因式分解精选例题附答案docxWord文档格式.docx
《因式分解精选例题附答案docxWord文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解精选例题附答案docxWord文档格式.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
O
解:
1（χ2
2y2）22（x2
2y2）y22y
2
1
=尹X
22y2）22（x2
2y2）?
2y2
=2（X2
22、2
2y2y）
122
（X4y）
=I（X
2y）2（x2y）2
（8）
a2-b2-2b-1
（2y2）2]
初看，前两项可用平方差公式分解。
采用“二、二”分组,
原式=（a+b）（a-b）-（2b+1），此时无法继续分解。
再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。
解：
a2-b2-2b-1=
a2-（b2-2b+1）=a2-（b+1）2=[a+（b+1）][a-（b+1）]=（a-b-1）（a+b+1）
一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。
四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。
（9）（9）把a2-ab+ac-bc分解因式解法
a2-ab+ac-bc=（a
2-ab）+（ac-bc）=a（a-b）+c（a-b）=（a-b）（a+c）
10）
把2x22xy3x
解法一：
2x22xy3x3y
=（2x22xy）（3x3y）2x（x
3y分解因式
y）3（xy）（xy）（2x3）
解法二：
=（2x23x）（2xy3y）
=（a-b）（a+c）
x（2x3）y（2x3）（2x3）（xy）
说明：
例
（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却
有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。
（2）题解法一1：
1，解法二也是1：
1；
（3）题解法一是
1：
1，解法二是2：
（-3）
（11）分解因式x3x2x1评析：
四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。
如是，就考虑“一、三”分组；
不是，就考虑“二、二”分组
x3x2x1
=（x3x2）（x1）x2（x1）（x1）
=（x1）（x21）（x1）（x1）（x1）（x1）2（x1）解法二：
x3x2x1=x3x（x21）x（x21）（x21）
=（x21）（x1）（X1）（x1）（x1）（X1）2（x1）
解法三:
32
XXX
1=（X31）（X2X）（X1）（X2
X1）X（X1）
=（X1）（X2
XIX）（X1）（x22x1）（X
1）（X1）2
（12）
分解因式（a-b）2-1-2c（a-b）+c
本题将（a-b）看作个整体，可观察出其中三项是完全平方
式，可以“一、三”分组
（a-b）2-1-2c（a-b）+c2
=[（a-b）
2-2c（a-b）+c2]-1=[（a-b）-c]2-1=（a-b-c）2-1-（a-b-c+1）（a-b-
c-1）
（13）分解因式8a2-5ab-42b2
8a-21b
8a2-5ab-42b2
a+2b
=（8a-21b）（a+2b）
-21ab+16ab=-5ab
（14）
（14）分解因式a6-10a3+16
a6-10a3+16
a3-2
=（a3-2）（a3-8）
a3-8
=（a3-2）（a-2）（a2+2a+4）
-8a3-2a3=-10a3
（15）
（15）分解因式-x2+x+30
-x2+x+30（先提出负号）
X+5
=-（X2-x-30）
X-6
=-（x+5）（x-6）
+5x-6X=-X
（16）
（16）分解因式12（x+y）
2-8（x+y）-7
12（x+y）2-8（x+y）-7
2（x+y）+1
=[2（x+y）+1][6（x+y）-7]
6（x+y）-7
=（2x+2y+1）（6x+6y-7）
-14+6=8
（17）
r3322厂匚一「
把XyXXyy分解因式
此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。
本题注意到后三项当把-1
33
提出后，实际上是x3y3按立方差公式分解后的一个因式：
x3
y3x
22
2xyy2
=（x3
y3）
（x2xyy2）
=（x
y）（x2
xyy2）（x2
2xyy）
=（x2
xy
y2）（xy1）
18）
（
222
把x2y2z2
2yz2x
1分解因式
把x22x1看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把
-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公
式继续分解。
x2y2z22yz2x1
=（x22x1）（y22yzz2）
=（x1）2（yz）2
=（x1yz）（x1yz）
（19）分解因式（x2x1）（x2x2）6评析：
先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是x2x这一显著特点，我们不妨设
x2x=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）
（x2x1）（x2x2）6
=（x2x）23（x2x）26
=（x2x）23（x2x）4
=[（x2x）4][（x2x）1]
=（x2x4）（x2x1）
（20）把（x22x4）（x22x3）8分解因式解：
（x22x4）（x22x3）8
=（x22x）2（x22x）128
=（x22x）2（x22x）20
=[（x22x）5][（x22x）4]
=（x22x5）（x22x4）
（21）把（x23x2）（x29x20）72分解因式
它不同于例3
（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有（x23x2）（x29x20）（x1）（x2）（x4）（x5）。
它又回到例3
