河南省鹤壁市淇滨高级中学学年高二数学下学期第一次周考试题理.docx
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河南省鹤壁市淇滨高级中学学年高二数学下学期第一次周考试题理
河南省鹤壁市淇滨高级中学2017-2018学年高二数学下学期第一次周考试题理
时间120分钟，满分150分
1、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若f（x）＝sin¦Á－cosx，则f¡ä（x）等于（ ）
A．cos¦Á＋sinxB．2sin¦Á＋cosx
C．sinxD．cosx
2．设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝（ ）
A．1 B.C．－ D．－1
3．下列各式正确的是（ ）
A．（sina）′＝cosa（a为常数）B．（cosx）′＝sinx
C．（sinx）′＝cosxD．（x－5）′＝－x－6
4．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（ ）
A．（－¡Þ，2）B．（0,3）C．（1,4）D．（2，＋¡Þ）
5．若函数f（x）＝x3－f¡ä
（1）·x2－x，则f¡ä
（1）的值为（ ）
A．0B．2C．1 D．－1
6．函数f（x）＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是（ ）
A．2B．1C．0D．由a确定
7．做直线运动的质点在任意位置处所受的力F（x）＝1＋ex，则质点沿着与F（x）相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F（x）所做的功是（ ）
A．1＋eB．eC.D．e－1
8．设函数在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
9．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2B．4C．2D．4
10．已知积分（kx＋1）dx＝k，则实数k＝（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
11．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f
（1）＝1，f′（x）>1，则f（x）>x的解集是（ ）
A．（0，1）B．（－1，0）∪（0，1）
C．（1，＋¡Þ）D．（－¡Þ，－1）∪（1，＋¡Þ）
12．曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（ ）
A.B．2C．3D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13．（x2－2sinx）dx＝________．
14．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
15.函数f（x）＝ax3－3x在区间[－1，1]上为单调减函数，则a的取值范围是________．
16．直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）设函数f（x）＝，求函数f（x）的单调区间．
18．（本小题满分12分）曲线f（x）＝x3在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在点A处的切线方程．
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝aln（x＋1）＋x2－ax＋1（a>1）．
（1）求函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）a>1时，求函数y＝f（x）的单调区间和极值．
20．（本小题满分12分）某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x¡Ý0）万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元，其中f（x）＝a（x－1）＋2，g（x）＝6ln（x＋b）（a＞0，b＞0）．已知投资额为零时收益为零．
（1）求a，b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
21．（本小题满分12分）设函数f（x）＝x（ex－1）－ax2.
（1）若a＝，求f（x）的单调区间；
（2）若当x¡Ý0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－alnx（a¡ÊR）．
（1）若f（x）在x＝2处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若f（x）＝sin¦Á－cosx，则f¡ä（x）等于（ ）
A．cos¦Á＋sinxB．2sin¦Á＋cosx
C．sinxD．cosx
解析：
函数是关于x的函数，因此sin¦Á是一个常数．
答案：
C
2．设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝（ ）
A．1 B.C．－ D．－1
【解析】 y¡ä＝2ax，于是切线斜率k＝y¡ä|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，¡àa＝1.
【答案】 A
3．下列各式正确的是（ ）
A．（sina）′＝cosa（a为常数）
B．（cosx）′＝sinx
C．（sinx）′＝cosx
D．（x－5）′＝－x－6
【解析】 由导数公式知选项A中（sina）′＝0；选项B中（cosx）′＝－sinx；选项D中（x－5）′＝－5x－6.
【答案】 C
4．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（ ）
A．（－¡Þ，2）B．（0,3）
C．（1,4）D．（2，＋¡Þ）
【解析】 f¡ä（x）＝（x－2）ex，由f¡ä（x）>0，得x>2，所以函数f（x）的单调递增区间是（2，＋¡Þ）．
【答案】 D
5．若函数f（x）＝x3－f¡ä
（1）·x2－x，则f¡ä
（1）的值为（ ）
A．0B．2C．1 D．－1
【解析】 f¡ä（x）＝x2－2f¡ä
（1）·x－1，则f¡ä
（1）＝12－2f¡ä
（1）·1－1，解得f¡ä
（1）＝0.
【答案】 A
6．函数f（x）＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是（ ）
A．2B．1
C．0D．由a确定
解析：
f¡ä（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x2＋2x＋1）＝3（x＋1）2≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，无极值．故选C.
