因式分解例题附答案汇总.docx
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因式分解例题附答案汇总
因式分解例题讲解及练习
【例题精选】：
〔1〕5x2y15x3y220x2y3评析：
先查各项系数〔其它字母暂时不看〕，确定5，15，20的最大公因数是5,确定系数是5,再查各项是否都有字母X,各项都有时，再确定X的最低次幕是几，至此确认提取X，同法确定提Y,最后确定提公因式5乂丫。
提取公因式后，再算出括号内各项。
解：
5x2y15x3y220x2y3
=5x2y（13xy4y2）
〔2〕3x2y12x2yz9x3y2评析：
多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最大公因数为3,且一样字母最低次的项是X2Y
2232
解:
3x2y12x2yz9x3y2
=（9x3y212x2yz3x2y）
=3（3x3y24x2yzx2y）
2
=3x2y（3xy421）
〔3〕（y-x）（c-b-a）-（x-y）（2a+b-c）-（x-y）（b-2a）评析：
在此题中,y-x和x-y都可以做为公因式,但应防止负号过多的情况出现,所以应提取y-x
解：
原式=（y-x）（c-b-a）+（y-x）（2a+b-c）+（y-x）（b-2a）=（y-x）（c-b-a+2a+b-c+b-2a）=（y-x）（b-a）
343
（4）〔4〕把32xy2x分解因式
评析：
这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式
解：
32x3y42x3=2x3（16y41）=2x3（4y21）（4y21）=2x3（2y1）（2y1）（4y21）
728
（5）〔5〕把xyxy分解因式
评析：
首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作
3232
（x）（y）用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。
对于x6-y6也可以变成（x2）3（y2）3先运用立方差公式分解，但比较麻烦。
728
解：
x7y2xy8
2662323223333
=xy（x-y）=xy[（x）（y）]=xy（xy）（xy）
=xy2（xy）（x2xyy2）（xy）（x2xyy2）
22
〔6〕把（xy）12（xy）z36z分解因式
y）2
y）2
12（xy）z36z2
2（xy）（6z）（6z）2=（x+y-6z）2
1222222把^（x2y）2（x2y）y2y
评析：
把（x+y）看作一个整体，那么这个多项式相当于（x+y）的二次三项式，并且为降幕排列，适合完全平方公式。
对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把（x+y）代换完全平方公式中的a,〔6Z〕换公式中的
解：
（x
2小2、2一2小2、24
y分解因式
=（x
（7）〔7〕
（8）〔8〕
评析：
初看，
原式=（a+b）（a-b）-（2b+1）
一个完全平方式，应采用“
22
a-b-2b-1
评析：
把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边
实际上就是一
个完全平方式。
解:
如2
2y2）22（x2
2y2）y2:
=扣
：
2y2）22（x2
2y2）?
2y
1/2=2（x
2y22y2）2
1/2
2（x4y
E（x
22
2y）（x2y）
2y4
2）2
2（2y2）2]
分解因式
前两项可用平方差公式分解。
采用“二、二〃分组，，此时无法继续分解。
再仔细看，后三项是一、三〃分组
22
解：
a-b-2b-仁
a2-（b2-2b+1）=a2-（b+1）2=[a+（b+1）][a-（b+1）]=（a-b-1）（a+b+1）
一般来说，四项式“一、三〃分解，最后要用“平方差〃。
四项
式“二、二〃分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。
9）〔9〕把a2-ab+ac-bc分解因式
解法一：
a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a（a-b）+c（a-b）=（a-b）（a+c）
解法二：
22
a-ab+ac-bc=（a+ac）-（ab+bc）=a（a+c）-b（a+c）=
=（a-b）（a+c）
（10）
2
〔10〕把2x2xy3x3y分解因式
解法一：
2
2x2xy3x3y
=
2
（2x2xy）（3x3y）2x（xy）3（xy）（xy）（2x
3）
解法二：
2
2x2xy3x3y
=（2x23x）（2xy3y）x（2x3）y（2x3）（2x3）（xy）
说明：
例〔2〕和例〔3〕的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着一样的内在联系，即两组中的对应系数成比例。
1,解法二也是1:
1;〔3〕题解法一是
1：
1,解法二是2：
〔-3〕
（11）分解因式x3x2x1
如是，就考虑“一一＞
评析：
四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。
