最新人教版高中数学必修4第一章《角的概念的推广》同步训练.docx

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最新人教版高中数学必修4第一章《角的概念的推广》同步训练

第一章　基本初等函数（Ⅱ）

1．1　任意角的概念与弧度制

1．1.1　角的概念的推广

知识点一：

任意角的概念

1．不相等的角的终边位置

A．一定不相同B．一定相同

C．可能相同D．以上都不对

2．时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．

知识点二：

与任意角α终边相同的角

3．与405°角终边相同的角是

A．k·360°－45°，k∈Z

B．k·360°－405°，k∈Z

C．k·360°＋45°，k∈Z

D．k·180°＋45°，k∈Z

4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于

A．{－36°，54°}

B．{－126°，144°}

C．{－126°，－36°，54°，144°}

D．{－126°，54°}

5．将－885°化为α＋k·360°（0°≤α<360°，k∈Z}的形式为__________．

6．与1991°终边相同的最小正角是__________，绝对值最小的角是__________．

7．角α和β终边关于直线y＝x对称，且α＝30°，则β＝__________.

知识点三：

象限角

8．若α是第二象限的角，则180°－α是

A．第一象限的角B．第二象限的角

C．第三象限的角D．第四象限的角

9．如果角α终边上有一点P（0，－2），那么α是

A．第三象限角

B．第四象限角

C．终边落在y轴负半轴上的角

D．既是第三又是第四象限角

10．给出下面的角．

60°，120°，210°，300°，420°，460°，660°，－300°，－240°，570°，－150°，－60°.

其中，

（1）第一象限的角是__________；

（2）第二象限的角是__________；

（3）第三象限的角是__________；

（4）第四象限的角是__________．

能力点一：

角的有关概念的理解

11．下列说法正确的是

A．第二象限的角是钝角

B．第三象限的角必大于第二象限的角

C．－831°是第二象限的角

D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角

12．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于

A．{锐角}B．{小于90°的角}

C．{第一象限角}D．以上都不对

13．已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．

（1）－75°；

（2）855°；（3）－510°.

能力点二：

终边相同角的综合应用

14．如图，终边落在阴影部分的角的集合是

A．{α|－45°≤α≤120°}

B．{α|120°≤α≤315°}

C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}

D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}

15．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则

A．M＝NB．MN

C．MND．M∩N＝

16．与－642°终边相同的最大负角为__________．

17．已知角α的终边与角60°的终边重合，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°之间的角．

18.已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断是第几象限角．

19．写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．

20．如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？

21．已知直线l1：

y＝x及直线l2：

y＝－x，且l1与l2垂直，如图所示，请表示出终边落在直线l1与l2上的角．

答案与解析

1．C

2．－480°　时针走1小时，分针顺时针转360°；每分钟分针顺时针转6°，则20分钟转120°，

∴分针转过的角为

－（360°＋120°）＝－480°.

3．C

4．C　对于α＝k·90°－36°，k∈Z，分别令k＝－1,0,1,2得α＝－126°，－36°，54°，144°.

5．195°＋（－3）·360°

6．191°　－169°　与1991°终边相同的角为k·360°＋1991°＝（k＋5）·360°＋191°（k∈Z），

当k＝－5时，191°是最小正角；

当k＝－6时，－169°是绝对值最小的角．

7．60°＋k·360°，k∈Z　由对称性知，60°与30°的终边关于直线y＝x对称，

∴与60°角的终边相同的所有角60°＋k·360°，k∈Z均满足条件．

8．A　∵α是第二象限角，

∴－α是第三象限角，－α与180°－α的终边互为反向延长线．

∴180°－α是第一象限角．

9．C

10．

（1）60°，420°，－300°　

（2）120°，460°，－240°　（3）210°，570°，－150°　（4）300°，660°，－60°　把各个角写成α＋k·360°（α∈[0°，360°））的形式，判断α所在象限即可．

能力提升

11．D　∵984°40′＝264°40′＋2×360°，－95°20′＝264°40′＋（－1）×360°.

∴选项D正确．

12．D

13．解：

如图所示．

由图可知，

（1）－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角的终边相同．

（2）855°在第二象限，在0°～360°范围内与135°角的终边相同，

（3）－510°在第三象限，在0°～360°范围内与210°角的终边相同．

14．C

15．C　∵M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·（2k＋1），k∈Z}，

N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·（k＋2），k∈Z}，∴MN.

