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2.本构模型

2.1本构模型转换纲要

本构模型，由作者（参考文献5,6）提出了描述形状记忆合金等非弹性行为如Ti-Ni合金，其中无弹性的主要机制行为是根据热机械相变条件。

在本构模型中，材料点如同与许多任意微晶态晶粒的集合晶体取向一样被处理。

每个颗粒有24个系统改造（转换平面和转型方向），这是特有的晶粒的晶体结构。

等应变

假设用于连接的应力-应变的模型中用来指出材料的微米晶粒关系。

也就是说，

各颗粒的微观应变等于的该材料的宏观应变。

而宏观应力表示为平均晶粒应力。

通过使用该模型，晶粒的应变的兼容性是自动在物质点举行。

图1示意性示出了

等应变模型。

平等应变模型的思想已经在高温下的金属的弹性（粘塑性的）行为的改性馏分模型（参考文献8）之前使用，也类似于在泰勒模型（注释11）多晶金属的塑性行为。

对于本构模型在形状记忆合金的相变过程中的住宿机制形容这是至关重要的。

平等应变模型能够成功地描述机制。

作为等于应变模型被应用到每个颗粒的转化系统，并且其中位于所述机械最喜爱方向转换系统来转换之一发生转化，应力松弛发生在方向和其他转化系统中的一个变得最喜欢在旁边装步改造。

收容机构可以以这种方式进行说明。

此外它假定每个细颗粒由许多子元素在相同的应力状态（等于应力模型或系列模型）。

并且反映了结构性变化,转换的临界条件的子元素颗粒被认为是彼此不同的应力-应变曲线来描述加工硬化转换。

这个处理也

图1对于微米晶粒等应变模型图2等应变模型和等应力模型的

组合模型与子元素微米晶粒

证明在防止在计算过程中的不稳定性是有用的，这可以通过在发病时的大的固有变换应变时间引起有益的。

因此，这里所提到的本构模型可以被称为组合模型，其中等应变模型和等应力模型相结合。

本构模型的整个图像在图2中示意性地示出。

2.2本构模型数学公式

假定该材料包括具有不同晶体取向中号晶粒和被分成N个子元素的晶粒。

宏观坐标系中定义的应力-应变关系中给出参照图如图2所示。

σkl材料应力张量的点,εij材料应变张量的点,εij;

mm颗粒的应变张量,εeij;

mm颗粒弹性应变张量,εtrij;

mm颗粒的应变张量变换,Fmm颗粒的体积分数,和Cijkl;

mm颗粒的平均弹性系数张量。

遵循平等关系的应变假设用于推导Eq1。

第m个晶粒的变应变被假定为子元素作为变应变的平均值

其中εtrij；

mn第m颗粒和第m颗粒的第n子元件的FMN体积分数的第n子元件的MN变应变。

第m个晶粒的平均弹性模量张量被表示为

Cijkl：

MN是第m个晶粒的第n子元件的弹性模量张量。

弹性模量张量被假定为在本纸张各向同性的。

此外，下面的公式给出

等式1的逆关系被给定为

2.3在给定材料点应变下获取材料点应力的计算过程

当给定的材料点的（总）应变，该材料点的应力可以计算如下。

由等于应变的假设下，晶粒的应变等于材料点的应变。

各颗粒的弹性应变由变应变的差分得到由晶粒的总应变，并通过考虑各相的体积分数各颗粒的弹性应变的弹性常数相乘，各颗粒的应力计算。

根据等应力的假设下，这样计算出的应力被施加到颗粒的所有子元素。

作用在每个子元素的每个转化系统上的切应力被算，并且当切应力的最大值变得大于临界值时，变换在其转化系统中发生和固有变应变值被给予子元素。

考虑到子元件的体积分数，子元素的变应变的平均值的变应变点的应力是所有晶粒的应力与体积分数的平均值。

2.4固有变应变

固有变应变给出用于系统转化平面垂直于第三坐标轴和平行的变换方向上的第一坐标轴如同

和铜-锌-锡的形状记忆合金的采样值已经在参考文献10被表示为

这个公式表明本征变应变的法向分量不那么大。

所以，参照公式10，下式的值

在本研究中被用于简单。

但是当住宿行为在无应力的条件下的热诱导的转化的情况下评估，正常组分应考虑（参考文献6）。

2.5转化临界条件（参考文献5,6）

形状记忆合金的转变主要是由上变换平面上的切应力的控制。

这里，假定当在变换平面上的切应力等于其临界值将发生转变。

表示的切应力为τ和它作为τM的临界值时，对转换的条件被表示为

假定相反转变的条件是

其中τ是材料常数。

通过处理，当在一个子元素的转化系统的最大切应力变成由一定量的比，在相同的子元件已经转化的系统的放大将发生马氏体变体的方向调整，重新取向条件可以写为

其中τ（M）表示在已经转化的平面上的切应力,τor是材料常数。

2.6温度依赖性转变的临界压力

为了分析在各种机械和热负荷的形状记忆合金的行为，有必要得到临界应力的温度依赖性。

由于缺乏实验数据，假定温度和临界应力之间的直线和平行的关系，如图3所示，Ms，Mf，As，Af分别表示马氏体开始转变温度，马氏体结束转变温度，相反转变的开始温度，和分别相反转变终点温度。

