动：

学生小组讨论；

师生共同交流．

2、世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．

在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：

“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！

”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

活动2（教材P48页例3——测量金字塔高度问题）

教师提出问题：

例3：

据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．

如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？

）

活动3课堂练习（见教材P50页）

1．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米?

（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）

活动4（教材P49例4——测量河宽问题）

问题：

估算河的宽度，你有什么好办法吗？

例4如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．

活动5课堂练习（见教材P50页）（平行外截法）

2、如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB。

三、回顾与反思．

活动6

利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题．

1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3

米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米?

2．小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面

的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?

3.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．（设网

球是直线运动）