三〃分组；不是，就考虑“二、
〔2〕题解法一1:
解法一：
x3
X2
X1
/32、
=（xx）
（
X1）
X2（X1）
（X
1）
=（X1）（x2
1）
（X
1）（X1）（X
1）
（X
1）2
（X1）
解法二：
x3
X2
3
X1=X
X（
2X
1）
X（X21）
（X21）
=
（X2
1）（X
1）（X•
1）（X
1）（X
1）
2
（X1）（X
1）
解法三：
X3
X2
/3
X1=（X
1）
（X2
X）
（X1）（X2
X1）x（x
=
（X
1）（X2
X1X）
（X
1）（:
^2
2x1）（x
1）（X1）2
（12）
〔
12〕
分解因
式（a-b）
2-1
-2c（a-b）+c
2
分组
1）
——-〃
评析：
此题将〔a-b〕看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三〃分组
二［（a-b）2-2c（a-b）+c2卜仁［（a-b）-c］c-1）
22
-1=（a-b-c）-1-（a-b-c+1）（a-b-
8a-21ba+2b-21ab+16ab=-5ab分解因式a6-10a3+16
a\z
-2）（a3-8）a
32
-2）（a-2）（a+2a+4）
〔15〕
2+x+30
2-x-30）
〔13〕分解因式8a2-5ab-42b2、.-
解：
8a2-5ab-42b2
=（8a-21b）（a+2b）
〔14〕
a6-10a3+16
3
（14）
解：
=（a
=（a
（15）
解：
-x
=-（x
-8a
分解因式-x2+x+30
〔先提出负号〕x
（x-6
+5x-6x=-x
-2
3-8
3-2a3=-10a3
+5
=-（x+5）（x-6）
（16）〔16〕分解因式12（x+y）2-8（x+y）-7
解：
12（x+y）2-8（x+y）-72（x+y）+1
解:
（a-b）2-1-2c（a-b）+c2
二[2（x+y）+1][6（x+y）-7]6（x+y）-7
=（2x+2y+1）（6x+6y-7）-14+6=8
3322
〔17〕把xyxxyy分解因式
评析：
此题是一个五项式,它能否分组分解,要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。
此题注意到后三项当把-1
提出
后,
实际上是x
y按立方差公式分解后的一个因式：
解：
3x
3
y
2
xxyy
2
=
（x3
3
y）
（xxy
y2）
=
（x
y）（x
22
xyy）
（x2
2
xyy）
=
（x2
xy
y2）（xy
1）
18）
〔
18〕
把x2
22
yz
2yz2x1分解因式
评析：
把x22x1看成一组符合完全平方公式,而剩下的三项把
-1提出之后恰好也是完全平方式,这样分组后又可用平方差公
式继续分解。
解：
x2
2
y
2
z
2yz
2x1
=（x2
2x
1）
（y2
2yzz2）
=（x
1）2
（y
z）2
=（x
1y
z）（x1
yz）
22
〔19〕分解因式（x2x1）（x2x2）6评析：
先不要把前面两个二次三项式的乘积展开,要注意到这两个二次三项式的前两项都是x2x这一显著特点,我们不妨设
ooo
xx=a可得〔a+1〕〔a+2〕-6即a+3a+2-6，即a+3a-4，此时可分解为〔a+4〕〔a-1〕
22
解：
（x2x1）（x2x2）6
222
=（x2x）23（x2x）26
=（x2x）23（x2x）4
=[（x2x）4][（x2x）1]
22
=（x2x4）（x2x1）
22
〔20〕把（x22x4）（x22x3）8分解因式
22
解：
（x22x4）（x22x3）8
22
=（X2X5）（X22X4）
22
〔21〕把（X23X2）（X29X20）72分解因式
评析：
它不同于例3〔1〕的形式,但通过观察,我们可以对这两个二次三项式先进展分解,有
22
（X23X2）（X29X20）（X1）（X2）（X4）（X5）。
它又回到例3〔1〕的形式,我们把第一项和第三项结合在一起,第二、四项结合在一起,都产生了〔X2-3X〕
22
解：
（X23X2）（X29X20）72
=（X1）（X2）（X4）（X5）72
=[（X1）（X4）][（X2）（X5）]72
22
=（X23X4）（X23X10）72
=（X23X）214（X23X）32
=[（X23X）16][（X23X）2]
=（X23X16）（X23X2）（X23X16）（X2）（X1）
2
〔22〕把（a1）（a2）（a3）（a6）a分解因式
评析：
不要轻易展开前四个一次因式的积,要注意到常数有1x6=2X3=6利用结合律会出现a2+6
2
解：
（a1）（a2）（a3）（a6）a2
=[（a1）（a6）][（a2）（a3）]a2
222
=（a267a）（a265a）a2
222222
=（a26）212a（a26）36a2（a266a）2
〔23〕把〔X+1〕〔X+3〕〔X+5〕〔X+7〕-9分解因式评析：
不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开,要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律，把〔x+1〕〔X+7〕和〔x+3〕〔x+5〕