图3转型的关键压力与温度的关系

在一定的温度下晶粒的子元素的马氏体转变应力τM被设定为开始应力SMS和马氏体结束应力τMF在温度为马氏体之间的值

其中，N是晶粒子元件的分割数。

方程式15表示一个晶粒的变换的线性硬化特性被假定，并且子元素的相等体积分数也间接假定。

线性硬化假设并不一定正确。

但在该材料的应力-应变曲线中观察到的主要硬化特性是通过在多晶材料中的应力的重新分配行为来表示。

因此，晶粒或非线性硬化的线性硬化的影响不严重与多晶材料。

据推测，对于τOR在同样的关系成立，即

2.7塑性变形的条件（参考文献7）

塑性应变可以通过上述构模型进行了描述。

当最大切应力τ的各晶粒滑移面的到达临界值τy（屈服应力），应在应力的方向发生塑性剪切应变。

屈服条件写为

屈服应力的温度依赖性和应变硬化性质这里为了简单起见不作考虑。

塑性应变增量的幅度被周围晶粒的限制所控制。

这种情况通过图1应用中所示的等应变模型满足。

在本计算中，滑动面被假定为相同的变换平面。

虽然还有其他的滑移面过于在体心立方晶体形状记忆合金，计算与所述塑性变形的相当高的灵活性进行，并且它被认为是结果显示了塑性变形的一个基本特征。

2.8转变与塑性应变的相互作用

塑性应变引起相变应力的退化或转变温度的升高，这是通过实验得到公认的。

取决于塑性应变的变换应力的降解是通过引入滑移系统，该系统是一样的转化系统的塑性应变的量导致成比例以相同的方向转变应力的降解效果现象学解释至塑性应变的量。

为了表达在计算变换应力的降解，用于转化的条件表示为等式12和13变为

其中γp表示塑性应变，P是暂时定作为材料常数

其中Em是马氏体的杨氏模量。

3.样本计算

为了证明本构模型的有效性，进行样本计算。

3.1材料常数

一些材料常数（Ea，EM，τms;

τmf）是从在333K的钛-镍丝的实验数据获得的.马氏体开始温度W从差示扫描量热（DSC）的材料的数据而获得。

仅用于计算目的临时确定所需的分析剩余的常数。

本计算中使用的材料常数列于表1中。

表1样本计算材料常数：

杨氏奥氏体模量

Ea=65.5GPa

杨氏马氏体模量

Em=14.1GPa

泊松比

m=0.3

马氏体开始压力（333K）

τms=151MPa

马氏体结束压力（333K）

τmf=155MPa

常数逆变换

τC=50MPa

常数重定位

τOR1=30MPa

屈服应力

τy=300MPa

马氏体开始温度

Ms=282K

塑性应变系数相互影响

P=1.41GPa

3.2计算程序

微米晶粒的结晶方位可以用图4所示欧拉角说明。

考虑晶体结构的对称性，只有0且p=2之间的角度在φ，θ和ψ被考虑。

欧拉角度分别在6/φ，3/θ和3/ψ的情况下被分割，进行数值计算，和不同的晶体取向的总54微颗粒构成的材料点。

在本计算中，为子元素的晶粒的分割数N被设定为1000。

数值计算通过由应变控制程序和增量的幅度增量方法在同一转化进行，采用使变换系统。

图4欧拉角

3.3塑性应变效应超弹性行为

在333K时超弹性行为计算结果示于图5.在小的应变范围中的典型的超弹性特性示于图中。

在较大的应变范围内，塑性应变发生并且残余应变可在零应力可以看出。

塑性应变引起相反转变应力的退化的相互作用效果在图中成功地代表。

这些结果是合理的与图6（参考文献10，第45页）所示的实验数据进行比较。

在图6中所示的实验数据与表1中获得的材料常数的材料不同的材料提供。

图5和6仅具有定性的意义。

和尺寸与晶粒的线的截面积内的数是不关心的问题，因为在本文件计算被限制为示出在单轴应力状态的情况下，构模型的适用性，而不是在实际情况细线的。

当被计算的实际细导线的变形行为，它应该是必要研究的少数晶粒的小的横截面面积的相互作用效果和也试样的表面的效果。

图5单轴应力-应变曲线下的单轴加载和卸载考虑弹性,

塑性应变转换,和他们互动

图6超弹性钛镍合金实验应力-应变曲线（参考文献10，第45页）

图7形状记忆效应的计算结果

3.4形状记忆效应

图7示出了用于对形状记忆效应计算结果的三维图。

初始条件是σ=0MPa;

