春浙教版八年级数学下册同步练习微专题八 菱形的判定技巧Word格式文档下载.docx

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，D为AB的中点，且AE∥CD.CE∥AB，连结DE交AC于F.

（1）证明：

四边形ADCE是菱形；

（2）试判断BC与线段EF的关系，并说明理由．

图2

解：

∵AE∥CD，EC∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵∠ACB＝90°

，BD＝AD，

∴CD＝AD＝BD，

∴四边形ADCE是菱形；

（2）BC∥EF，BC＝2EF.

理由：

∵四边形ADCE是菱形，

∴DE⊥AC，DF＝EF，

∴∠DFA＝∠ACB＝90°

，

∴DE∥BC，∵BD＝AD，

∴BC＝2DF＝2EF.

　如图3，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°

，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.

（1）求证：

四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：

①当AM的值为__1__时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为__2__时，四边形AMDN是菱形．

图3

∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，

∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，

又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE，

∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）①理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝2.

∵AM＝

AD＝1，∠DAM＝60°

，∴∠AMD＝90°

∴平行四边形AMDN是矩形．

（2）②理由如下：

∵AM＝2，∴AM＝AD＝2，

∵∠DAB＝60°

，∴△AMD是等边三角形，

∴AM＝DM，

∴平行四边形AMDN是菱形．

　如图4，在▱ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE，BD，且AE＝AB.

∠ABE＝∠EAD；

（2）若∠AEB＝2∠ADB，求证：

四边形ABCD是菱形．

图4

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，又∵AE＝AB，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴∠ABE＝∠EAD；

（2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.

又∵∠AEB＝2∠ADB，∠AEB＝∠ABE，

∴∠ABE＝2∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC.

∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.

∴四边形ABCD是菱形．

　已知：

如图5，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点，DF，EG的延长线相交于点H.

四边形FBGH是平行四边形；

（2）如果AC平分∠BAH，求证：

四边形ABCH是菱形．

图5

变形4答图

（1）∵点F，G是边AC的三等分点，

∴AF＝FG＝GC.

又∵点D是边AB的中点，∴DH∥BG.

同理：

EH∥BF.

∴四边形FBGH是平行四边形；

（2）如答图，连结BH，交AC于点O.

∵四边形FBGH是平行四边形，

∴BO＝HO，FO＝GO.

又∵AF＝FG＝GC，

∴AF＋FO＝GC＋GO，即AO＝CO.

∴四边形ABCH是平行四边形．

∴AH∥BC，∴∠HAC＝∠BCA.

∵AC平分∠BAH，∴∠HAC＝∠BAC.

∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC.

又∵四边形ABCH是平行四边形，

∴四边形ABCH是菱形．

　如图6，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连结AF，CE，解答下列问题：

四边形AECF是菱形；

（2）记AB＝a，BF＝b，若a，b是方程x2－2（m＋1）x＋m2＋1＝0的两根，问当m为何值时，菱形AECF的周长为8

？

　图6

∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥FC，

∴∠EAO＝∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO＝CO，FE⊥AC，

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO＝FO，

∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵FE⊥AC，∴四边形AECF是菱形；

（2）在△ABF中，∵∠ABF＝90°

∴AB2＋BF2＝AF2，

∴AF2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，

由根与系数的关系，得a＋b＝2（m＋1），ab＝m2＋1，

∴AF2＝[2（m＋1）]2－2（m2＋1）＝2m2＋8m＋2，

∵菱形AECF的周长为8

，∴AF＝2

∴2m2＋8m＋2＝（2

）2，解得m＝1或m＝－5，

∵原方程有实数根，则Δ≥0，

∴[－2（m＋1）]2－4（m2＋1）≥0，解得m≥0，

∴m＝－5不合题意，舍去，∴m＝1，

即当m＝1时，菱形AECF的周长为8

.

　如图7，在△ABC中，∠ACB＝90°

，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F，EH⊥AB于点H，连结FH.求证：

四边形CFHE是菱形．

图7

∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠HAE.

∵EH⊥AB于点H，∴∠AHE＝∠ACE＝90°

在△ACE和△AHE中，

∴△ACE≌△AHE（AAS）．∴EC＝EH，AC＝AH.

在△AFC和△AFH中，

∴△AFC≌△AFH（SAS）．∴FC＝FH.

∵CD⊥AB于点D，

∴∠DAF＋∠AFD＝∠CAE＋∠AEC＝90°

又∵∠DAF＝∠CAE，∠AFD＝∠CFE.

∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.

∴EC＝EH＝HF＝FC.∴四边形CFHE是菱形．

　[2018·

安顺]如图8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.

AF＝DC；

（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

图8

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE.

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE.

在△FAE和△BDE中，

∴△FAE≌△BDE.∴AF＝DB.

∵AD是BC边上的中线，

∴DB＝DC，∴AF＝DC；

（2）四边形ADCF是菱形．

由

（1）知AF綊DC，∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°

∵AD是BC边上的中线，∴AD＝BD＝CD.

∴四边形ADCF是菱形．

　如图9，将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.

△BCF≌△BA1D；

（2）当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．

图9

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB＝BC，∠A＝∠C，

∵△A1BC1由等腰三角形ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度得到，

∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBF，

在△BCF与△BA1D中，

∴△BCF≌△BA1D（ASA）；

（2）四边形A1BCE是菱形．理由：

∵∠ADE＝∠A1DB，∠A＝∠A1，

∴∠AED＝∠A1BD＝α，∴∠DEC＝180°

－α，

∵∠C＝α，∴∠A1＝α，

∴∠A1BC＝360°

－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°

∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC，

∴四边形A1BCE是平行四边形，

∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．