初中教学数列斐波那契.docx

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初中教学数列斐波那契

《斐波那契数列》主题探究教学设计方案

一、概述

本主题为人教课标必修5第二章——《数列》中关于有阅读与思考的内容．

本主题是在已有数列根本知识的根底上，探索斐波那契数列的开展历史、实际生活中的斐波那契数列，以与斐波那契数列的一些特性．斐波那契数列与实际生活联系比拟严密，有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质．使学生体会数学的科学价值、应用价值，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识．

二、教学目标分析

1．进一步巩固数列的相关知识，加深对数列的认识，能在具体问题情境中，发现数列的关系，并能用有关知识解决相应的问题．

2．初步了解数学科学与人类社会开展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值，开拓视野，激发学习数学的兴趣，提高自身的文化素养和创新意识．

三、学习者特征分析

学生已经掌握数列、等差、等比数列的知识，能在具体的情境问题中，发现数列中特殊的关系：

等差或等比关系，能用相关知识解决相应的问题．局部学生有一定的自主学习能力、协作学习能力．但应用意识不强，创新能力不强，因此需要一定的指导．

学生具有一定的计算机运用能力，能够通过网络搜索相关资源，能借助计算机解决相应的问题．

四、教学策略选择与设计

主要采用网络探究，小组协作的方式，在复习数列相关知识，然后逐步探究斐波那契数列的历史、应用、特征，教师做好指导、协调工作，对于学生探究结论给予相应评价．

五、教学资源与工具设计

1．人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5；

2．网络课件；

3．斐波那契数列计算器；

4．网络型多媒体教室．

六、教学过程

本主题共需1个课时．具体安排如下：

〔一〕问题引入

由学生计算，教师给予相应的指导．

如果一对兔子每月能生1对小兔子〔一雄一雌〕，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？

提示：

每月底兔子对数是：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，

这就是著名的斐波那契数列．

或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、鹦鹉螺的螺旋线……都遵循这个数列．你能写出以后的项吗？

设计意图：

通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列有感性认识．

〔二〕数列知识

1．数列的起源

人们对数列的研究主要源于生产、生活的需要，以与出于对自然数的喜爱．数是刻画静态物体下的量，一系列的数刻画物体的变化情况，这些按一定顺序排列着的一列数称为数列〔sequenceofnumber〕．数列是刻画离散过程的重要数学模型，在生活中经常遇到的存款利息、细胞分裂等问题都与数列有关．

在古希腊，对毕氏学派而言，万物都是数．他们将数用小石子排列成各种形状，可以排成三角形的小石子数称为三角形数，可以排成正方形的小石子数称为正方形数．

三角形数：

正方形数：

五边形数：

每种多边形数均是一个数列．

设计意图：

让学生对于数列的起源有所了解，便于理解研究数列的意义．

2．数列的相关知识

让学生快速梳理数列的根本知识：

〔1〕数列的一般形式：

，简记为．

〔2〕数列的表示方法：

〔1〕列表法；〔2〕图象法；〔3〕通项公式法．

〔3〕数列的分类：

项数有限无限：

项数的随序号的变化情况：

〔4〕数列通项公式：

；

主要方法：

①观察数列的特点，寻找项数与对应序号的关系．

②化归法〔将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列〕．

③逐差全加〔对于后一项与前一项差中含有未知数的数列〕．例如：

数列中，，求．

④逐商全乘法〔对于后一项与前一项商中含有未知数的数列〕．例如：

数列，，求．

⑤正负相间：

利用或．

⑥〔隔项有零：

利用或．

〔5〕数列求和的主要方法

①利用等差或等比的求和公式．

②利用通项列项求和．

③错项相减法：

适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和．

④倒序相加法：

例如等差数列求和公式的推导．

⑤配对法：

适合某些正负相间型的数列．

学生思考：

假如我们分别以来代表如下图的正方形数、三角形数与五边形数，你能发现求出通项公式吗？

三者的关系呢？

〔可以借助图形特点〕

n个

n个

n个

n个

教师给予适当的指导．

提示：

由上图我们不难看出：

．

而．

每个正方形数都可以看成两个三角形数的和．

n个

        观察五角形数

可以知道

即

设计意图：

让学生回顾数列的根本知识，便于将知识系统化，能更好的从整体上把握，灵活应用数列解决相应问题．

3．数列与函数的关系

让学生回顾．

数列可以看成是定义域为正整数集〔或它的有限子集〕的函数．当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式如此是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数．数列具有函数的一般性质，可以借助数形结合的思想研究问题，但研究的侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等，数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等．