ε=0%,和低于马氏体完成温度的温度T=280k。

在初始条件下的马氏体变体的分布预先计算在温度降低的过程中，从温度高于逆相变完成温度的温度低于马氏体结束温度。

在这个计算过程中，固有变换应变的正常成分（见公式10）变得非常重要。

固有变换的正常成分具有形状记忆合金在无压力的条件下的热诱导转化的情况下，住宿行为（参考文献6）的巨大作用。

在T=280k条件下的加载过程中ε=0%--6%,转换行为重新定位的马氏体变体是描绘在图7中。

在卸荷过程中T=280k,残余应变的弹性行为显示在零压力,这残余应变逐渐消失在没有压力的条件下,增加T=280k的温度为305k的温度高于逆向转换完成的温度。

因此，形状记忆效应被计算在内。

跳转示出在温度-应变曲线中。

但是，这是由于在3-D绘图机的分辨率差。

平滑响应的精细分辨率情节获得。

图8示出了相同的结果的二维图。

应变及温度表示形状记忆效应之间获得平滑的关系。

（a）应力-应变关系

（b）应变-温度关系

图8形状记忆效应的二维图

3.5应变保持时的温度变化行为

图9示出对于温度从T=333K到420K到330K的温度变化以及应变保持在ε=12％时的应力响应。

应力上升随温度增加如图中所示。

这是因为，用于转化的临界应力根据温度上升变大。

该图还示出了为引起的应变被捕结构塑性变形的应力可能会上升高。

图9应变保持时的温度变化行为

3.6应力保持时的温度变化行为

图10显示了对于温度从T=333K到280K到330K的温度变化以及应里保持在σ=100Mpa时的应变响应。

以恒定应力的温度变化的应变的变化量被描绘和滞后回路中的温度-应变平面上的投影显示。

这个数字可能有助于理解在恒定载荷作用在SMA致动器的响应是有用的。

图10应力保持时的温度变化行为

3.7偏置弹簧SMA线结构的响应

图11带有偏置弹簧的SMA线结构

图11示出的SMA与偏置弹簧两端固定一个导线结构。

这种结构表示建模的SMA致动器的最简单的装置。

这个问题的控制方程可以如下获得。

考虑SMAwire的平衡状态，在图11中所示的结构中的偏压弹簧在一个所描述的温度。

应力和应变分别作用在SMA丝表示为σ0和ε0。

当在温度发生变化时，应力和应变也变化。

它们的值分别被表示为σ和ε。

作用在弹簧上的力F被写为

其中，A，k和l分别是形状记忆合金丝的截面面积，弹簧常数的偏置弹簧，和形状记忆合金丝的长度。

该力也作用在SMA线，SMA线的应力σ和应变ε可以写成

其中^E是与奥氏体相和马氏体相，和ETR的混合物中的多晶SMA线的平均弹性模量的变应变。

式17中，SMA丝的应变ε的写成

取k的几个价值进行采样计算。

其结果在K=1:

41GPa（=Em/10）的情况下，示于图12。

一些收敛过程需要获得16和19公式的数值结果。

加载路径如下:

初始状态：

T=333K,σ=0MPa，ε=0%

路径1：

T=333K,σ=0MPa100MPa结构两端被固定在路径的末端。

路径2：

T=333K280K

路径3：

T=280K333K

图12偏置弹簧SMA丝结构的影响

图12示出了结构的应力，应变和温度的空间的响应。

随温度变化的应力特性示于上所述温度应力平面上的投影。

图中显示了装置的致动器的性能。

并与在对温度-应变平面上的投影的温度变化的应变行为表明，该装置也可以是提供给一个温度驱动位置控制系统。

4结论

本构模型，提出了住宿机制描述形状记忆合金的转变行为。

所提出的本构模型可以预测的转变行为，包括各种热负荷和机械负荷条件下的多晶钛镍形状记忆合金的塑性变形效果。

为了证明本构模型的有效性，进行了样本计算。

虽然该模型适用于多轴应力和应变的情况下，在本文件中提出样品计算的结果是只为单轴应力和应变。

多轴应力状态的结果将在不久的将来呈现。

计算结果给出了超弹性行为，包括塑性应变的效果，形状记忆效应，应力或应变的保持温度变化下的转变行为，以及一个形状记忆线与偏置弹簧的结构的行为。

此结构是SMA致动器由热负荷所驱动的最简单的模型。

如示于图5至12中，计算结果被认为是合理的定性。

因此建议本构模型，应力应变和温度的复杂负载条件下的形状记忆合金的变形行为的适用性证明。

但是讨论仅定性作出，因为一些在计算中使用的材料常数的不是由实验获得的数据来确定。

作为该模型中的微机械框架构造，所必需的计算的材料数据是那些材料的微观结构。

它是非常困难的，直接由宏观实验获得这种数据。

一些间接的方式可能需要确定利用该材料的宏观实验数据的微细结构体的材料常数。

关于如何计算和实验之间的直接比较，以获得材料常数和定量评价的讨论留到以后的工作。