八年级上册勾股定理练习题与答案Word格式.docx

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X

根第勾股翟瞇斜边为

12_

16913

利用面积法得.

4・解：

依题意

1

5

知二16mf

AC=12m十

12

x,x

在直角三角形

ABC

2AB2

BC

AC2162122202

BC—20fTI,20*12—32（01）,

故旗杆在断裂之前有32m高.

4

中，根据勾股定理，得

BC*AC2=AB+=

23

在直角三角形CBD

2=BC2+BD2=25+122=169,所以CD=13.

9.解：

延长BC.

AD交于点

E.

（如图所示）

ZB二90,ZA=60,ZE=30又CD=3,/.CE=6,

J=

（2x）

中由勾股定理

…BE=8,

\连接

由勾股定理求得A'

B=17km

11.解：

根据勾股定理求得水平长为

B地毯的总长为12*5=17（m）,地毯的面积为

6・解:

如图，由题意得,AC=4000米,2C=90,AB=5000米由勾股定理得

bc=5000

A

4000

Z

3000

铺完逆个楼道至少需要花为：

34X18=612（元）

12.:

如图，甲从上牛8:

00到上午了仁千米.即

io:

00—共走了

OA=12・

乙从上午9：

00到上午

走了5千米，即

OB=5・

所以飞机飞行的速度为

20

540（千米/小时）

H

3600

解:

将曲线沿

人8展开、，'

如图所羣过点=&

佢CE#B于E.

在RtCEF,

CEF90EF=18-1-1=16（cm）,

CE=

30（）

oo—共走了

在RtAOAB中・AB

=12

512m

p

17X2=34（m2）,

2小时,5.8

1小时,

:

十52=169,・・・AB二13,

因此，上午10:

00时，甲.乙两人相距13千米・

••15>

13,.•.甲、乙两人还能保持联系.7.

EF

cm

由勾股定理，得cf=CE

30

16

34（）

解：

在直角三角形ABC中，

根据勾股定理,

得

D.三个内角比为1:

要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（

勾股定理的逆定理

（2）

—、S

1•下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）

A.9,12,15B.5C.0.2,0.3,0.4D.40,41,9

3

*

44

2•满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（V）

A.三个内角比为JT■:

2:

1、厂B.三边之比为1：

2：

5

C•三边之比为3\2:

3•已知三角形两边长为2和6,

6•三边为9、12、15的三角形，其面務

7•已知三角形abc的三边长为a,b,c满足ablo.ab"

C8,则此三角形为

18,

三角形.

BC=4tCD=12,AD=13f

8.在三角形ABC中，AB=12CmAC=5cmBC=13cm则BC边上的离AD=

求四边形ABCD

10.如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，凰二4,CE=4

BCfF为CD的

BC

E

第10题

第_11题

在树上距地面Wm的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的

D处上爬到树砺也利用拉在A处的滑绳，滑到C处’另一只

再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高，

BC二4公里，若每天

路凿通隧逋！

量出zA=40°

ZB=50°

tAB=5公里,

凿隧道公里•问几天才能把隧道凿通？

18.2勾股定理的逆定理答案：

—、rc；

2.C；

3.C,提示：

当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边

二、5.90°

提示：

根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为

90°

654,提示：

先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为

4-X

9

54.

7.

直角+提示二

2100,

100,2210021864

（ab）

125

AD

三.9.解：

连接AC,在RtAABC41,

AC

2=AB2+BC2=32+*=25,/.AC=5.

在Z^ACD中，TAC

2+CD2=25+122=169,

而AB?

二曲蚀

AC2+CD^=AB2f/.

ZACD二90

故ABCD^'

ABC十S

AB・BC

AC・

11

CDXX5X

s

厶acd=2+

2=

23X212=6

4+

+30=36.

2=25,

EF2=5t

10.

由勾股定理得

AE

第n组a2ff1,b+2n（n=1）,c2tl（n1）=1

/.Aaef是直角三角形

11-设AD=x米，贝IJAB为（10+x）米解得x=2,/.10+x=12（米）

勾股定理的逆定理（3）

一、基腿固

1•满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为1：

2：

3B.三边长的平方之比为1：

3

C.三边长之比为3:

4：

5D.三内角之比为3：

4：

2•如图-2-4所示有一个形状为直角梯形的零件ABCD,ADIIBC,斜腰DC的长为10cm,

ZD=120»

则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值.

7-xj（I/X

[L-?

S43

\

f

團图一2一5图一2-6

3•如團-2-5,以RtAABC的三边为边向外作正方形，薦猱别耳、§

、S3,且S〔=4,

S亍8,贝IJAB的长为

4•如0-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=试判断EFC的形状.