16．－282°　－642°＝－360°－282°.

17．解：

与60°角的终边重合的角的集合为S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，当k＝0时，α＝60°；

当k＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.

所以集合S在－360°～360°之间的角为60°，－300°.

18．解：

∵α与150°角的终边相同，

∴与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}，

此时＝k·120°＋50°（k∈Z）．

若k＝3n（n∈Z），则＝n·360°＋50°（n∈Z），此时在第一象限；

若k＝3n＋1（n∈Z），则＝n·360°＋170°（n∈Z），

此时在第二象限；

若k＝3n＋2（n∈Z），则＝n·360°＋290°（n∈Z），

此时在第四象限．故可能为第一、二、四象限角．

19．解：

如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：

45°，225°，因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．

S中适合－360°≤β<720°的元素β是

45°－2×180°＝－315°，

45°－1×180°＝－135°，

45°＋0×180°＝45°，

45°＋1×180°＝225°，

45°＋2×180°＝405°，

45°＋3×180°＝585°.

20．解：

∵α是第三象限的角，

∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z.

∴－270°－k·360°<－α<－180°－k·360°，360°＋2k·360°<2α<540°＋2k·360°，k∈Z.

∴－α的终边落在第二象限，2α的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上．

拓展探究

21．解：

由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；

在0°～360°的角中，终边落在直线y＝－x上的角为：

120°或300°，所以终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．

所以终边落在直线l1与l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋（2k＋1）·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}．

1．1.2　弧度制和弧度制

与角度制的换算

基础巩固

1．D　2.2弧度　3.B

4．D　－1485°＝－1485×

＝－＝－10π＋.

5．B　∵＝（×180）°＝105°，

465°＝360°＋105°，∴B项正确．

6.

（1）－　　

（2）288

（1）∵1°＝rad，

∴－300°＝（－300）×＝－；

∵67°30′＝（67）°，

∴67°30′＝×67＝.

（2）∵1rad＝（）°，

∴＝（×）°＝288°.

7．解：

（1）如题图

（1）中以OB为终边的角330°，可看成为－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，

∴阴影部分内角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．

（2）如题图

（2）中以OB为终边的角225°，可看成－135°，化为弧度，

即－，而OA为终边的角135°＝135×＝，

∴阴影部分角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．

（3）如题图（3），∵30°＝，210°＝，

∴{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}，

即{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|（2k＋1）π＋<θ<（2k＋1）π＋，k∈Z}，

∴{θ|kπ＋<θ

8．C　设弦AB＝R，且AB所对的圆周角为α，

则圆心角为∠AOB＝2α或2π－2α，由于弦AB等于半径，

∴∠AOB＝，可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或.

9．C

10．3

11．解：

设扇形圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S.

由题意知，α＝，r＝20（cm），

∴l＝α·r＝8π（cm），

S＝lr＝×8π×20

＝80π（cm2）．

能力提升

12．C

13．B　分针转过的角度数为－（2×360°＋120°）＝－840°，

即×（－840）＝－.

14．解：

（1）202°30′＝202.5°

＝（）×＝.

（2）－＝－（×）°＝－75°.

（3）方法一（化为弧度）：

α＝15°＝15×＝.

θ＝105°＝105×＝.

显然<<1<.故α<β<γ<θ＝φ.

方法二（化为角度）：

β＝＝（×）°＝18°，

γ＝1rad≈57.30°，

φ＝（×）°＝105°.

显然，15°<18°<57.30°<105°.

故α<β<γ<θ＝φ.

15．D

16．B　∵N＝{x|x＝kπ－，k∈Z}＝{x|x＝（2k－1）＋，k∈Z}，

M＝{x|x＝·k＋，k∈Z}，

∴MN.

17.，，，　θ＝＋2kπ，k∈Z.

所以＝＋，k∈Z.

当k＝0,1,2,3时，＝，，，且∈[0,2π]．

18．解：

θ与－的终边共线，

∴θ的终边落在－的终边或终边的反向延长线上．

若θ与－终边相同，则θ＝2kπ－（k∈Z）；

若θ与－的终边反向延长线相同，则

θ＝2kπ＋π－（k∈Z）．

可知：

θ＝nπ－（n∈Z）．

∵θ∈（0°，360°），即