（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）
（x23x2）（x29x20）72
=（x1）（x2）（x4）（x5）72
=[（x1）（x4）][（x2）（x5）]72
=（x23x4）（x23x10）72
=（x23x）214（x23x）32
=[（x23x）16][（x23x）2]
=（x23x16）（x23x2）（x23x16）（x2）（x1）
（22）把（aI）（a2）（a3）（a6）a分解因式
不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×
6=2×
3=6利用结合律会出现a2+6
（a1）（a2）（a3）（a6）a2
=[（a1）（a6）][（a2）（a3）]a2
=（a267a）（a265a）a2
=（a26）212a（a26）36a2（a266a）2
（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式评析：
不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）
分别乘开就会出现（x28x7）（x28x15）9的形式，这就不难发现
（x2+8x）作为一个整体a同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）
a6
-9的形式，展开后有a2+22a+96，利用十字相乘a16，得到（a+6）（a+16）而分解。
（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9
=[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]-9
=（x2
8x
7）（x28x15）
9
以下同于例
3
=[（x2
8x）
222（x2
105]9
8x）2
22（x2
8x）+
96
16）][（x
28x）
6]
16）（x2
8x6）
（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式评析：
通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。
可以设x2+3x=a，会有a（a+2）-24，此时已易于分解
x（x+1）（x+2）（x+3）-24
=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]-24
=（x23x）（x23x2）24
=（x23x）[（x23x）2]24
=（x23x）22（x23x）24
=（x23x6）（x23x4）
（25）把（x23x1）22（x23x）10分解因式
不要急于展开（x23x1）2，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。
（x23x1）22（x23x）10
=（x23x）22（x23x）12（x23x）10
=（x23x）29（x23x3）（x23x3）
（26）把分解因式（abcd）24（ab）（cd）评析：
我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和（c+d）。
据此可把它们看作为一个整体。
（abcd）24（ab）（cd）
=[（a
b）
（C
d）F
4（a
b）（c
d）
=（a
b）2
2（a
d）24（ab）（cd）
d）2
d）]2
（a
bC
（27）把1a
a（a
1）
1）2
I）分解因式
把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项一个整体（1+a）
1aa（a1）a（a1）2a（a1）3
=（1a）[1aa（1a）a（1a）2]
=（1a）（1a）[1aa（1a）]
=（1a）（1a）（1a）（1a）（1a）4
22
（28）把2xXy6y2x11y4分解因式
此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到
2x2Xy6y2（2x3y）（x2y）
此时可设（2x3ym）（x2yn）2xXy6y2x11y再用待定系数法求出m和n
设2xXy6y2x11y4
（2X3ym）（x2yn）2x2Xy6y2（m2n）x（3n2m）y
比较两边对应系数得到
m+2n=2①
-3n+2m=11②
mn=-4③
由①和②得到m=4,n=-1代入③也成立
.∙.2xxy6y2xWy4=（2χ-3y+4）（X+2y-1）
（29）把X2xy8y4x10y3分解因式
解.X2xy8y4x10y3
a也合成
mn
=（X4y）（x2y）4x10y3
（x-2y+n）
（mn）x（4n2m）y
有m+n=-4①
I4n-2m=-10②
mn=3③
由①和②得到m=-3,n=-1代入③也成立
.∙.x2xy8y4x10y3=（χ+4y-3）（x-2y-1）
33
（30）当x+y=2时，求X6xyy的值
3C3
τχ+y=2这是唯一的条件。
.要从X6xyy中找到x+y或有关（x+y）的表达式
3322
X6xyy=（x+y）（XXyy）+6xy
4xy2y2
2（x22xy
τχ+y=2
.∙.原式=2x22xY2Y26xy=2χ2
=2（Xy）22
（2）2=8
131
X-Xr
（31）己知x=2求X3的值
31/12
X3（X）（x
112
■）（X）[（x
丄）2
3]
X=X
X
x=2
.原
式=2[
（2）2-3]=2
2（X2
Yaxay
2xy
6a2）
（32）
己知x-y=2，求a
的值
1/22
2（XYaxay
a
2【（x2xyY）=a
（ax
ay）6a2]
[（x
、2
>
a（x
Y）
亠2„
6a]
（x-y）
-3a
Y
3a）（x
2a）]
/∖
+2a
∙X-y=a
112
-2（2a）（3a）-r（6a）
二原式=aa
初中因式分解的常用方法（例题详解）
一、提公因式法•
如多项式ambmCmm（abc）,
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
二、运用公式法•
运用公式法，即用
a2b2（ab）（ab）,
222a2abb（ab）,
a3b3（ab）（a2abb2）
写出结果.