5.—个零件的形状如團二2厂7,按规定这个零件中ZA与ZBDC都应为直角，工人师營

=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗？

图一2-7

6.已知△ABC的三边剰

-1,2k,k2*i（k>

1）,求证：

△ABC是直角三角形

是直角三角形吗？

为什么？

8•已知：

如图-2-8,在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD

2=ad-bd.

囹一2—8

•图一2-9

10.已知：

在厶ABC中？

ZA、ZB、ZC的对边劉a、b、c,满足a

2+b2+c2+338=10a+24b+26c.

试判断ABC的形状.

求：

四边

二、综合应用

7.已知a、b、c是RtAABC的三边长，△ArB©

的三边长鬼2a、2b、2c,那么△A〔BiCi

-2-10

一、基處固

参考答案

直角三角形的是（）

A.三内角之比为1：

B.三边长的平方之比为1:

C.三边长之比为3：

D.三内角之比为3：

思路分析：

判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：

①有一个角是直角或两锐角互余；

②两边的平方和等于第三边的平方；

③一边的中线等于这条边的一半

由A得有一个角是直角；

B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选

答案：

D

2•如圈-2-4所示有一个形状为直角梯形的零件ABCDtADIIBC,斜腰DC的长为10cm,

画-2-5图-2-6匸满足下列条件的三角形中，不是

因为△ABC是RtA,所以BC^AC^AB2,即所以肝亿因为S3=AB2,

4.如图-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF二

试判断△EFC的形状.

分别算F、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可

JE为AB中点，.IBE=2.

•ICE2=BE2+BC2=22+42=20.

同理可求得.EF^AE2+AF^=22+12=5iCF^DF^CD^=32+42=25.

过点作DEIIAB交BC于E,

222

TCE

+EF=CF,

则厶DEC是直角三角形•四边形ABED是矩形,

△EFC是以ZCEF为直角的直角三角形.

二AB=DE.

/ZD=120°

t・•.ZCDE=30•

5—个零件的形状如图一2-人按规定这个零件

零件各边尺寸：

AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,1

BDC都应为直角，工人师臺合要求码

又•••在直再三角形中.30。

戶斤对的直角边等于斜边的一半J.CE=5cm.

V—=-V

根据勾股定理的逆定理得,

de=10553

cm.

匾|一2-7

/.ab=10553皿

3•如图-2-5,以RtAABC的三边为边向外作正方形，苴猱别为3、岂、S3,且S"

SF8,贝IJAB的长为

要检验这个零件是否符合要求，只要判断厶ADB和厶DBC是否为直角三角形即

可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场•

在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9*16=25=BD2,所以△ABD为直角三角形，ZA=90?

CDB=90°

.

BD2+DC2=52+122=25+144=169=13^BC所以△BDC是直角三角形，Z因此这个零件符合要求•

6•已知△ABC的三边分别为k

根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可

证明：

Tk2+1>

k2-1,k2+1-2k=（k-1）2>

0,§

卩k2+1>

2k,/.k2+1是最长边

•/（k2一1）2+（2k）2=k4一2k2+1+4kk4+2k2+1=（k2+1）2,

・•・△ABC是直角三角形•

二、综合•应用

7•已知a、b、c是RtAABC的三边长，△A^BG的三边长分别是2a、2b、2c,那么△人眉心

圏一2—8

△ABC是直角三角形・

逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可

TOA2=0A-j2+AiA2=32+12=10,

OB2=22+42=20,

AB2=AC2+BC2=12+32=10,

■

・•・OA2+AB2=0B2.

•••△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形•

10•阅读下列解题过程：

已知比b、c为厶ABC的三边，且满足

2c2—b2c?

=a4-b4,试判断△ABC%2-b2c2=a4—b4,试判断△ABC的形状•

2-b2c2=a4一b4,（A）/,c2（护一b2）=（a2+b2）（a2-b2）,（B）/.t^^+b2,（C）/.△ABC是

•••a

c

直角三角形•

问：

①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？

请写出该的钱;

②错误的原熠;

③本题的正确结论是.

做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐的条件本题错在忽视艙可能等于b这一条件，从而得出的结论垄面•

①⑻②没有考虑这种可能，当时厶ABC是等腰三角形；

③公ABC是等

腰三角形或直角三角形•

门•已知：

在厶ABC中，ZA、ZB、ZC的对边分别是a、b、c,满足

2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

（1）移项，配成三个完全平方；

⑵三个非负数的苑0,则都0；

⑶已知a.

b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形

由已知可得a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,配方并化简得.（a-5）2*（b-12）2+（c-!

3）2=o.

・•（a-5）

>

/.a一5=0,b一12=0,c一13=0.