22
分别乘开就会出现（X28X7）（X28X15）9的形式,这就不难发现
〔x2+8x〕作为一个整体a同时出现在两个因式中，即〔a+7〕〔a+15〕a6
-9的形式，展开后有a+22a+96,利用十子相乘a16，得到〔a+6〕〔a+16〕而分解。
解：
〔x+1〕〔x+3〕〔x+5〕〔x+7〕-9
=[〔x+1〕〔x+7〕][〔x+3〕〔x+5〕]-9
22
=（x28x7）（x28x15）9以下同于例3
222
=[（x28x）222（x28x）105]9
22
[（x28x）16）][（x28x）6]
（x28x16）（x28x6）
〔24〕把x〔x+1〕〔x+2〕〔x+3〕-24分解因式评析：
通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现〔x2+3x〕,
第二和第三个一次式相乘出现〔x2+3x〕。
可以设x2+3x=a,会有a〔a+2〕-24,此时已易于分解
解：
x〔x+1〕〔x+2〕〔x+3〕-24
=[x〔x+3〕][〔x+1〕〔x+2〕]-24
=（x23x）（x23x2）24
=（x23x）[（x23x）2]24
=（x23x）22（x23x）24
=（x23x6）（x23x4）
222
〔25〕把（x23x1）22（x23x）10分解因式
22
评析：
不要急于展开（x23x1）2,通过观察前两项,发现它们有公共的x2+3x,此时把它看成一个整体将使运算简化。
解：
（x3x1）
22（x23x）
10
=（x23x）2
2（x23x）1
2（x2
3x）10
=（x23x）2
9（x23x
3）（x2
3x3）
26〕把分解因式
（abcd）2
4（a
b）（cd）
评析：
我们可以观察到+前后的两项都有〔a+b〕和〔c+d〕。
据此可把它们看作为一个整体。
解：
（ab
c
d）
4（a
b）（c
d）
=
[（a
b）
（c
d）]2
4（a
b）（c
d）
=
（a
b）2
2（a
b）（c
d）
（c
2
d）24（ab）（cd）
=
（a
b）2
2（a
b）（c
d）
（c
d）2
=
[（a
b）
（c
d）]2
（a
bc
d）2
〔27〕把1
a
a（a
1）
a（a
1）2
a（a
3
1）3分解因式
评析：
把〔1+a〕看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体〔1+a〕
解：
1aa（a1）a（a1）2a（a1）3
=（1a）[1aa（1a）a（1a）2]
=（1a）（1a）[1aa（1a）]
=（1a）（1a）（1a）（1a）（1a）4
22
〔28〕把2xxy6y2x11y4分解因式
评析：
此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到
22
2xxy6y（2x3y）（x2y）
22
此时可设（2x3ym）（x2yn）2xxy6y2x11y4再用待定系数法求出m和n
22
解：
设2xxy6y2x11y4
22
（2x3ym）（x2yn）2xxy6y（m2n）x（3n2m）ymn
比较两边对应系数得到
m+2n=2①
-3n+2m=11②
〔mn=-4③
由①和②得到m=4n=-1代入③也成立
22
2xxy6y2x11y4=〔2x-3y+4〕〔x+2y-1〕
〔29〕把
22
x2xy8y4x10y3分解因式
22
解：
x2xy8y4x10y3
=
（x4y）（x2y）4x10y3
=
〔x+4y+m]〔x-2y+n〕
=
22
x2xy8y（mn）x（4n2m）ymn
有
r
]m+n=-4①
4n
-2m=-10②
mn=3③
由①和②得到m=-3,n=-1代入③也成立
22
.x2xy8y4x10y3=〔x+4y-3〕〔x-2y-1〕
33
〔30〕当x+y=2时，求x6xyy的值
33
评析：
Tx+y=2这是唯一的条件。
.••要从x6xyy中找到x+y或有关〔x+y〕的表达式
22
解：
X6xyy二〔x+y〕〔xxyy〕+6xy
•/x+y=2
222222原式=2x2xy2y6xy=2x4xy2y2（x2xyy）
=2（xy）22⑵2=8
131
x—x-r
〔31〕己知x=2求x3的值
x3A（x
X=
解：
1
X
X=2
•••原式=2[〔2〕
1）（x2
X
4）
X
1
（X-）[（X
X
丄）2
X
3]
〔32〕己知x-y=2
1（2
解：
异
—[（x2
=a
—[（x
=a
2-3]=2
1
求
（X2
y2
axay
2xy
6a2）
丿的值
ax
ay
2xy
6a2）
2xy
y2）
（ax
ay）6a2]
y）2a（x
y）6a2]
丄[（x
a
y3a）（x
y2a）]
〕
-3a
〔x-y〕
+2a
.x-y=a
1
•••原式二
a2（2a）（3a）
丄（6a2）
a
初中因式分解的常用方法〔例题详解〕
、提公因式法•
如多项式ambmcmm（abc）,
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
、运用公式法•
运用公式法，即用
2a
2b
（a
b）（a
b）,
2a
2ab
b2
（a
b）2,
3a
b3
（a
b）（a2
abb2）
写出结果.
