八年级上册勾股定理练习题与答案Word格式.docx
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X
根第勾股翟瞇斜边为
12_
16913
利用面积法得.
4・解:
依题意
1
5
知二16mf
AC=12m十
12
x,x
在直角三角形
ABC
2AB2
BC
AC2162122202
BC—20fTI,20*12—32(01),
故旗杆在断裂之前有32m高.
4
中,根据勾股定理,得
BC*AC2=AB+=
23
在直角三角形CBD
2=BC2+BD2=25+122=169,所以CD=13.
9.解:
延长BC.
AD交于点
E.
(如图所示)
ZB二90,ZA=60,ZE=30又CD=3,/.CE=6,
J=
(2x)
中由勾股定理
…BE=8,
\连接
由勾股定理求得A'
B=17km
11.解:
根据勾股定理求得水平长为
B地毯的总长为12*5=17(m),地毯的面积为
6・解:
如图,由题意得,AC=4000米,2C=90,AB=5000米由勾股定理得
bc=5000
A
4000
Z
3000
铺完逆个楼道至少需要花为:
34X18=612(元)
12.:
如图,甲从上牛8:
00到上午了仁千米.即
io:
00—共走了
OA=12・
乙从上午9:
00到上午
走了5千米,即
OB=5・
所以飞机飞行的速度为
20
540(千米/小时)
H
3600
解:
将曲线沿
人8展开、,'
如图所羣过点=&
佢CE#B于E.
在RtCEF,
CEF90EF=18-1-1=16(cm),
CE=
30()
oo—共走了
在RtAOAB中・AB
=12
512m
p
17X2=34(m2),
2小时,5.8
1小时,
:
十52=169,・・・AB二13,
因此,上午10:
00时,甲.乙两人相距13千米・
••15>
13,.•.甲、乙两人还能保持联系.7.
EF
cm
由勾股定理,得cf=CE
30
16
34()
解:
在直角三角形ABC中,
根据勾股定理,
得
D.三个内角比为1:
要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为(
勾股定理的逆定理
(2)
—、S
1•下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是()
A.9,12,15B.5C.0.2,0.3,0.4D.40,41,9
3
*
44
2•满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(V)
A.三个内角比为JT■:
2:
1、厂B.三边之比为1:
2:
5
C•三边之比为3\2:
3•已知三角形两边长为2和6,
6•三边为9、12、15的三角形,其面務
7•已知三角形abc的三边长为a,b,c满足ablo.ab"
C8,则此三角形为
18,
三角形.
BC=4tCD=12,AD=13f
8.在三角形ABC中,AB=12CmAC=5cmBC=13cm则BC边上的离AD=
求四边形ABCD
10.如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,凰二4,CE=4
BCfF为CD的
BC
E
第10题
第_11题
在树上距地面Wm的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的
D处上爬到树砺也利用拉在A处的滑绳,滑到C处’另一只
再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高,
BC二4公里,若每天
路凿通隧逋!
量出zA=40°
ZB=50°
tAB=5公里,
凿隧道公里•问几天才能把隧道凿通?
18.2勾股定理的逆定理答案:
—、rc;
2.C;
3.C,提示:
当已经给出的两边分别为直角边时,第三边为斜边
二、5.90°
提示:
根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,所以最大的内角为
90°
654,提示:
先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,面积为
4-X
9
54.
7.
直角+提示二
2100,
100,2210021864
(ab)
125
AD
三.9.解:
连接AC,在RtAABC41,
AC
2=AB2+BC2=32+*=25,/.AC=5.
在Z^ACD中,TAC
2+CD2=25+122=169,
而AB?
二曲蚀
AC2+CD^=AB2f/.
ZACD二90
故ABCD^'
ABC十S
AB・BC
AC・
11
CDXX5X
s
厶acd=2+
2=
23X212=6
4+
+30=36.
2=25,
EF2=5t
10.
由勾股定理得
AE
第n组a2ff1,b+2n(n=1),c2tl(n1)=1
/.Aaef是直角三角形
11-设AD=x米,贝IJAB为(10+x)米解得x=2,/.10+x=12(米)
勾股定理的逆定理(3)
一、基腿固
1•满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A.三内角之比为1:
2:
3B.三边长的平方之比为1:
3
C.三边长之比为3:
4:
5D.三内角之比为3:
4:
2•如图-2-4所示有一个形状为直角梯形的零件ABCD,ADIIBC,斜腰DC的长为10cm,
ZD=120»
则该零件另一腰AB的长是cm(结果不取近似值.
7-xj(I/X
[L-?
S43
\
f
團图一2一5图一2-6
3•如團-2-5,以RtAABC的三边为边向外作正方形,薦猱别耳、§
、S3,且S〔=4,
S亍8,贝IJAB的长为
4•如0-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=试判断EFC的形状.
5.—个零件的形状如團二2厂7,按规定这个零件中ZA与ZBDC都应为直角,工人师營
=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗?