解得a=5,b=12,c=13.9.如图

借助于网格’证明他结论

圏一2—9

借助于网格，利用勾股定理分别算OA、AB.OB的长度，再利用勾股定理的

又Ta

+b=169=c

•••△ABC是直角三角形•

AD=3.

12.已知：

如图-2-10,四边形ABCD,ADIIBCtAB=4,BC=6,CD=5,

四边形ABCD的面积

團一2-10

⑴作DEIIABf缆，则可以塑ABD妥△EDB（ASA）；

（2）DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3；

（3）在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE丄BC；

⑷利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解•

作DEllAB,Jfc）.则可以谨ABD妥△EDB（ASA）,

DE=AB=4,BE=AD=3.

TBC=6f.-・EC二EB=3.

TDE^CE^S2+42=25=CD2,

△DEC为直角三角形•

又TEC=EB=3,

△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.

在厶BDA中AD2*AB2=32+42=25=BD2,

•••△BDA是直角三角形•

它们的面积分别Sabda二84=6；

Sadbc=84=12.

TT

/.s

勾股定理的应用（4）

1•三个半圆的面积分5=4.5R,申8TI,3=12.571,把三个半圆拼成如图所示的图形,则厶ABC—定是直角三角形吗？

说明理由

2•求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，测量

A=90°

AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200天.问学校需要投入多少资金买草皮？

4•如图.一个牧童在小河的南n的A处牧马，而他正位于他的小屋_旦的西.购p.北.7km处，他

想把他的马牵到小河边去饮水，储園他要完成这件事情所走的最轟產是多少［

北

（2）请写出你发现的规律。

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正谕

6.如图.在RtAABC中,ZACB=90°

CD丄AB.BC=6,AC=8,求AB、CD的长

BC

厂

7•在数轴上画出表示17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）

9.如图.每个小方格的边长都1・求图中格点四边形ABCD的面积。

小

B

（8分）观察下列各式，你有什么发现？

2=4+5,9=12+13,7=24+259==40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢

（1）填空：

13+

勾股定理复习题（5）

填空、选择题题：

3•有一个边长为5米的正方形洞口.想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（）

米。

4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是

6、在Z\ABC中，ZC=9O,AB=10o

（1）若ZA=30，贝ljBC=,AC=。

（2）若/A=45”,

则BC=,AC二o

8、在△ABC中，ZC=90,AC=0.9cm1BC=1-^cm.则斜边上的高CD=m

11、三角形的三边abc，满足2

（ab）c2ab.则此三角形是二角形。

12、小朋向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。

小明

向东走80米后又向方向走的。

13、ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm则AC的长为cm

14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直

行，5秒钟后他们相距米.

15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

（1）两直线平行，内错角相等。

（

）

（2）如果两个实数相等.那么它们的平方相等。

=（

⑶右」nll

ab,贝lja=b

⑷全等二角形的对应角相等c

（5）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

16.下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是厂

（A）a=15b=8c=17"

（B）a:

b:

c=1~

3:

二、解答题:

19、有一个水池，水面是一个边长为

10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面

尺。

如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。

水的深度与这根芦

苇的长度分别是多少?

、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处•折断处离地面的高度是多少？

（其

中丈、尺是长度单位J丈=10尺）

21、某港口位于东西方向的海岸线上。

“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固

定方向航行，“远航“号每小时航行代海里，“海天”号每小时航行12海里。

它们离开港口一个半小时后相距30海里。

如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？

23、一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中，能放进去吗？

（提

不：

长方体的高垂直于底面的任何一条直线■）

讥则使此三角形是直角三角形的X的值是（）.

28D.10或28

勾股定理复习题（6）

1X如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,?

贝IJ这条小路6•如图,

的面积是多少？

BEC

2、如图，已知在△ABC中，CD丄AB于QAC=20,BC=15,DB=9O

（1）求DC的长。

⑵求AB的长。

ADB

3、如图9,在海上观察所A,我边防海警发现正北6册的B处有一可疑船只正在向东方向8km的

C处行驶•我边防海警即刻派船前往C处拦截-若可疑船只的行驶速度为40km/h,则我边防海警

♦

船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？

「八"

6km

4、如图，小明在广场上先向东走2米，又向南走40米，再向西走

向东走70米•求小明到达的终止点与原出发点的距离

40

从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电

9•如图，在厶ABC中，AB=AC（12分）

（1）P为BC上的中点，求证：

AB

AB为8cm,?

长BC?

为10cm•当

•想一想，此时EC有多长？

？

图‘小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）

终止点

八八'

（2）若P为BC上的任意一点，

（1）中的结论是否成立，并证明；

（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系.5、如