浅谈线性变换的对角化问题文档格式.docx
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将线性变换的对角化与矩阵对角化之间的关系梳理更加清晰，易于掌握与通透理解。
1线性变换
1.1线性变换的定义
1.1.1线性变换的概念
定义1设V是数域F上的线性空间，匚是V到自身的一个映射，即对于V中的任意元素x均存在唯一的yV与之对应，则称二为V的一个变换或算子，记为匚x二y,称y为x在变换二下的象，x为y的原象。
若变换二还满足
-（kxly）=k；
「（x）1二（x）-x,y：
=V,k,l二F
称匚为V的线性变换。
1.1.2线性变换的矩阵及矩阵表示
定义2设V是数域F上一个n维向量空间，令C是V的一个线性变换。
取定V的一个基us…宀，令
二（：
1）=a11：
1-a21〉2一"
丁an1：
n,
◎（^2）=812°
（1+822^2+…+an2Ctn,
▽（Gn）二玄仆口勺+a2n^2+…十玄..〜.
这里aj」,j=1,,n就是匚Cj）关于基〉1,〉2,-,〉n的坐标。
令n阶矩阵
'
an
a12…
a1n
A=
a21
a22'
"
a2n
a
9
lan1
an2'
八
ann丿
那么这个n阶矩阵A叫做线性变换二关于基｛r*…<
n｝的矩阵。
矩阵A的第j列的元素就是；
「（：
j）关于基｛1,>
2,…，:
n｝的坐标。
1.2矩阵的相似对角化问题
1.2.1相似对角化问题
1对角矩阵
设A是数域F上的矩阵，形如
的矩阵，我们把A叫做对角矩阵
需0…0、
0人2…0
aaa
0…kn」
。
2相似矩阵
对于n阶方阵A和B,若有可逆矩阵T使得T‘AT二B,则称A相似于B,记作A~B，T称为由A到B的相似矩阵。
3.矩阵相似对角化
定义3设A是数域F上一个n阶矩阵。
如果存在数域F上一个n阶可逆矩阵T使得T」AT为对角矩阵，那么矩阵A可对角化。
1.2.2矩阵的特征值与特征向量
定义4设A是一个n阶方阵，■是一个数，如果方程
AX=ZX
存在非零解向量，则称■为A的一个特征值，相应的非零解向量X称为属于特征值•的特征向量。
如果X=X「1•X2〉2•Xn〉n是矩阵A的属于特征值'
的一个特征向量，那
么我们有
f、
X1
X2
A
■
=/u
■-
即AXj=X，其中i=1,2,,n。
定义5设A=（aj）是数域F上的n阶矩阵，■是参数，A的特征矩阵’I-A的
行列式
—a?
i扎一a22
de©
I_A）=:
：
22
-an1-an2
称为矩阵A的特征多项式。
它是数域F上的一个n次多项式，记为逬.「。
门,的根（或零点）'
0称为A的特征值（根），而相应于方程组的非零解向量
1,2,…称为A的属于特征值0的特征向量
2线性变换的对角化
2.1线性变换的对角化
2.1.1线性对角化的提出
设V是数域F上的n维线性空间（记为VQ,是线性空间V的一个线性变换，任取V的一组基L®
〉2，…,〉n匚，设匚在这组基下的矩阵为A。
那能否找到V的一组基，使得二在这组基下的矩阵是一个对角阵呢？
接下来，我们就来寻找这组基，由此引出线性变换对角化的问题。
假设这组基存在，我们不妨把它设为J；
2,…，J，使得
IS；
2,…，；
n=；
1,2…，；
nD,^=diagdi,d2...,dn,d^F
则匚;
i=dj；
i,i=1,2，…,n，可见；
j，di满足方程;
:
=d:
，即满足线性对角化。
2.1.2线性对角化的定义
定义1设匚是n维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使匚在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换匚可对角化。
2.2线性变换的特征值与特征向量
2.2.1线性变换的特征值与特征向量的概念
定义2设二是数域F上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域F中的任一数，存在一个非零向量，使得
二（）='
则'
称为二的一个特征值，而•称为二属于特征值■的一个特征向量。
2.2.2线性变换的特征多项式
定义3设二是数域F上的一个线性变换，A是F上的n阶矩阵，是一个
数，线性变换二关于矩阵A-*的行列式
_a〔i
-ai2-
-Cn
—a2i
，-a22■"
・・■
-'
~'
an1
-an2-
-ann
A—证=
称为线性变换匚的特征多项式，这是数域F上的一个n次多项式。
2.3线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系
231特征值与特征向量的联系
定理⑸设V是数域F上一个线性空间，匚是V的一个线性变换，匚在V的
一个基J「2,..X下的矩阵为A，如果「K,\0，那么：
⑴•是二的特征值二是矩阵A的特征值；
⑵匕=（%,C（2,…«
n）
是CT的属于特征值扎的特征向量二
3
是矩阵A的
属于特征值■的特征向量。
证明：
由假设（；
「（〉i）f（〉2）,-,；
（n））=（nj,〉n）A，及
^Xi'
己=（%口2,…,J）X2=口,口2,…，J）X
凶丿