图一2-7
6.已知△ABC的三边剰
-1,2k,k2*i(k>
1),求证:
△ABC是直角三角形
是直角三角形吗?
为什么?
8•已知:
如图-2-8,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD
2=ad-bd.
囹一2—8
•图一2-9
10.已知:
在厶ABC中?
ZA、ZB、ZC的对边劉a、b、c,满足a
2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断ABC的形状.
求:
四边
二、综合应用
7.已知a、b、c是RtAABC的三边长,△ArB©
的三边长鬼2a、2b、2c,那么△A〔BiCi
-2-10
一、基處固
参考答案
直角三角形的是()
A.三内角之比为1:
B.三边长的平方之比为1:
C.三边长之比为3:
D.三内角之比为3:
思路分析:
判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法:
①有一个角是直角或两锐角互余;
②两边的平方和等于第三边的平方;
③一边的中线等于这条边的一半
由A得有一个角是直角;
B、C满足勾股定理的逆定理,所以应选
答案:
D
2•如圈-2-4所示有一个形状为直角梯形的零件ABCDtADIIBC,斜腰DC的长为10cm,
画-2-5图-2-6匸满足下列条件的三角形中,不是
因为△ABC是RtA,所以BC^AC^AB2,即所以肝亿因为S3=AB2,
4.如图-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF二
试判断△EFC的形状.
分别算F、CE、CF的长度,再利用勾股定理的逆定理判断即可
JE为AB中点,.IBE=2.
•ICE2=BE2+BC2=22+42=20.
同理可求得.EF^AE2+AF^=22+12=5iCF^DF^CD^=32+42=25.
过点作DEIIAB交BC于E,
222
TCE
+EF=CF,
则厶DEC是直角三角形•四边形ABED是矩形,
△EFC是以ZCEF为直角的直角三角形.
二AB=DE.
/ZD=120°
t・•.ZCDE=30•
5—个零件的形状如图一2-人按规定这个零件
零件各边尺寸:
AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,1
BDC都应为直角,工人师臺合要求码
又•••在直再三角形中.30。
戶斤对的直角边等于斜边的一半J.CE=5cm.
V—=-V
根据勾股定理的逆定理得,
de=10553
cm.
匾|一2-7
/.ab=10553皿
3•如图-2-5,以RtAABC的三边为边向外作正方形,苴猱别为3、岂、S3,且S"
SF8,贝IJAB的长为
要检验这个零件是否符合要求,只要判断厶ADB和厶DBC是否为直角三角形即
可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场•
在△ABD中,AB2+AD2=32+42=9*16=25=BD2,所以△ABD为直角三角形,ZA=90?
CDB=90°
.
BD2+DC2=52+122=25+144=169=13^BC所以△BDC是直角三角形,Z因此这个零件符合要求•
6•已知△ABC的三边分别为k
根据题意,只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可
证明:
Tk2+1>
k2-1,k2+1-2k=(k-1)2>
0,§
卩k2+1>
2k,/.k2+1是最长边
•/(k2一1)2+(2k)2=k4一2k2+1+4kk4+2k2+1=(k2+1)2,
・•・△ABC是直角三角形•
二、综合•应用
7•已知a、b、c是RtAABC的三边长,△A^BG的三边长分别是2a、2b、2c,那么△人眉心
圏一2—8
△ABC是直角三角形・
逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可
TOA2=0A-j2+AiA2=32+12=10,
OB2=22+42=20,
AB2=AC2+BC2=12+32=10,
■
・•・OA2+AB2=0B2.
•••△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形•
10•阅读下列解题过程:
已知比b、c为厶ABC的三边,且满足
2c2—b2c?
=a4-b4,试判断△ABC%2-b2c2=a4—b4,试判断△ABC的形状•
2-b2c2=a4一b4,(A)/,c2(护一b2)=(a2+b2)(a2-b2),(B)/.t^^+b2,(C)/.△ABC是
•••a
c
直角三角形•
问:
①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的?
请写出该的钱;
②错误的原熠;
③本题的正确结论是.
做这种类型的题目,首先要认真审题,特别是题目中隐的条件本题错在忽视艙可能等于b这一条件,从而得出的结论垄面•
①⑻②没有考虑这种可能,当时厶ABC是等腰三角形;
③公ABC是等
腰三角形或直角三角形•
门•已知:
在厶ABC中,ZA、ZB、ZC的对边分别是a、b、c,满足
2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
(1)移项,配成三个完全平方;
⑵三个非负数的苑0,则都0;
⑶已知a.
b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形
由已知可得a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,配方并化简得.(a-5)2*(b-12)2+(c-!
3)2=o.
・•(a-5)
>
/.a一5=0,b一12=0,c一13=0.
解得a=5,b=12,c=13.9.如图
借助于网格’证明他结论
圏一2—9
借助于网格,利用勾股定理分别算OA、AB.OB的长度,再利用勾股定理的
又Ta
+b=169=c
•••△ABC是直角三角形•
AD=3.