设计意图：

回顾函数与数列的关系，进一步加深认识研究数列的角度和意义．

4．特殊数列

让学生填写如下表格：

名称

等差数列

等比数列

定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列〔arithmeticsequence〕，这个常数叫做等差数列的公差〔mondifference〕，通常用字母d表示．

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列〔geometricsequence〕，这个常数叫做等比数列的公比〔monratio〕，通常用字母q表示．

通项公式

等差数列实际是一次型函数，是最简单的递推数列

等比数列实际是指数型函数．

前n项和公式

．

比例中项

等差中项：

三个数成等差数列，如此A叫做a与b的等差中项〔artithmeticmean〕．

等比中项：

三个数成等比数列，如此G叫做a与b的等比中项．

．

设计意图：

比照中学中重要的两个特殊数列：

等差数列和等比数列的性质，加深对这两种数列的理解和应用，通过系统比拟能更好的理解．

〔三〕斐波那契

教师适当的加以介绍，可以在让学生利用互联网收集相关资料．

中世纪最有才华的数学家斐波那契〔1175年～1259年〕出生在意大利比萨市的一个商人家庭．因父亲在阿尔与利亚经商，因此幼年在阿尔与利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学．成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃与、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛．

斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究．他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆兴旺，因此有利于推动欧洲大数学的开展．他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料．回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》〔1202年，或叫《算盘书》〕．《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家．继《算经》之后，他又完成了《几何实习》〔1220年〕和《四艺经》〔1225年〕两部著作．

《算经》在当时的影响是相当巨大的．这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作．

在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量防止用“零〞．斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌．他在这本书的序言中写道：

“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏．

在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题与其解答，对于各种解法都进展了严格的证明．书中记载的一个有趣的问题：

理想中的兔子繁殖问题，兔子每个月对数就构成了著名的斐波那契数列．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，...命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用．1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究数列．

设计意图：

了解斐波那契的历史，提高学习数学的兴趣，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神．

〔四〕斐波那契数列特性

小组探究，归纳总结结论，可以参照提示，对于能力较强的小组可以进一步探究其它性质．教师对于各小组的探究过程加以评价．

斐波那契数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……

 1．通项公式

观察斐波那契数列项数之间有什么关系？

提示：

从第三项开始每一项等于其前两项的和，即假如用表示第n项，如此有．

通过递推关系式，我们可以一步一个脚印地算出任意项，不过，当n很大时，推算是很费事的．我们必须找到更为科学的计算方法．你能否寻找到通项公式，借助网络资源，能否给予证明？

提示：

1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式．可以利用归纳法证明．

网络资源：

求斐波那契数列的通项公式．

2．项间关系

根据如下问题分组探究，写下探究的结果．有能力的学生可以继续研究其他性质．提供斐波那契数列计算器的网页．

斐波那契数列有许多奇妙的性质，下面一起研究局部性质：

〔1〕问题：

观察相邻两项之间有什么关系？

相邻两项互素，〔〕

〔2〕1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

第3项、第6项、第9项、第12项、……的数字，有什么共同特点？

提示：

能够被2整除．

第4项、第8项、第12项，能够被3整除．

第5项、第10项、……的数字，能够被5整除．

你还能发现哪些类似的规律？

〔3〕

如果你把前五加起来再加1，结果会等于第七项；如果把前六项加起来，再加1，就会得出第八项．那么前n项加起来再加1，会不会等于第n+2项呢？

提示：

1+1+2+3+5+1=13

1+1+2+3+5+8+1=21

由于每一项都是其前两项的和，

所以　

〔4〕如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？

1+2+5=8

1+2+5+13=21

1+1+3+8=13

1+1+3+8+21=34

提示：

我们可以得到如下的结果：

你是否能给出证明？

〔5〕不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项．

22+32=4+9=13

32+52=9+25=34

82+132=64+169=233

试试看其它的情形．是不是都成立呢？

〔6〕更不可思议的是，你能想象到吗，斐波那契数列与杨辉三角居然有联系？

提示：

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

1

1

2

8

13

3

5

3．黄金分割

动手做一下：

把斐波那契数列中从第二项开始的每一项除以前一项，得到一个新的数列，并画