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局
部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，
后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
原式=（aman）（bmbn）
=（mn）（a
思考：
此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：
可以提。
=a（mn）b（mn）k每组之间还有公因式！
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式
例2、分解因式：
2axIOay
第一、二项为一组；
第三、四项为一组。
原式=（2ax10ay）（5bybx）=2a（x5y）b（x5y）=（X5y）（2ab）
练习：
分解因式1、a2abacbc
5bybx
第一、四项为一组；
第二、三项为一组。
原式=（2axbx）（10ay5by）
=x（2ab）5y（2ab）
=（2ab）（x5y）
2、XyXy1
组，虽然可以提公因式，但提完后就能
（axay）y）a（xy）ya）
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
Xyaxay分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为继续分解，所以只能另外分组。
原式=（Xy）
=（Xy）（x
例4、分解因式
a2ab
b2
2C
原式=（a
2abb）
b）C
bc）（ab
C）
注意这两个例题的区别!
分解因式3、X2X9y2
3y
4、Xy
Z2yz
综合练习：
（1）X3
x2yxy2
y
（2）ax2bx2bx
axab
（3）
2X
6xy
9y2
16a28a1
（4）
2a
6ab
12b9b4a
（5）
4a
2a3
（6）
4a2
X4a
ybxby
（7）
XZ
yzy
2a
b22b2ab1
（9）
y（y
2）
（m
1）（m1）
（10）
c）（a
C）b（b2a）
b2（aC）c2（a
b）2abc（12）a3b3
c33abc
（11）a2（bC）
四、十字相乘法•
（一）二次项系数为直接利用公式一一
1的二次三项式
X（Pq）xPq（XP）（Xq）进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：
X5x6
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
由于6=2×
3=（-2）×
（-3）=1×
6=（-1）×
（-6）,从中可以发现只有
3）x23
3）
2×
3的分解适合，即
2+3=5。
用此方法进行分解的关键:
次项的系数。
例6、分解因式：
原式=χ2
X25x6=X2
将常数项分解成两个因数的积,
（2
2）（x
1×
2+1×
3=5
且这两个因数的代数和要等于
练习5、分解因式
（1）
[（
1）（x
7x6
6）]x
（1）（6）
6）
x2
14χ
24⑵a215a
1X二-1
1-6
（-1）+（-6）=-7
36（3）X4x5
练习6、分解因式
（1）X2
⑵y2y15
⑶X10x24
（二）二次项系数不为
1的二次三项式一一
aχbχC
条件：
（1）
a〔a2
a1∙
C1
（2）
C
C[C?
a2
C2
b
a1C2
a2C1
ba1C2
分解结果：
aχ
2bχ
C=（a1XC1）（a2X
C2）
例7、分解因式：
3χ211χ10
1,-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
3χ2
11χ
10=（X2）（3χ5）
练习7、分解因式:
5χ27χ6
7χ2
10χ217χ3
6y2
11y10
（三）二次项系
升级会员 