又二（）在基（>
1,>
2’…〉n）下的坐标为AX。
匚（）仝f：
表明二（）在基C1「2,…/■n）下的坐标为氷。
因此，当'
是匚的特征值时，AX「X。
联系：
由于、0,故X是非零向量，这说明，是矩阵A的特征值。
X是矩阵A的属于特征值，的特征向量。
如果■是矩阵A的特征值，而X=（X「X2，…，Xn）T是A的属于■的特征向量，那么AX=X。
且X=0，即-（）'
与'
在基（〉1」2,…，〉n）下的坐标是一样的。
所以二（）=「。
又.订―X2〉2…》厂0，所以，是二的特征值，而•是匚的属于特征值■的特征向量。
线性变换二在数域F中某一组基下的矩阵是A，如果0是线性变换匚的特
征值，那么0一定是矩阵A的特征多项式的一个根；
反过来，如果0是矩阵A
的特征多项式在数域P中的一个根，即A—际E=0，那么扎°
就是线性变换的一个特征值。
232线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系
如果线性变换匚可对角化，二线性空间在V的一组基下的矩阵为A，且存在线性空间使V的一组基；
1，；
2，..・，；
n,若有A的可逆矩阵T,使得TF二D。
则有口阳巴,…,％尸（场,®
2,…,%D=（®
，s，...，Wn了‘AT
D=diagd,?
…,dn
；
1,；
2,…,；
n=：
-l/'
2,---/nT
即a可相似对角化。
反之，如果A可相似对角化，则存在可逆矩阵T，使得：
T」AT=D。
令；
n=y,…,〉nT
（&
◎,…，务丁'
=（口1,口2,…,^n）
则1,；
2,…，；
n'
是V的一组基，且二在基,5；
「下的矩阵T‘AT二D，即二可对角化。
233线性变换可对角化的充要条件及推论
定理⑸令二是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，匚可以对角化的充要条件是：
（1）二的特征多项式的根全在F内；
（2）对于二的特征多项式的每个根■，本征子空间的维数V等于■的重数。
证明设上述条件
（1）
（2）成立。
令'
i,■2,...,\是二一切不同本征值。
重数分别是si,S2,...,St有：
dimV.=s,i=1,2,...,t
在每个本征子空间V.里选取一个基*,...,飞，我们知道〉ii,..Jisi,...,G,...,飞线性
无关，所以构成V的一个基。
可以假设这个基是：
11,...,：
...,：
t1,...,：
tst，于是二的
特征多项式f；
』x）=（X-%1）S...（X-%i）St。
所以Sj乞dimV,i但s-dimV，i。
因此dimV.二s.,i=1,2,...,t。
推论设A是数域F上一个n阶矩阵。
A可以对角化的充要条件是:
（1）A的特征根全在F内；
⑵对于A的每个特征根'
秩（J-A^n—s，其中s是，的重数⑸。
例1矩阵1不能够对角化，因为a的特征根1是个二重根，而
lO1丿
秩（I-A）=1。
若一个n阶矩阵A可以对角化，则存在可逆矩阵T使得
鼻0'
久0、
_1
TAT=
扎2
+
或AT=T
10打」
10」
2.3.4求线性变换对角化的方法和步骤
（1）在线性空间V中取定一组基牛；
2,...,；
n,并且写出匚在这组基下的矩阵
A；
/
（2）求出矩阵A的特征多项式||A—&
E|=0在数域F中的全部的特征值；
一个特征值'
，解出其对应方程组（A-E）X=0的一组基础解系1,2,…，n，这
组基础解系就是属于该特征值'
的线性无关的特征向量在基；
n下的坐
标，这样就求出了线性变换中属于每个特征值的全部线性无关的特征向量,从而判定二是否可以对角化，最后进行验证。
总结设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基
｛；
i「2，..「n｝的矩阵是A。
要求出匚的特征值，只要求出矩阵A的特征多项式A-宙，设川F是矩阵A的一个特征值，这时齐次线性方程组有非零解，每一个非零解都是二属于•在基｛；
1,②…，；
n｝下的坐标。
例2设f（x）-aixa?
x2a3X3Qx],现有K3[x]的线性变换;
「：
「（f（x））-（a^2ai）（-3a。
2ajx（2a^3a3）x2（-4a?
3a3）x3，求二的特征值与特
征向量，并判断匚能否对角化。
解
（1）取K3[x]的一个基1,x,x2,x3，求出二在这个基下的矩阵A。
由:
23
二
（1）=（1一20）（-3120）x（20—30）x（一4030）x=1—3x
二（x）=（0-21）（-3021）x（20-30）x2（-4030）x3=-22x
二（x2）=（0—20）（-3a020）x（21-30）x2（-4130）x3=2x2—4x3
二（x3）=（0-20）（-3020）x（20-31）x2（-4031）x3--3x23x3
（1,x,x
x
）A，
这里
-2
0、
-3
2
<
-4
3丿
得（二
（1）,；
「（x）,；
「（x2）,；
「（x3））
（2）由A的特征多项式
（3）矩阵A的属于1=4的特征向量为X1
4
所以匚的属于-^4特征值的特征向量为！
=（1,x,x2,x3）X!
