因式分解典型例题.docx

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因式分解典型例题

典型例题一

例01选择题：

对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）

（A）（B）

（C）（D）

分析本组题目用来判断分组是否适当.（A）的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；（B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确；（D）中两组也无公因式可提，故（D）不正确.

（C）中第一组可提取公因式2，剩下因式；第二组可提取，剩下因式，这样组间可提公因式，故（C）正确.

典型例题二

例02用分组分解法分解因式：

（1）；

（2）.

分析本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.

解⑴

（合理分组）

（组内提公因式）

（组间提公因式）

⑵

（注意符号）

（组内运用公式）

（组间运用公式）

说明分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”——有公因式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的.

另外在应用分组分解法时还应注意：

①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归.

②分组时要添加带“－”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步.

典型例题三

例03分解因式：

分析本题按字母的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为，，，.系数比相等的有或，因而可分组为、或、.

解法一

（学会分组的技巧）

解法二

说明根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！

典型例题四

例04分解因式：

分析本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.

解法一

解法二

说明本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度.

典型例题五

例05把下列各式分解因式：

（1）；

（2）；

（3）.

分析此组题项数较多，考虑用分组法来分解.

解法

（1）

（2）

（3）

说明对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.

如⑴中，“交叉项”为，相应的平方项为、；⑵中，“交叉项”为，相应的平方项为、.

典型例题六

例06分解因式：

（1）；

（2）.

分析本题两例属于型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.

解

（1），，

（2），，

.

说明抓住符号变化的规律，直接运用规律.

典型例题七

例07分解因式：

（1）；

（2）.

分析对

（1），利用整体思想，将看作一个字母，则运用型分解；对

（2），将其看作关于的二次三项式，则一次项系数为，常数项为，仍可用型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.

解

（1）

（2），，

.

典型例题八

例08分解因式：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷.

分析本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解.

解⑴法一：

（可继续分解，方法很简单：

，对于方法类似，可以自己探索）

法二：

法三：

⑵

（看作型式子分解）

⑶

⑷

说明⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.

⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了型二次三项式的因式分解.将看做关于的二次三项式，.

⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法.

⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破.

但应注意：

①不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如⑵小题中.

典型例题九

例09分解因式：

（1）；

（2）

分析本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.

解⑴

（乘法运算，去括号）

（重新分组）

⑵

（乘法运算去括号）

（重新分组）

说明“先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.

典型例题十

例10分解因式

分析因式分解一般思路是：

“一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法）”.即：

首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.

解

说明当时，多项式值为0，因而是的一个因式，因此，可从“凑因子”的角度考虑，把6拆成，使分组可行，分解成功.

运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.

法二：

法三：

（凑立方项）

法四：

（与凑立方项）

（套用公式）

法五：

（拆项）

法六：

（凑平方差公式变项）

法七：

令则（为多项式一个因式，做变换）

（做乘法展开）

（还原回）

说明以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时，需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点.

本题还可以如下变形：

＝＝……

典型例题十一

例11若是完全平方式，求的值.

分析原式为完全平方式，由，即知为，展开即得值.

解是完全平方式

应为

又，

故.

说明完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆向思维类，运用来求解.

典型例题十二

例11把下列各式分解因式：

（1）；

（2）

（3）

解：

（1）由于16可以看作，于是有

；

（2）由幂的乘方公式，可以看作，可以看作，于是有

；

（3）由积的乘方公式，可以看作，于是有

说明

（1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：

①可以看成是关于某个字母的二次三项式；②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘积的2倍，或这两数乘积2倍的相反数.而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同.

（2）在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.

典型例题十三

例12求证：

对于任意自然数，一定是10的倍数.

分析欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.

证明

是10的倍数，

一定是10的倍数.

典型例题十四

例13因式分解

（1）；

（2）

解：

（1）

或

；

（2）

或

说明：

（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。

因此，分组分解因式要有预见性；

（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；

（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；

（4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解

典型例题十五

例14把下列各式分解因式：

（1）；

（2）；

（3）

解：

（1）

（2）

（3）

或

或

说明：

（1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。

如，

，就会分解不下去了；

（2）有公因式时，“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况，预测结果；

（3）对于一道题中的多种分组方法，要善于选择使分解过程简单的分组方法，如题中前两种分组显然优于后者。

典型例题十六

例15把下列各式分解因式

（1）；

（2）.

分析

（1）的二次项系数是1，常数项=，一次项系数1=，故这是一个型式子.

（2）的二次项系数是1，常数项=，一次项系数，故这也是一个型式子.

解：

（1）因为=，并且1=，所以

=.

（2）因为=，，所以

=.

说明：

因式分解时常数项因数分解的一般规律：

（1）常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.

（2）常数项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同.

典型例题十七

例16将分解因式

分析：

此例不能直接用提公因式法或运用公式法分解因式，用分组分解法又不具备运用分组分解法的题目特点，而用型式子分解因式其二次项系数不是1，而是，故在上述都不能的情况下，想方法将看成，则这个二次三项式就可以化成，即可符合型式子，故可分解因式.

解：

设，则

原式=

所以，.

说明：

今后应细心审题观察题目的特征，若能利用整体换元的思想将多项式化为型的式子即可因式分解.