12.已知:
如图-2-10,四边形ABCD,ADIIBCtAB=4,BC=6,CD=5,
四边形ABCD的面积
團一2-10
⑴作DEIIABf缆,则可以塑ABD妥△EDB(ASA);
(2)DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3;
(3)在△DEC中,3、4、5为勾股数,△DEC为直角三角形,DE丄BC;
⑷利用梯形面积公式,或利用三角形的面积可解•
作DEllAB,Jfc).则可以谨ABD妥△EDB(ASA),
DE=AB=4,BE=AD=3.
TBC=6f.-・EC二EB=3.
TDE^CE^S2+42=25=CD2,
△DEC为直角三角形•
又TEC=EB=3,
△DBC为等腰三角形,DB=DC=5.
在厶BDA中AD2*AB2=32+42=25=BD2,
•••△BDA是直角三角形•
它们的面积分别Sabda二84=6;
Sadbc=84=12.
TT
/.s
勾股定理的应用(4)
1•三个半圆的面积分5=4.5R,申8TI,3=12.571,把三个半圆拼成如图所示的图形,则厶ABC—定是直角三角形吗?
说明理由
2•求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,测量
A=90°
AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200天.问学校需要投入多少资金买草皮?
4•如图.一个牧童在小河的南n的A处牧马,而他正位于他的小屋_旦的西.购p.北.7km处,他
想把他的马牵到小河边去饮水,储園他要完成这件事情所走的最轟產是多少[
北
(2)请写出你发现的规律。
(3)结合勾股定理有关知识,说明你的结论的正谕
6.如图.在RtAABC中,ZACB=90°
CD丄AB.BC=6,AC=8,求AB、CD的长
BC
厂
7•在数轴上画出表示17的点(不写作法,但要保留画图痕迹)
9.如图.每个小方格的边长都1・求图中格点四边形ABCD的面积。
小
B
(8分)观察下列各式,你有什么发现?
2=4+5,9=12+13,7=24+259==40+41这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢
(1)填空:
13+
勾股定理复习题(5)
填空、选择题题:
3•有一个边长为5米的正方形洞口.想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少为()
米。
4、一旗杆离地面6米处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,则旗杆折断之前的高度是
6、在Z\ABC中,ZC=9O,AB=10o
(1)若ZA=30,贝ljBC=,AC=。
(2)若/A=45”,
则BC=,AC二o
8、在△ABC中,ZC=90,AC=0.9cm1BC=1-^cm.则斜边上的高CD=m
11、三角形的三边abc,满足2
(ab)c2ab.则此三角形是二角形。
12、小朋向东走80米后,沿另一方向又走了60米,再沿第三个方向走100米回到原地。
小明
向东走80米后又向方向走的。
13、ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm则AC的长为cm
14、两人从同一地点同时出发,一人以3米/秒的速度向北直行,一人以4米/秒的速度向东直
行,5秒钟后他们相距米.
15、写出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?
(1)两直线平行,内错角相等。
(
)
(2)如果两个实数相等.那么它们的平方相等。
=(
⑶右」nll
ab,贝lja=b
⑷全等二角形的对应角相等c
(5)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
16.下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是厂
(A)a=15b=8c=17"
(B)a:
b:
c=1~
3:
二、解答题:
19、有一个水池,水面是一个边长为
10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面
尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面。
水的深度与这根芦
苇的长度分别是多少?
、一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处•折断处离地面的高度是多少?
(其
中丈、尺是长度单位J丈=10尺)
21、某港口位于东西方向的海岸线上。
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固
定方向航行,“远航“号每小时航行代海里,“海天”号每小时航行12海里。
它们离开港口一个半小时后相距30海里。
如果知道“远航号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗?
23、一根70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中,能放进去吗?
(提
不:
长方体的高垂直于底面的任何一条直线■)
讥则使此三角形是直角三角形的X的值是().
28D.10或28
勾股定理复习题(6)
1X如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,?
贝IJ这条小路6•如图,
的面积是多少?
BEC
2、如图,已知在△ABC中,CD丄AB于QAC=20,BC=15,DB=9O
(1)求DC的长。
⑵求AB的长。
ADB
3、如图9,在海上观察所A,我边防海警发现正北6册的B处有一可疑船只正在向东方向8km的
C处行驶•我边防海警即刻派船前往C处拦截-若可疑船只的行驶速度为40km/h,则我边防海警
♦
船的速度为多少时,才能恰好在C处将可疑船只截住?
「八"
6km
4、如图,小明在广场上先向东走2米,又向南走40米,再向西走
向东走70米•求小明到达的终止点与原出发点的距离
40
从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电
9•如图,在厶ABC中,AB=AC(12分)
(1)P为BC上的中点,求证:
AB
AB为8cm,?
长BC?
为10cm•当
•想一想,此时EC有多长?
?
图‘小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽小红折叠时,顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)
终止点
八八'
(2)若P为BC上的任意一点,
(1)中的结论是否成立,并证明;
(3)若P为BC延长线上一点,说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系.5、如