三、分组分解法.
〔一〕分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体〃看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局
部'’看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，
后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：
原式=（aman）（bmbn）
=a（mn）b（mn）每组之间还有公因式！
=（mn）（ab）
思考：
此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
〔二〕分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
x2
2
y
ax
ay
分析:
假设将第一
•、三项分为
•组，第二、四项分为
L组,
虽然可以提公因式，但提完后就
能继续分解:
所以只能另外分组。
解:
原式
=（x2
y2）
（ax
ay）
=（x
y）（x
y）
a（x
y）
=（x
y）（x
ya）
例4、分解因式:
a2
2ab
b2
2c
解:
原式
=（a2
2ab
b2）
2c
=（a
b）2
2c
=（a
bc）（ab
c）
注意这两个例题的区别！
练习：
分解因式
3、x
2x
9y2
3y
4、
22
xy
z22yz
综合练习：
〔1〕
3x
2
xy
2
xy
3
y
厂、2
〔2〕ax
bx2bx
axab
〔3〕
2x
6xy
9y2
16a
28a
1
〔4〕
a2
6ab12b9b24a
〔5〕
4a
2a3
a2
9
〔6〕
4a2x4a2y
22
bxby
〔7〕
2x
2xy
xz
yz
2y
〔8〕
2a
2ab2
2b2ab1
〔9〕
y（y
2）
（m
1）（m
1）
〔10〕
（a
c）（ac）
b（b2a）
例2、分解因式：
2ax10ay解法一：
第一、二项为一组；第三、四项为一组。
解：
原式=（2ax10ay）（5bybx）
=2a（x5y）b（x5y）=（x5y）（2ab）
练习：
分解因式1、a2abacbc
5bybx
解法二：
第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=（2axbx）（10ay5by）=x（2ab）5y（2ab）=（2ab）（x5y）
2、xyxy1
〔11〕a2（bc）b2（ac）c2（ab）2abc〔12〕a3b3c33abc
四、十字相乘法•
〔一〕二次项系数为1的二次三项式
2
直接利用公式x（pq）xpq（xp）（xq）进展分解。
特点：
〔1〕二次项系数是1;
〔2〕常数项是两个数的乘积；
〔3〕一次项系数是常数项的两因数的和。
2
例5、分解因式：
x5x6
分析：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2X3=（-2）X（-3）=1X6=（-1）X（-6），从中可以发现只有2X3的分解适合，即
2+3=5。
解:
12
x25x6=x2（23）x231""3
=（x2）（x3）1X2+1X3=5
用此方法进展分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于
次项的系数。
例6、分解因式：
x27x6
解：
原式=x2[
（1）（6）]x
（1）（6）1......-1
=（x1）（x6）1-6
〔-1〕+〔-6〕=-7
练习5、分解因式
（1）x214x24⑵a215a36⑶x24x5
练习6、分解因式
（1）x2x2
22
⑵y2y15（3）x10x24
〔二〕二次项系数不为
条件：
〔1〕aa1a2
〔2〕cC1C2
1的二次三项式
ax2
bxc
C1
C2
分解结果:
a〔C2ax2bx
例7、分解因式:
分析：
解：
3x2
练习7、分解因式:
11x
〔1〕
〔3〕
a2C1
c=（a1xc1）（a2xc2）
3x211x10
1.-2
3-5
〔-6〕+〔-5〕=-11
10=（x2）（3x5）
5x27x6
2
10x17x3
a〔c2a?
C1
2
〔2〕3x7x2
〔4〕6y211y10
〔三〕二次项系数为1的齐次多项式
例&分解因式：
a28ab128b2
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