—2•x
r0、
矩阵A的属于的几2=6特征向量为X2=]
~4
1丿
x3
所以二的属于的特征向量为2=（1,x,x2,x3）X2
=x2+x3
所以二的属于特征值*「1的特征向量为4=（1,x,x2,x3）X4
由于耳1n2n3n4线性无关，所以口有4个线性无关的特征向量，从而▽可对角化。
验证结果如下:
-
（1）*（-2x）
2282
（--21）[（-3）（-）21]x4x=4（-x）
3333
「（3）-；
「（1x）=（1—2）（—32）x--（x1）
特征向量。
解特征多项式为|^E-A=
丸-1
_2
丸—1
_2
九一1
=（扎+1丫（九一5）
令特征多项式为零，解得’1=5,'
2—3=-1。
将・1=5弋入，解得属于1=5的一个线性无关的特征向量是
1二；
1•；
2•；
3，
将’2-3=-1代入，解得属于’2-3=-1的两个线性无关的特征向量是_2=；
1_；
3，_3=；
2_；
3。
3线性对角化问题的相关题目1.已知匚是数域F上一个线性变换，A是匚的一个矩阵，其中
广32-T
A=-2-22
36-1」
判断矩阵A能否对角化。
解矩阵A的特征多项式是
x-3—21
32
2x+2-2=x—12x+16=（x—2）（x+4）-3-6x+1
可知特征值是2，2，-4。
对于特征值-4，求出齐次线性方程组
「-7
1、
1
/、
-21
=
1-3
-6
-3丿
的一个基础解系,号1。
对于特征值2,求出齐次线性方程组
*3
-1^
/、X1
21
x
6
-1丿
的一个基础解系｛（-2,1,0）,（1,0,1）｝。
所以A可以
由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征值的重数,对角化。
133'
2.已知矩阵A=313，判断该矩阵能否对角化？
Q3b
解先求矩阵A的特征值与特征向量
Z-1-3-3
hE—A=-3扎一1-3=（丸一7）（扎+2）2
-3-3k-1
矩阵A的特征值为・S,3=?
当九i=7,时，解方程组
|6捲-3x2-3x3=0
「一3xi+6x2-3x3=0
—3x1—3x2+6x3=0
得矩阵A属于特征值7的线性无关特征向量为^1=（1,1,1）*。
当畫2,3=-2时，解方程组
-3X[-3x?
-3x^—0
«
_3xr_3x2—3x3=0
—3x〔—3x2—3x^—0
得矩阵A属于特征值-2的线性无关特征向量为；
=（1，-1,0八3=（1，。
，-"
矩阵A有三个线性无关的特征向量。
因此矩阵A可对角化。
本课题在高等代数中占得比重较大，所以是我们必须要熟练掌握的知识要点，其中线性变换贯穿高等代数后期的大部分内容，所以研究线性变换的意义深远。
本文首先提出解决线性变换的工具--矩阵，介绍了矩阵的相关知识，具体分析相似矩阵的对角化问题，接着类比研究了线性变换的对角化问题。
通过这种逐一类比的方法，从他们两者之间的定义、特征值、特征向量与特征多项式进行仔细研究分析，归纳出它们之间存在的联系，最后总结了线性变换的特征值与特征向量的求解步骤，并且通过举例说明，使得更加牢固理解求解步骤的应用，便于我们更简单直接的理解并掌握线性变换的对角化问题。
参考文献
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高等教育出版社,1999.
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高等教育出版社，1996.
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⑹安希忠，陈超英，魏福义等.国家教育部04-6-7项目成果《线性代数》，北京中国农业出版社，2000.12.
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[9]卢刚.面向21世纪课程教材《线性代数（第三版）》，高等教育出版社，
2009.3.
历时几个月的论文，从选题到准备最后初稿雏形渐现，经历了很多事，遇到了许多的困难与障碍，都在同学与老师的热情帮助下逐一克服，尤其感谢我的论文指导老师XX老师，她严谨的治学态度，一丝不苟的工作作风励着我。
在论文的整改过程中，可以有条不紊的梳理知识点，对整片内容做到合理布局。
XX老师在论文的选题到写作的方向都给我细心的指导与不懈的督促，在此谨向XX老师表示诚挚的谢意。
同时，感谢我的论文小组成员，每当我在遇到一些比较难的问题时，都是他们积极讨论得出结论供我参考，对我提供无私的帮助，在此表示我衷心的谢意。
另外，本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我会遇到更多的难题，所以真挚的感谢所参考文献的各位学者。
再次感谢我的同学、朋友和老师，在我写论文的过程中给予我很多帮助，在这里请接受我诚挚谢意。
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