答案：
C
7．做直线运动的质点在任意位置处所受的力F（x）＝1＋ex，则质点沿着与F（x）相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F（x）所做的功是（ ）
A．1＋eB．eC.D．e－1
解析：
W＝F（x）dx＝（1＋ex）dx＝（x＋ex）|＝（1＋e）－1＝e.
答案：
B
8．设函数在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
解析：
f（x）在（－¡Þ，0）上为增函数，在（0，＋¡Þ）上变化规律是减¡ú增¡ú减，因此f¡ä（x）的图象在（－¡Þ，0）上，f′（x）＞0，在（0，＋¡Þ）上f¡ä（x）的符号变化规律是负¡ú正¡ú负，故选项A正确．
答案：
A
9．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2B．4C．2D．4
解析：
直线y＝4x与曲线y＝x3交点坐标为（0，0）和（2，8），依题意得S＝（4x－x3）dx＝＝4.
答案：
D
10．已知积分（kx＋1）dx＝k，则实数k＝（ ）
A．2B．－2
C．1D．－1
解析：
因为（kx＋1）dx＝k，
所以＝k，
所以k＋1＝k，
所以k＝2.
答案：
A
11．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f
（1）＝1，f′（x）>1，则f（x）>x的解集是（ ）
A．（0，1）B．（－1，0）∪（0，1）
C．（1，＋¡Þ）D．（－¡Þ，－1）∪（1，＋¡Þ）
解析：
不等式f（x）>x可化为f（x）－x>0，
设g（x）＝f（x）－x，则g¡ä（x）＝f¡ä（x）－1>0，
所以函数g（x）在R上单调递增，又g
（1）＝f
（1）－1＝0，
所以原不等式?
g（x）>0?
g（x）>g
（1）．
所以x>1，故选C.
答案：
C
12．曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（ ）
A.B．2
C．3D．2
【解析】 设曲线上的点A（x0，ln（2x0－1））到直线2x－y＋3＝0的距离最短，
则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y¡ä＝¡¤（2x－1）′＝，
所以y¡ä|＝＝2，解得x0＝1.
所以点A的坐标为（1,0）．
所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝.
【答案】 A
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上）
13.（x2－2sinx）dx＝________．
解析：
（x2－2sinx）dx＝＝－＝18.
答案：
18
14．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【解析】 设P（x0，y0），¡ßy＝e－x，¡ày¡ä＝－e－x，
¡à点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
¡à－x0＝ln2，¡àx0＝－ln2，
¡ày0＝eln2＝2，
¡à点P的坐标为（－ln2,2）．
【答案】 （－ln2,2）
15．函数f（x）＝ax3－3x在区间[－1，1]上为单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：
f¡ä（x）＝3ax2－3，
因为f（x）在[－1，1]上为单调减函数，
所以f¡ä（x）≤0在[－1，1]上恒成立，
即3ax2－3≤0在[－1，1]上恒成立，
所以a¡Ü，因为x¡Ê[－1，1]，所以a¡Ü1.
答案：
（－¡Þ，1]16．直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________.
【解析】 令f¡ä（x）＝3x2－3＝0，得x＝¡À1，
可求得f（x）的极大值为f（－1）＝2，
极小值为f
（1）＝－2，
如图所示，－2【答案】 （－2,2）
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）设函数f（x）＝，求函数f（x）的单调区间．
解：
f¡ä（x）＝－ex＋ex＝ex，
由f¡ä（x）＝0，得x＝1.
因为当x＜0时，f′（x）＜0；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0.
所以f（x）的单调递增区间是[1，＋¡Þ），单调递减区间是（－¡Þ，0），（0，1]．
18．（本小题满分12分）曲线f（x）＝x3在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在点A处的切线方程．
解：
可由导数定义求得f¡ä（x）＝3x2.
令3x2＝3，则x＝¡À1.
当x＝1时，切点为（1，1），
所以该曲线在（1，1）处的切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0；
当x＝－1时，切点坐标为（－1，－1），
所以该曲线在（－1，－1）处的切线方程为y＋1＝3（x＋1），即3x－y＋2＝0.
综上知，曲线f（x）＝x3在点A处的切线方程为3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝aln（x＋1）＋x2－ax＋1（a>1）．
（1）求函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a>1时，求函数y＝f（x）的单调区间和极值．
解：
（1）f（0）＝1，f′（x）＝＋x－a＝，f′（0）＝0，所以函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.
（2）函数的定义域为（－1，＋¡Þ），
令f¡ä（x）＝0，即＝0.
解得x＝0或x＝a
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